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1[2025河北邯郸质检,中]如图,一根直的铁丝AB=20 cm,欲将其弯折成一个三角形,在同一平面内操作如下:
①量出AP=5 cm;
②在点P右侧取一点Q,使PQ＞5 cm;
③将AP向右翻折,BQ向左翻折.
若要使A,B两点能在点M处重合,则PQ的长度可能是
(
A.12 cm
B.11 cm
C.10 cm
D.7 cm
①量出AP=5 cm;
②在点P右侧取一点Q,使PQ＞5 cm;
③将AP向右翻折,BQ向左翻折.
若要使A,B两点能在点M处重合,则PQ的长度可能是
(
D
)A.12 cm
B.11 cm
C.10 cm
D.7 cm
答案
1.D 【解析】设PQ=x cm(x＞5).
∵AP=5 cm,PQ=x cm,
∴BQ=AB-AP-PQ=20-5-x=(15-x) cm. 由AP向右翻折,BQ向左翻折,可知AP=MP,MQ=BQ. 由三角形三边关系得MQ-MP＜PQ＜MQ+MP,即15-x-5＜x＜15-x+5,解得5＜x＜10,故选D.
∵AP=5 cm,PQ=x cm,
∴BQ=AB-AP-PQ=20-5-x=(15-x) cm. 由AP向右翻折,BQ向左翻折,可知AP=MP,MQ=BQ. 由三角形三边关系得MQ-MP＜PQ＜MQ+MP,即15-x-5＜x＜15-x+5,解得5＜x＜10,故选D.
2 [中]已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＜ 0, \\2x - 1 ≥ 7\end{cases}$至少有两个整数解，且存在三边长为$3,a,7$的三角形，则$a$的整数解有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C 【解析】
解不等式 解不等式x-a＜0,可得x＜a;解不等式2x-1≥7,可得x≥4
列整数解 因为不等式组至少有两个整数解,所以一定包含4和5
画数轴
定范围 因为表示a的点上画的是空心圆圈,所以不能取到5,所以a＞5
因为存在三边长为3,a,7的三角形,所以4＜a＜10,故5＜a＜10,所以a的整数解有4个,故选C.
3 新考法[2026湖南长沙质检,中]若9条长度均为整数的线段,其长度$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9$满足$a_1＜a_2＜a_3＜a_4＜a_5＜a_6＜a_7＜a_8＜a_9$,且这9条线段中的任意3条都不能构成三角形,$a_1=1$,则$a_8$能取的最小值是 (
A.18
B.21
C.41
D.34
D
)A.18
B.21
C.41
D.34
答案
3.D 【解析】由任意3条线段都不能构成三角形,可知$a_k≥a_{k-1}+a_{k-2}(k≥3且k为整数)$. 当$a_1=1$时,$a_2$最小取2,则$a_3$最小取3,…,则此时这9条线段的长度分别为1,2,3,5,8,13,21,34,55,
∴$a_8$能取的最小值是34,故选D.
∴$a_8$能取的最小值是34,故选D.
4[2026辽宁沈阳质检,中]如图,A,B两点都在直线MN的上方,AB=5,点A到直线MN的距离为AC的长,点B到直线MN的距离为BD的长,点P在直线MN上运动,则|PA-PB|的最大值等于
5
。答案
4.5 【解析】如图,延长AB交MN于点P'.
∵ P'A - P'B=AB,AB≥|PA-PB|,
∴ 当点P运动到P'的位置时,|PA-PB|的值最大,即为AB的长.
∵ AB=5,
∴ |PA-PB|的最大值等于5. 故答案为5.
∵ P'A - P'B=AB,AB≥|PA-PB|,
∴ 当点P运动到P'的位置时,|PA-PB|的值最大,即为AB的长.
∵ AB=5,
∴ |PA-PB|的最大值等于5. 故答案为5.
5[2025湖北武汉质检,中]已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a+b=3c-4,a-b=2c-6$,且$a＞b$.
(1)求$c$的取值范围;
(2)若$△ ABC$的周长为12,求$c$的值.
(1)求$c$的取值范围;
(2)若$△ ABC$的周长为12,求$c$的值.
答案
5.【解】(1)由题意得a-b＜c＜a+b,且a+b=3c-4,a-b=2c-6,
∴ 2c-6＜c＜3c-4,
∴ 2＜c＜6. 又
∵ a＞b,
∴ a-b=2c-6＞0,
∴ c＞3,
∴ 3＜c＜6.
(2)
∵ △ABC的周长为12,
∴ a+b+c=12. 又
∵ a+b=3c-4,
∴ 3c-4+c=12,
∴ c=4.
∴ 2c-6＜c＜3c-4,
∴ 2＜c＜6. 又
∵ a＞b,
∴ a-b=2c-6＞0,
∴ c＞3,
∴ 3＜c＜6.
