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10 新情境 学科融合 某化学实验中，反应物浓度C(mol/L)与时间t(min)的几组对应值如下：
| t/min | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C/(mol/L) | 60 |
| 20 | 15 | 12 |
（1）用反比例函数$C=\frac{k}{t}$试验数据，分别求出5个k值；
（2）求k的平均值，并写出函数的解析式；
（3）当$t=2.5$时，用模型预测C的值。
| t/min | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C/(mol/L) | 60 |
| 20 | 15 | 12 |（1）用反比例函数$C=\frac{k}{t}$试验数据，分别求出5个k值；
（2）求k的平均值，并写出函数的解析式；
（3）当$t=2.5$时，用模型预测C的值。
答案
10. (1) $\because 1 × 60=60,2 × 30=60,3 × 20=60,4 × 15=60,5 × 12=60, \therefore 5$ 个 $k$ 值均为 60
(2) $k$ 的平均值为 60, 函数解析式为 $C=\frac{60}{t}$
(3) 当 $t=2.5$ 时,$C=\frac{60}{2.5}=24$
(2) $k$ 的平均值为 60, 函数解析式为 $C=\frac{60}{t}$
(3) 当 $t=2.5$ 时,$C=\frac{60}{2.5}=24$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 对于反比例函数$C=\frac{k}{t}$，变形可得$k=Ct$，因此要计算每组对应的$k$值，只需将每组的$t$和对应的$C$相乘即可；2. 求$k$的平均值，将5个$k$值相加后除以5，再将平均后的$k$代入反比例函数表达式就能得到函数解析式；3. 求$t=2.5$时的$C$值，只需将$t=2.5$代入所得的函数解析式中计算即可。
【解析】
（1）由反比例函数$C=\frac{k}{t}$可得$k = t· C$，分别代入每组数据计算：
当$t=1,C=60$时，$k_1=1×60=60$；
当$t=2,C=30$时，$k_2=2×30=60$；
当$t=3,C=20$时，$k_3=3×20=60$；
当$t=4,C=15$时，$k_4=4×15=60$；
当$t=5,C=12$时，$k_5=5×12=60$；
即5个$k$值均为60。
（2）$k$的平均值为$\frac{60+60+60+60+60}{5}=60$，将$k=60$代入$C=\frac{k}{t}$，得函数解析式为$C=\frac{60}{t}$。
（3）将$t=2.5$代入$C=\frac{60}{t}$，得$C=\frac{60}{2.5}=24$。
【答案】
（1）5个$k$值均为60；
（2）$k$的平均值为60，函数解析式为$C=\frac{60}{t}$；
（3）当$t=2.5$时，$C$的值为24。
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，反比例函数求值
【点评】
本题结合化学实验数据创设情境，考查反比例函数的基础应用，侧重考查对反比例函数基本形式的理解和基本运算能力，引导学生关注跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：1. 对于反比例函数$C=\frac{k}{t}$，变形可得$k=Ct$，因此要计算每组对应的$k$值，只需将每组的$t$和对应的$C$相乘即可；2. 求$k$的平均值，将5个$k$值相加后除以5，再将平均后的$k$代入反比例函数表达式就能得到函数解析式；3. 求$t=2.5$时的$C$值，只需将$t=2.5$代入所得的函数解析式中计算即可。
【解析】
（1）由反比例函数$C=\frac{k}{t}$可得$k = t· C$，分别代入每组数据计算：
当$t=1,C=60$时，$k_1=1×60=60$；
当$t=2,C=30$时，$k_2=2×30=60$；
当$t=3,C=20$时，$k_3=3×20=60$；
当$t=4,C=15$时，$k_4=4×15=60$；
当$t=5,C=12$时，$k_5=5×12=60$；
即5个$k$值均为60。
（2）$k$的平均值为$\frac{60+60+60+60+60}{5}=60$，将$k=60$代入$C=\frac{k}{t}$，得函数解析式为$C=\frac{60}{t}$。
（3）将$t=2.5$代入$C=\frac{60}{t}$，得$C=\frac{60}{2.5}=24$。
【答案】
（1）5个$k$值均为60；
（2）$k$的平均值为60，函数解析式为$C=\frac{60}{t}$；
（3）当$t=2.5$时，$C$的值为24。
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，反比例函数求值
【点评】
