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1.如图，CM是△ABC的中线.若AB=10 cm，则BM的长为 （
A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
C
）A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确题目已知CM是△ABC的中线，根据三角形中线的定义可知，中线与对边的交点是对边的中点，因此M是AB的中点；再结合线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此BM的长度是AB长度的一半，代入AB的数值即可计算出BM的长度。
【解析】
解：
∵CM是△ABC的中线，
∴M是AB边的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=10 cm，
∴$BM=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义，线段中点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形中线定义的理解和应用，熟练掌握相关基础定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确题目已知CM是△ABC的中线，根据三角形中线的定义可知，中线与对边的交点是对边的中点，因此M是AB的中点；再结合线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此BM的长度是AB长度的一半，代入AB的数值即可计算出BM的长度。
【解析】
解：
∵CM是△ABC的中线，
∴M是AB边的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=10 cm，
∴$BM=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义，线段中点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形中线定义的理解和应用，熟练掌握相关基础定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2.由边长相同的小正方形组成的网格如图所示，点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上，则$△ ABC$的重心是（
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
2.A
解析
【分析】
要解决本题，首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此解题核心是找到△ABC的两条中线，两条中线的交点即为重心。首先观察网格确定三角形各边的中点，再画出对应中线，找到中线的公共交点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，我们通过找两条中线的交点来确定重心：
1. 观察网格可知，点E是AB边的中点，因此线段CE是△ABC中AB边上的中线，CE经过点D、G；
2. 同理找到AC边的中点，连接点B与AC中点得到△ABC中AC边上的中线，这条中线经过点D、F；
3. 两条中线的公共交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对三角形重心概念的掌握，解题时结合网格特征准确找到三角形的中线即可快速得到答案，注意不要和三角形的垂心、外心等概念混淆。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此解题核心是找到△ABC的两条中线，两条中线的交点即为重心。首先观察网格确定三角形各边的中点，再画出对应中线，找到中线的公共交点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，我们通过找两条中线的交点来确定重心：
1. 观察网格可知，点E是AB边的中点，因此线段CE是△ABC中AB边上的中线，CE经过点D、G；
2. 同理找到AC边的中点，连接点B与AC中点得到△ABC中AC边上的中线，这条中线经过点D、F；
3. 两条中线的公共交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对三角形重心概念的掌握，解题时结合网格特征准确找到三角形的中线即可快速得到答案，注意不要和三角形的垂心、外心等概念混淆。
【难度系数】
0.8
3.【一题多问】如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，AD为BC边的中线.
(1)若$AB=5$，$AC=3$，则$△ ABD$和$△ ACD$的周长之差为
(2)若$AB=8$，$△ ABD$的周长与$△ ADC$的周长相差3，则$AC=$
(3)若$△ ABD$的面积为4，则$△ ACD$的面积为
(1)若$AB=5$，$AC=3$，则$△ ABD$和$△ ACD$的周长之差为
2
；(2)若$AB=8$，$△ ABD$的周长与$△ ADC$的周长相差3，则$AC=$
5
；(3)若$△ ABD$的面积为4，则$△ ACD$的面积为
4
，$△ ABC$的面积为8
.答案
3.(1)2 (2)5 (3)4 8
解析
【分析】
本题围绕三角形中线的性质解题：首先AD是BC边的中线，可得BD=CD。①求周长差时，分别写出两个三角形的周长表达式，抵消公共边AD和相等的BD、CD，可知周长差实际为AB与AC的差，代入对应数值即可求解；②求面积时，△ABD和△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的垂线段），因此面积相等，进而可求出△ABC的总面积。
【解析】
(1) $△ ABD$的周长 $= AB + BD + AD$，$△ ACD$的周长 $= AC + CD + AD$。
∵AD是BC边的中线，
∴$BD=CD$。
∴两个三角形的周长差 $= (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 5 - 3 = 2$。
(2) 由(1)可知，$△ ABD$与$△ ACD$的周长差为$AB - AC = 3$，
已知$AB=8$，代入得$AC = AB - 3 = 8 - 3 = 5$。
(3) 过点A作$AE⊥BC$，交BC于点E，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×BD×AE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×CD×AE$，
∵$BD=CD$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}=4$，
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=4+4=8$。
【答案】
(1)2；(2)5；(3)4，8
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用，解题的关键是通过中线得到相等的底，进而推导周长差与边长的关系、以及两个小三角形的面积关系，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题围绕三角形中线的性质解题：首先AD是BC边的中线，可得BD=CD。①求周长差时，分别写出两个三角形的周长表达式，抵消公共边AD和相等的BD、CD，可知周长差实际为AB与AC的差，代入对应数值即可求解；②求面积时，△ABD和△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的垂线段），因此面积相等，进而可求出△ABC的总面积。
【解析】