(2)
∵ △ABC的周长为12,
∴ a+b+c=12. 又
∵ a+b=3c-4,
∴ 3c-4+c=12,
∴ c=4.
6 新考法[2026广西百色期中,中]已知一等腰三角形的周长为28 cm.
甲同学说:"如果该等腰三角形其中一条边的长是8 cm,那么这样的等腰三角形有2个."
乙同学说:"如果该等腰三角形其中一条边的长是7 cm,那么这样的等腰三角形有2个."
请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由.
甲同学说:"如果该等腰三角形其中一条边的长是8 cm,那么这样的等腰三角形有2个."
乙同学说:"如果该等腰三角形其中一条边的长是7 cm,那么这样的等腰三角形有2个."
请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由.
答案
6.【解】甲同学说法正确,乙同学说法不正确. 理由:甲:当等腰三角形的腰长为8时,底边长=28-8-8=12,此时三角形三边长为8,8,12,
∵ 8+8＞12,
∴ 此种情况成立;当等腰三角形的底边长为8时,腰长=$\frac{28-8}{2}$=10,此时三角形三边长为10,10,8,
∵ 8+10＞10,
∴ 此种情况成立. 综上,甲同学说法正确. 乙:当等腰三角形的腰长为7时,底边长=28-7-7=14,此时三角形三边长为7,7,14,
∵ 7+7=14,
∴ 此种情况不成立;当等腰三角形的底边长为7时,腰长=$\frac{28-7}{2}$=10.5,此时三角形三边长为10.5,10.5,7,
∵ 7+10.5＞10.5,
∴ 此种情况成立. 综上,乙同学说法不正确.
∵ 8+8＞12,
∴ 此种情况成立;当等腰三角形的底边长为8时,腰长=$\frac{28-8}{2}$=10,此时三角形三边长为10,10,8,
∵ 8+10＞10,
∴ 此种情况成立. 综上,甲同学说法正确. 乙:当等腰三角形的腰长为7时,底边长=28-7-7=14,此时三角形三边长为7,7,14,
∵ 7+7=14,
∴ 此种情况不成立;当等腰三角形的底边长为7时,腰长=$\frac{28-7}{2}$=10.5,此时三角形三边长为10.5,10.5,7,
∵ 7+10.5＞10.5,
∴ 此种情况成立. 综上,乙同学说法不正确.
7 核心素养模型观念[2026浙江杭州质检,较难]已知a,b是正整数,满足a＞b＞7,且a,b,7是一个三角形的三边长,若$a^3$,$b^3$,$7^3$也是一个三角形的三边长,求满足条件的a,b.
答案
7.【解】
∵ a,b,7(a＞b＞7)是一个三角形的三边长,$a^3,b^3,7^3$也是一个三角形的三边长,
∴ a+b＞7,a-b＜7,$a^3+b^3＞7^3$,$a^3-b^3＜7^3$.
∵ a,b是正整数且a＞b＞7,
∴ 从b=8开始分析. 当b=8时,a-8＜7,即a＜15,同时a＞8,
∴ 8＜a＜15,
∴ a可以是9,10,11,12,13,14. 当b=8,a=9时,$a^3=9^3=729$,$b^3=8^3=512$,而$7^3=343$,
∴ $a^3-b^3=729-512=217$,217＜343;$a^3+b^3=729+512=1 241$,343＜1 241,满足三角形的三边关系. 当b=8,a=10时,$a^3=10^3=1 000$,$b^3=512$,而$7^3=343$,
∴ $a^3-b^3=1 000-512=488$,488＞343,不满足三角形的三边关系,随着a增大,$a^3-b^3$会更大,不满足$a^3-b^3＜7^3$. 同理可得a=10,b=9或a=11,b=10也符合条件. 综上,a=9,b=8或a=10,b=9或a=11,b=10.
∵ a,b,7(a＞b＞7)是一个三角形的三边长,$a^3,b^3,7^3$也是一个三角形的三边长,
∴ a+b＞7,a-b＜7,$a^3+b^3＞7^3$,$a^3-b^3＜7^3$.
∵ a,b是正整数且a＞b＞7,
∴ 从b=8开始分析. 当b=8时,a-8＜7,即a＜15,同时a＞8,
∴ 8＜a＜15,
∴ a可以是9,10,11,12,13,14. 当b=8,a=9时,$a^3=9^3=729$,$b^3=8^3=512$,而$7^3=343$,
∴ $a^3-b^3=729-512=217$,217＜343;$a^3+b^3=729+512=1 241$,343＜1 241,满足三角形的三边关系. 当b=8,a=10时,$a^3=10^3=1 000$,$b^3=512$,而$7^3=343$,
∴ $a^3-b^3=1 000-512=488$,488＞343,不满足三角形的三边关系,随着a增大,$a^3-b^3$会更大,不满足$a^3-b^3＜7^3$. 同理可得a=10,b=9或a=11,b=10也符合条件. 综上,a=9,b=8或a=10,b=9或a=11,b=10.