本题结合化学实验数据创设情境，考查反比例函数的基础应用，侧重考查对反比例函数基本形式的理解和基本运算能力，引导学生关注跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.85
11 新情境 学科融合 在探究杠杆平衡条件的实验中，固定阻力$F_2$(N)和阻力臂$L_2$(cm)，改变动力$F_1$(N)和动力臂$L_1$(cm)，得到如下数据：
(1) 根据杠杆原理：$F_1 L_1 = F_2 L_2$，计算表格中每一组$F_1$与$L_1$的乘积。
(2) 观察这些乘积，你能发现什么规律？由此写出$F_1$与$L_1$满足的函数解析式。
(3) 若$L_1=10$，需要多大的动力才能保持杠杆平衡？
(1) 根据杠杆原理：$F_1 L_1 = F_2 L_2$，计算表格中每一组$F_1$与$L_1$的乘积。
(2) 观察这些乘积，你能发现什么规律？由此写出$F_1$与$L_1$满足的函数解析式。
(3) 若$L_1=10$，需要多大的动力才能保持杠杆平衡？
答案
11. (1) 乘积依次为:$2 × 12=24,3 × 8=24,4 × 6=24,5 × 4.8=24,6 × 4=24$
(2) 发现每组 $F_1$ 与 $L_1$ 的乘积都是 24, 为定值.因此 $F_1$ 与 $L_1$ 成反比例关系, 函数解析式为 $F_1=\frac{24}{L_1}$
(3) 当$L_1=10$ 时,$F_1=\frac{24}{10}=2.4, \therefore$ 需要 2.4 N 的动力才能保持杠杆平衡
(2) 发现每组 $F_1$ 与 $L_1$ 的乘积都是 24, 为定值.因此 $F_1$ 与 $L_1$ 成反比例关系, 函数解析式为 $F_1=\frac{24}{L_1}$
(3) 当$L_1=10$ 时,$F_1=\frac{24}{10}=2.4, \therefore$ 需要 2.4 N 的动力才能保持杠杆平衡
解析
【分析】
本题结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的相关应用，解题思路如下：(1)第一问直接根据题干要求，将表格中每组对应的动力$F_1$和动力臂$L_1$相乘计算即可；(2)观察第一问算出的乘积，发现所有组的乘积为固定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，结合反比例函数的定义即可写出$F_1$与$L_1$的函数解析式；(3)第三问将$L_1=10$代入第二问得到的函数解析式，计算即可得到对应的动力大小。
【解析】
(1) 分别计算每组$F_1$与$L_1$的乘积：
第一组：$2×12=24$
第二组：$3×8=24$
第三组：$4×6=24$
第四组：$5×4.8=24$
第五组：$6×4=24$
(2) 观察上述计算结果，可得每组$F_1$与$L_1$的乘积都为定值24。根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，可知$F_2L_2=24$为固定值，因此$F_1$与$L_1$成反比例关系，函数解析式为$F_1=\frac{24}{L_1}$（$L_1＞0$）。
(3) 把$L_1=10$代入解析式$F_1=\frac{24}{L_1}$，计算得：
$F_1=\frac{24}{10}=2.4(\mathrm{N})$
【答案】
(1) 乘积依次为$\boldsymbol{24、24、24、24、24}$；
(2) 规律：每组$F_1$与$L_1$的乘积为定值24，二者成反比例关系，函数解析式为$\boldsymbol{F_1=\frac{24}{L_1}}$；
(3) 需要$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{N}}$的动力才能保持杠杆平衡。
【知识点】
反比例函数的定义，杠杆平衡原理，反比例函数求值
【点评】
本题是跨学科融合的实际应用题，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数相关内容，要求学生能从实验数据中总结变量规律，建立反比例函数模型解决实际问题，注重对数据分析能力和知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的相关应用，解题思路如下：(1)第一问直接根据题干要求，将表格中每组对应的动力$F_1$和动力臂$L_1$相乘计算即可；(2)观察第一问算出的乘积，发现所有组的乘积为固定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，结合反比例函数的定义即可写出$F_1$与$L_1$的函数解析式；(3)第三问将$L_1=10$代入第二问得到的函数解析式，计算即可得到对应的动力大小。
【解析】
(1) 分别计算每组$F_1$与$L_1$的乘积：
第一组：$2×12=24$
第二组：$3×8=24$
第三组：$4×6=24$
第四组：$5×4.8=24$
第五组：$6×4=24$
