1. 教材P103习题T8变式 窗户的形状如图①所示(图中长度单位:m),其上部是半圆形,下部是边长相同的四个小正方形,已知下部小正方形的边长是a m.
(1)窗户的面积是多少?
(2)窗户的外框的总长是多少?
(3)现在按照图②和图③的方式,在阴影部分的位置上全部安装窗帘,图②中窗帘下部分是两个以a m为直径的半圆形,图③中窗帘下部分是四个以$\frac{a}{2}$ m为直径的半圆形,没有窗帘的部分阳光可以照射进来,当$a=\frac{1}{2}$时,求图②中阳光照射进窗户的面积比图③中阳光照射进窗户的面积少多少平方米(π取3).

答案D25

(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$

【分析】
(1) 求窗户面积只需将图形拆分计算：先算下部4个边长为a的小正方形总面积，再算上部半圆的面积（半圆直径等于2个小正方形边长和即2a，半径为a），最后将两部分面积相加即可。
(2) 窗外框由两部分组成：一是下部矩形的左、右、底部3条直边，每条长2a；二是上部半圆的弧长，根据直径2a代入半圆弧长公式计算，最后求和得到外框总长。
(3) 阳光照射面积=窗户总面积-窗帘面积，两幅图窗户总面积相同，因此图②阳光照射面积比图③少的部分=图②窗帘面积-图③窗帘面积。计算窗帘面积时可将下部的半圆拼接成整圆简化运算：图②下部2个直径为a的半圆可拼成1个整圆，图③下部4个直径为$\frac{a}{2}$的半圆可拼成2个整圆，分别计算面积求差后代入a和π的取值即可。
【解析】
(1) 下部4个小正方形的面积：$4× a× a=4a^2(\mathrm{m}^2)$
上部半圆半径为a，面积：$\frac{1}{2}π a^2(\mathrm{m}^2)$
窗户总面积：$4a^2+\frac{1}{2}π a^2(\mathrm{m}^2)$
(2) 外框直边总长：$2a+2a+2a=6a(\mathrm{m})$
上部半圆弧长：$\frac{1}{2}×2π a=π a(\mathrm{m})$
外框总长：$6a+π a=(π+6)a(\mathrm{m})$
(3) 图②下部窗帘为1个半径为$\frac{a}{2}$的整圆，面积：$π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$
图②窗帘总面积：$\frac{1}{2}π a^2+\frac{π a^2}{4}=\frac{3π a^2}{4}$
图③下部窗帘为2个半径为$\frac{a}{4}$的整圆，面积：$2×π×(\frac{a}{4})^2=\frac{π a^2}{8}$
图③窗帘总面积：$\frac{1}{2}π a^2+\frac{π a^2}{8}=\frac{5π a^2}{8}$
面积差值：$\frac{3π a^2}{4}-\frac{5π a^2}{8}=\frac{π a^2}{8}$
代入$a=\frac{1}{2}$，$π=3$，得：$\frac{3×(\frac{1}{2})^2}{8}=\frac{3}{32}(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4a^2+\frac{1}{2}π a^2)\ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boldsymbol{(π+6)a\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{3}{32}}$平方米
【知识点】
列代数式，圆的相关计算，整式加减
【点评】
本题结合生活场景考查整式的几何应用，核心是准确拆分图形，巧用拼接法将零散的半圆组合为整圆简化计算，解题时需注意区分外框和内框，避免多算内部线段长度。
【难度系数】
0.7

2. 将图①中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形.设3号正方形的边长为x,4号正方形的边长为y.
(1)求1号、2号正方形的边长分别是多少(用含x,y的代数式表示);
(2)若图①中长方形的周长为48,试求3号正方形的边长;
(3)在(2)的情况下,若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中,求阴影部分的周长.

将编号为⑥的正方体移动到编号为④的正方体的上方。
答：把正方体⑥移到正方体④的上方，此时从前面和上面看到的图形形状相同。（答案不唯一）