10. 把方程$2x - y + 1 = 7$变形，用含$x$的式子来表示$y$，则$y=$；用含$y$的式子来表示$x$，则$x=$。

13

根据勾股定理的几何意义，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。
1. 正方形A、B的面积和为：$3+5=8$，对应左侧中间正方形的面积；
2. 正方形C、D的面积和为：$2+3=5$，对应右侧中间正方形的面积；
3. 正方形E的面积等于上述两个中间正方形的面积之和，即$S_{正方形E}=8+5=13$。

11. 在等式 $3a - 5 = 2a + 6$ 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 $a = 11$，则这个多项式是。

解：
(1) 方法1：阴影部分是边长为$b-a$的小正方形，因此$S_{阴影}=(b-a)^2$；
方法2：边长为$c$的大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此$S_{阴影}=c^2 - 4×\frac{1}{2}ab = c^2 - 2ab$；
得到等式：$(b-a)^2 = c^2 - 2ab$，化简可得$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 图2中阴影部分的面积可表示为：
$S_{阴影}=(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab - ab = a^2 + b^2 - ab$
将$a=6$，$b=8$代入得：
$S_{阴影}=6^2 + 8^2 - 6×8 = 36 + 64 - 48 = 52$
答：阴影部分的面积为52。

【分析】
首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立。本题要求原等式两边同时减去同一个多项式后得到$a=11$，我们可以通过对比原等式和变形后等式的左右两边，计算出需要减去的多项式：可以用原等式左边减去变形后的左边得到要减的多项式，也可以用原等式右边减去变形后的右边，两种方式计算结果一致。
【解析】
我们可以通过观察等式变形前后两边的变化计算该多项式：
原等式为$3a - 5 = 2a + 6$，变形后等式为$a=11$。
从左边计算：原左边是$3a-5$，变形后左边是$a$，因此需要减去的多项式为$(3a-5)-a$，计算得：
$(3a-5)-a=3a-5-a=2a-5$
验证：将该多项式代入右边计算，原右边$2a+6$减去$2a-5$得：
$2a+6-(2a-5)=2a+6-2a+5=11$，刚好等于变形后的右边，符合要求。
【答案】
$2a-5$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 整式的加减运算
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，解题时可通过对比等式变形前后左右两边的差异快速求解，也可通过设未知数列式计算，属于基础题型，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

12. (1)已知$2x - 3y + 1 = 0$且$m - 6x + 9y = 4$，则$m$的值为。
(2)已知$3m^2 - 2n + 3 = 9$，则$(m^2 - \dfrac{2}{3}n + 3) · (6m^2 - 4n + 3)$的值为。

解：
(1) 所拼图形示意图：将两个全等的直角三角形分别置于左右两侧，左侧直角三角形的水平直角边长度为a，竖直直角边长度为b，右侧直角三角形的水平直角边长度为b，竖直直角边长度为a，两个直角三角形的斜边相对，中间放置以c为直角边的等腰直角三角形，三者共同围成封闭图形。
该图形是直角梯形，上底长为a，下底长为b，高为$a+b$。
(2) 用面积法验证：
直角梯形的面积为：
$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
该图形的总面积也等于三个直角三角形的面积之和：
$S_{\mathrm{总}}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
由图形面积相等可得：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同乘2得：
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
消去两侧的$2ab$，化简得：
$a^2+b^2=c^2$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。
(3) 所拼示意图：取4个图1的全等直角三角形，将它们的斜边朝外/朝内摆放，拼成边长为$a+b$的大正方形，四个直角三角形分别位于大正方形的四个角落，中间留出边长为c的正方形区域，即为可证明勾股定理的图形（赵爽弦图类示意图即可）。

【分析】
(1) 观察两个式子的结构，发现第二个式子中的-6x+9y和第一个式子中的2x-3y存在倍数关系，我们可以先利用等式的性质从第一个等式求出2x-3y的值，再变形得到-6x+9y的值，整体代入第二个等式就能求出m的值。
(2) 观察所求代数式的两个括号内的整式，都和已知等式中的3m²-2n存在倍数关系，先利用等式的性质从已知等式求出3m²-2n的值，再分别变形得到两个括号内对应整式部分的值，整体代入计算即可，不需要单独求出m、n的具体值。
【解析】
(1) 已知$2x - 3y + 1 = 0$，等式两边同时减1，得$2x - 3y = -1$，
将上述等式两边同时乘$-3$，得$-6x + 9y = 3$，
把$-6x + 9y = 3$代入$m - 6x + 9y = 4$中，得$m + 3 = 4$，
解得$m = 1$。
(2) 已知$3m^2 - 2n + 3 = 9$，等式两边同时减3，得$3m^2 - 2n = 6$ ①，
将①式两边同时除以3，得$m^2 - \frac{2}{3}n = 2$，
将①式两边同时乘2，得$6m^2 - 4n = 12$，
代入所求代数式得：
$(m^2 - \dfrac{2}{3}n + 3) · (6m^2 - 4n + 3) = (2 + 3)×(12 + 3) = 5×15 = 75$。
【答案】
(1)1；(2)75
【知识点】
1.等式的性质 2.整体代入求值 3.代数式运算
【点评】
这两道题核心是灵活运用等式的性质对已知等式做变形，结合整体代入思想求解，无需计算单个未知字母的取值，能有效简化运算，考查对等式性质的应用能力和代数式的整体观察能力。
【难度系数】
0.7