(2) 观察上述计算结果，可得每组$F_1$与$L_1$的乘积都为定值24。根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，可知$F_2L_2=24$为固定值，因此$F_1$与$L_1$成反比例关系，函数解析式为$F_1=\frac{24}{L_1}$（$L_1＞0$）。
(3) 把$L_1=10$代入解析式$F_1=\frac{24}{L_1}$，计算得：
$F_1=\frac{24}{10}=2.4(\mathrm{N})$
【答案】
(1) 乘积依次为$\boldsymbol{24、24、24、24、24}$；
(2) 规律：每组$F_1$与$L_1$的乘积为定值24，二者成反比例关系，函数解析式为$\boldsymbol{F_1=\frac{24}{L_1}}$；
(3) 需要$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{N}}$的动力才能保持杠杆平衡。
【知识点】
反比例函数的定义，杠杆平衡原理，反比例函数求值
【点评】
本题是跨学科融合的实际应用题，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数相关内容，要求学生能从实验数据中总结变量规律，建立反比例函数模型解决实际问题，注重对数据分析能力和知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
12 教材变式题 教材中研究气体压强$P(\mathrm{kPa})$与体积$V(\mathrm{mL})$的关系时，通过6组数据建立了反比例函数模型$P=\frac{k}{V}$，并取$k$的平均值为1997.
（1）这种通过多组数据分别求$k$再取平均值的方法，有什么好处？
（2）已知模型$P=\frac{1997}{V}$，当$V=20$时，压强是多少？
（3）在实际测量中，当$V=16$时，测得的$P=128$.请用（2）中的模型计算此时的压强预测值，并与实测值比较，计算绝对误差（$|$预测值$-$实测值$|$）.这个误差说明了什么（结果精确到0.1 kPa）？
（1）这种通过多组数据分别求$k$再取平均值的方法，有什么好处？
（2）已知模型$P=\frac{1997}{V}$，当$V=20$时，压强是多少？
（3）在实际测量中，当$V=16$时，测得的$P=128$.请用（2）中的模型计算此时的压强预测值，并与实测值比较，计算绝对误差（$|$预测值$-$实测值$|$）.这个误差说明了什么（结果精确到0.1 kPa）？
答案
12. (1) 可以减小单次测量中的误差对模型参数 $k$ 的影响,使最终确定的 $k$ 值更接近真实情况,模型更可靠(合理即可)
(2) 将$V=20$ 代入模型,得 $P=\frac{1997}{20}=99.85, \therefore$ 压强为 99.85 kPa
(3) 模型预测值: $P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125 \approx 124.8$. 实测值:$P_{实测}=128$. 绝对误差$=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$. 这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)
(2) 将$V=20$ 代入模型,得 $P=\frac{1997}{20}=99.85, \therefore$ 压强为 99.85 kPa
(3) 模型预测值: $P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125 \approx 124.8$. 实测值:$P_{实测}=128$. 绝对误差$=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$. 这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)
解析
【分析】
（1）第一小问可结合实验测量的特点思考：单次测量往往受操作、仪器等偶然因素影响存在误差，通过多组数据计算参数再取平均，能降低偶然误差的影响，让得到的参数更准确，对应的函数模型更贴合真实规律。
（2）第二小问是反比例函数基础代入求值问题，已知函数解析式和自变量$V$的取值，直接将$V$的数值代入解析式计算，即可得到对应的压强$P$的值。
（3）第三小问先沿用代入求值的方法，将$V=16$代入模型算出压强预测值，再按照绝对误差的定义（预测值与实测值差的绝对值）计算误差，最后结合模型的属性分析误差的意义：数学模型是对实际规律的近似描述，误差可能来自测量环节的失误，也可能是模型本身的近似性导致的。
【解析】
（1）单次测量容易受偶然因素影响产生误差，通过多组数据分别求$k$再取平均值，可以减小单次测量误差对参数$k$的影响，使得到的$k$值更接近真实值，建立的函数模型更准确可靠。
（2）把$V=20$代入反比例函数模型$P=\frac{1997}{V}$中，计算得：
$P=\frac{1997}{20}=99.85(\mathrm{kPa})$
（3）①将$V=16$代入模型计算预测压强：
$P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125\approx124.8(\mathrm{kPa})$
②已知实测压强$P_{实测}=128\mathrm{kPa}$，根据绝对误差的定义计算：
$\mathrm{绝对误差}=|P_{预测}-P_{实测}|=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$
③误差说明：建立的反比例函数模型是对气体压强与体积变化规律的近似描述，能够大致反映两者的变化趋势，但预测值和实测值之间会存在一定偏差，偏差可能来源于测量误差，也可能说明模型本身只是近似的规律。
【答案】
(1) 可以减小单次测量中的误差对模型参数 $k$ 的影响,使最终确定的 $k$ 值更接近真实情况,模型更可靠(合理即可)
(2) 将$V=20$ 代入模型,得 $P=\frac{1997}{20}=99.85, \therefore$ 压强为 99.85 kPa
(3) 模型预测值: $P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125 \approx 124.8$. 实测值:$P_{实测}=128$. 绝对误差$=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$. 这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)
【知识点】
反比例函数的应用，绝对误差计算，实验数据处理
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的关系设置情境，既考查了反比例函数的基础代入求值能力，又引导学生理解数学建模的实际意义，体会数学模型是对现实规律的近似表达，有利于培养学生的应用意识和数据分析观念。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问可结合实验测量的特点思考：单次测量往往受操作、仪器等偶然因素影响存在误差，通过多组数据计算参数再取平均，能降低偶然误差的影响，让得到的参数更准确，对应的函数模型更贴合真实规律。
（2）第二小问是反比例函数基础代入求值问题，已知函数解析式和自变量$V$的取值，直接将$V$的数值代入解析式计算，即可得到对应的压强$P$的值。
（3）第三小问先沿用代入求值的方法，将$V=16$代入模型算出压强预测值，再按照绝对误差的定义（预测值与实测值差的绝对值）计算误差，最后结合模型的属性分析误差的意义：数学模型是对实际规律的近似描述，误差可能来自测量环节的失误，也可能是模型本身的近似性导致的。
【解析】
（1）单次测量容易受偶然因素影响产生误差，通过多组数据分别求$k$再取平均值，可以减小单次测量误差对参数$k$的影响，使得到的$k$值更接近真实值，建立的函数模型更准确可靠。
（2）把$V=20$代入反比例函数模型$P=\frac{1997}{V}$中，计算得：
$P=\frac{1997}{20}=99.85(\mathrm{kPa})$
（3）①将$V=16$代入模型计算预测压强：
$P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125\approx124.8(\mathrm{kPa})$
②已知实测压强$P_{实测}=128\mathrm{kPa}$，根据绝对误差的定义计算：
$\mathrm{绝对误差}=|P_{预测}-P_{实测}|=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$
③误差说明：建立的反比例函数模型是对气体压强与体积变化规律的近似描述，能够大致反映两者的变化趋势，但预测值和实测值之间会存在一定偏差，偏差可能来源于测量误差，也可能说明模型本身只是近似的规律。
【答案】
(1) 可以减小单次测量中的误差对模型参数 $k$ 的影响,使最终确定的 $k$ 值更接近真实情况,模型更可靠(合理即可)
(2) 将$V=20$ 代入模型,得 $P=\frac{1997}{20}=99.85, \therefore$ 压强为 99.85 kPa
(3) 模型预测值: $P_{预测}=\frac{1997}{16}=124.8125 \approx 124.8$. 实测值:$P_{实测}=128$. 绝对误差$=|124.8-128|=3.2(\mathrm{kPa})$. 这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)
【知识点】
反比例函数的应用，绝对误差计算，实验数据处理
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的关系设置情境，既考查了反比例函数的基础代入求值能力，又引导学生理解数学建模的实际意义，体会数学模型是对现实规律的近似表达，有利于培养学生的应用意识和数据分析观念。
【难度系数】
0.8