13. 利用等式的性质解下列方程.
(1) $7 - \frac{3}{4}x = 4$；
(2) $2.5 - \frac{x}{0.2} = 10$；
(3) $\frac{5}{2}a -7 = \frac{3}{2}a +1$.

(1)x=4 (2)x=-1.5 (3)a=8

【分析】
本题需利用等式的两个基本性质求解一元一次方程，解题思路为：首先利用等式性质1，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到等号另一侧，合并同类项后，再利用等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。解题时需注意运算过程中的符号变化，避免出现符号错误。
【解析】
(1) 解方程 $7 - \frac{3}{4}x = 4$
第一步：根据等式性质1，两边同时减7，得
$7 - \frac{3}{4}x -7 = 4 -7$
化简得：$-\frac{3}{4}x = -3$
第二步：根据等式性质2，两边同时乘$-\frac{4}{3}$，得
$x = (-3) × (-\frac{4}{3})$
解得：$x=4$
(2) 解方程 $2.5 - \frac{x}{0.2} = 10$
第一步：根据等式性质1，两边同时减2.5，得
$2.5 - \frac{x}{0.2} -2.5 = 10 -2.5$
化简得：$-\frac{x}{0.2}=7.5$，即$-5x=7.5$
第二步：根据等式性质2，两边同时除以$-5$，得
$x=7.5 ÷ (-5)$
解得：$x=-1.5$
(3) 解方程 $\frac{5}{2}a -7 = \frac{3}{2}a +1$
第一步：根据等式性质1，两边同时加7，得
$\frac{5}{2}a -7 +7 = \frac{3}{2}a +1 +7$
化简得：$\frac{5}{2}a = \frac{3}{2}a +8$
第二步：根据等式性质1，两边同时减$\frac{3}{2}a$，得
$\frac{5}{2}a - \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}a +8 - \frac{3}{2}a$
化简得：$a=8$
【答案】
(1)$x=4$；(2)$x=-1.5$；(3)$a=8$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；系数化为1
【点评】
本题是利用等式性质解方程的基础题型，核心是熟练掌握等式两个性质的应用规则，计算时要注意移项时的符号变化，避免因符号错误导致结果出错，熟练掌握解题步骤后可快速求解。
【难度系数】
0.8

14. 根据等式和不等式的性质,可以得到:若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b=0$,则$a=b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$.
(1) 比较整式$5m^2 -4m +2$与$4m^2 -4m -7$的值之间的大小关系;
(2) 已知$\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n -1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m$,试用等式的性质比较$m,n$的大小关系.

13

先计算东西方向上A、B两点的水平距离：向东总位移减去向西位移，即8 - 4 + 1 = 5 m；再计算南北方向上A、B两点的竖直距离：向北的总位移为3 + 9 = 12 m。根据勾股定理，可得A、B两点之间的距离为$\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ m。

15. 有八个球,编号是①至⑧,其中有六个球一样重,另外两个球都比前六个球轻1克,为了找出这两个轻球,用天平称了三次,结果如下:
第一次①+②比③+④重,第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻,第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重.
则两个轻球的编号是.

解：将圆柱的侧面沿直线AB展开，得到长方形。
葛藤绕圆柱3周，因此展开后水平方向的总长度为$3×6=18$尺，竖直方向的长度等于圆柱的高，为24尺。
由勾股定理得，葛藤的最短长度为：
$\sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$（尺）
答：葛藤的最短长度为30尺。

【分析】
解题时先从前两次称重结果缩小轻球的范围：第一次①+②比③+④重，说明轻球在③、④中；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明轻球在⑤、⑥中，且总共只有2个轻球，因此可以确定①、②、⑦、⑧都是标准重量的球。接下来结合第三次称重的等量关系，利用假设法或等式变形，对③、④哪个是轻球进行分类验证，排除不可能的情况，就能确定两个轻球的编号。
【解析】
首先分析前两次称重结果：
1. 第一次称重：①+② ＞ ③+④，说明③和④中必有1个轻球（若③、④都是标准球，两边重量应相等，现在右边更轻，故右侧存在轻球）；
2. 第二次称重：⑤+⑥ ＜ ⑦+⑧，说明⑤和⑥中必有1个轻球（同理，左侧更轻，故左侧存在轻球）；
已知总共只有2个轻球，因此可推出①、②、⑦、⑧都是标准球，且③、④中有且仅有1个轻球，⑤、⑥中有且仅有1个轻球。
再分析第三次称重：①+③+⑤ = ②+④+⑧，由于①、②、⑧都是标准球，设标准球重量为a，轻球重量为a-1，将等式化简：
左边重量 = a + ③的重量 + ⑤的重量
右边重量 = a + ④的重量 + a
根据等式的性质，两边同时减去a，可得：③的重量 + ⑤的重量 = a + ④的重量
接下来分情况讨论：
情况1：假设③是轻球（重量为a-1），则④是标准球（重量为a），代入上式得：(a-1) + ⑤的重量 = a + a，解得⑤的重量为a+1，不存在比标准球重的球，该情况不成立。
情况2：因此只能是④为轻球（重量为a-1），则③是标准球（重量为a），代入上式得：a + ⑤的重量 = a + (a-1)，解得⑤的重量为a-1，即⑤是轻球，符合所有条件。
【答案】
④⑤
【知识点】
逻辑推理；等式的性质；分类讨论
【点评】
本题结合生活中的称重场景，需要先通过不等关系缩小轻球的范围，再利用等式的性质和分类讨论的方法验证得出最终结论，能够有效锻炼逻辑分析能力和等量关系的运用能力。
【难度系数】
0.6

16. 新趋势 项目式学习 学霸君问小白:“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?”看着小白一脸的茫然,学霸君热心地为小白讲解:
【学霸君提出问题】利用一元一次方程将$0.\dot{7}$化成分数.
【学霸君的解答】解:设$0.\dot{7}=x$.方程两边都乘10,可得$10×0.\dot{7}=10x$.由$0.\dot{7}=0.777···$,可知$10×0.\dot{7}=7.777···=7+0.\dot{7}$,即$7+x=10x$.(请你体会将方程两边都乘10起到的作用)可解得$x=\frac{7}{9}$,即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$.
【学霸君的问题】将$0.\dot{4}$写成分数形式.
【小白的答案】$\frac{4}{9}$.(正确)
(1)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数,要求写出利用一元一次方程进行解答的过程:① $1.\dot{3}\dot{2}$;② $0.\dot{4}2\dot{3}$.
(2)你能通过上面的解答判断$0.\dot{9}=1$吗?说明你的理由.

解：
将圆柱形水桶侧面沿AC所在母线展开，作点A关于桶口所在展开直线的对称点A'，连接A'B，线段A'B的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
过点B作BE⊥A'C，垂足为E，
由题意可知：
BE = 圆弧CD的长 = 15厘米，
A'E = AC + BD = 20 + 16 = 36厘米，
在Rt△A'EB中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'E^2 + BE^2}=\sqrt{36^2 + 15^2}=\sqrt{1521}=39$
答：蚂蚁爬行的最短路程为39厘米。

【分析】
本题需参考示例中无限循环小数化分数的思路解题：首先观察循环节的位数，若循环节有n位，就根据等式的性质将原数乘10ⁿ，此时乘完得到的数的小数部分和原数的小数部分完全相同，据此列出一元一次方程，求解即可得到对应分数形式；第(2)问同理，按照相同方法设未知数列方程，即可验证$0.\dot{9}$和1的关系。
【解析】
(1)① 设$0.\dot{3}\dot{2}=x$，方程两边都乘100，可得$100×0.\dot{3}\dot{2}=100x$。
由$0.\dot{3}\dot{2}=0.3232···$，可知$100×0.\dot{3}\dot{2}=32.3232···=32+0.\dot{3}\dot{2}$，即$32+x=100x$，
解得$x=\frac{32}{99}$，所以$1.\dot{3}\dot{2}=1+\frac{32}{99}=1\frac{32}{99}$。
② 设$0.\dot{4}2\dot{3}=x$，方程两边都乘1000，可得$1000×0.\dot{4}2\dot{3}=1000x$，
由$0.\dot{4}2\dot{3}=0.423423···$，可知$1000×0.\dot{4}2\dot{3}=423.423423···=423+0.\dot{4}2\dot{3}$，即$423+x=1000x$，
解得$x=\frac{47}{111}$，所以$0.\dot{4}2\dot{3}=\frac{47}{111}$。
(2)能。理由：设$0.\dot{9}=x$，由$0.\dot{9}=0.999···$，可知$10x-x=9.\dot{9}-0.\dot{9}=9$，即$10x-x=9$，
解得$x=1$，所以$0.\dot{9}=1$。(该方法仅适用于初中阶段，高等数学中会有更严谨的证明)
【答案】
(1)①$1\frac{32}{99}$；②$\frac{47}{111}$
(2)能，理由：设$0.\dot{9}=x$，可列方程$10x-x=9$，解得$x=1$，故$0.\dot{9}=1$。
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的应用、无限循环小数化分数
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，需学生通过给定的示例方法类比解决新问题，既考查了对等式性质、一元一次方程解法的掌握程度，也能锻炼知识迁移应用的能力，同时帮助学生理解无限循环小数和分数的等价关系。
【难度系数】
0.7