(1) $△ ABD$的周长 $= AB + BD + AD$，$△ ACD$的周长 $= AC + CD + AD$。
∵AD是BC边的中线，
∴$BD=CD$。
∴两个三角形的周长差 $= (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC = 5 - 3 = 2$。
(2) 由(1)可知，$△ ABD$与$△ ACD$的周长差为$AB - AC = 3$，
已知$AB=8$，代入得$AC = AB - 3 = 8 - 3 = 5$。
(3) 过点A作$AE⊥BC$，交BC于点E，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×BD×AE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×CD×AE$，
∵$BD=CD$，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}=4$，
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=4+4=8$。
【答案】
(1)2；(2)5；(3)4，8
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用，解题的关键是通过中线得到相等的底，进而推导周长差与边长的关系、以及两个小三角形的面积关系，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.(链接教材)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠
CAD
=$\frac{1}{2}$∠BAC
。答案
4.CAD BAC
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，角平分线会把对应的内角分成两个大小相等的小角，两个小角的大小都是原内角的$\frac{1}{2}$。本题中AD是△ABC的角平分线，对应平分的是顶点A处的内角∠BAC，据此就可以推出对应相等的角和数量关系。
【解析】
根据三角形角平分线的定义可知，AD作为△ABC的角平分线，平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD，且$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
【答案】
CAD；BAC
【知识点】
三角形角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要准确掌握三角形角平分线的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，角平分线会把对应的内角分成两个大小相等的小角，两个小角的大小都是原内角的$\frac{1}{2}$。本题中AD是△ABC的角平分线，对应平分的是顶点A处的内角∠BAC，据此就可以推出对应相等的角和数量关系。
【解析】
根据三角形角平分线的定义可知，AD作为△ABC的角平分线，平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD，且$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
【答案】
CAD；BAC
【知识点】
三角形角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要准确掌握三角形角平分线的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，AE是$△ ACD$的角平分线.若$∠ BAC = 100°$，则$∠ DAE$的度数是
25°
.答案
5.25°
解析
【分析】
遇到含角平分线的角度计算问题，首先明确角平分线的核心性质：角平分线会将一个角平均分成两个相等的小角，大小为原角的一半。本题已知大角∠BAC的度数，首先利用AD是△ABC的角平分线，先求出∠DAC的度数；再利用AE是△ACD的角平分线，即可求出∠DAE的度数，两次运用角平分线定义就能逐步推导出结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$，
又
∵AE是△ACD的角平分线，
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的应用，解题思路清晰，运算量小，只要掌握角平分线的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
遇到含角平分线的角度计算问题，首先明确角平分线的核心性质：角平分线会将一个角平均分成两个相等的小角，大小为原角的一半。本题已知大角∠BAC的度数，首先利用AD是△ABC的角平分线，先求出∠DAC的度数；再利用AE是△ACD的角平分线，即可求出∠DAE的度数，两次运用角平分线定义就能逐步推导出结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$，
又
∵AE是△ACD的角平分线，
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的应用，解题思路清晰，运算量小，只要掌握角平分线的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.(教材P10习题T8变式)如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC，DE交AB于点E，∠1=∠2，则DF与AB有什么位置关系？请说明理由.
答案
6.$DF// AB$.理由略
解析
【分析】
要判断DF与AB的位置关系，可通过判定两直线被第三条直线所截形成的内错角是否相等推导。首先利用角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，再结合DE//AC的平行线性质得到∠1=∠CAD，结合已知∠1=∠2进行等量代换，可推出∠2=∠BAD，最后根据内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
解：$DF// AB$，理由如下：
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$（角平分线的定义）。
∵$DE// AC$，
∴$∠ 1=∠ CAD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠ 1=∠ 2$（已知），
∴$∠ 2=∠ CAD$（等量代换），
∴$∠ 2=∠ BAD$（等量代换），
∴$DF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$DF// AB$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是通过角的等量代换得到判定平行所需的角的关系，要注意区分平行线的性质和判定的应用场景：由平行推角的关系用性质，由角的关系推平行用判定。
【难度系数】
0.8
要判断DF与AB的位置关系，可通过判定两直线被第三条直线所截形成的内错角是否相等推导。首先利用角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，再结合DE//AC的平行线性质得到∠1=∠CAD，结合已知∠1=∠2进行等量代换，可推出∠2=∠BAD，最后根据内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
解：$DF// AB$，理由如下：
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$（角平分线的定义）。
∵$DE// AC$，
∴$∠ 1=∠ CAD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠ 1=∠ 2$（已知），
∴$∠ 2=∠ CAD$（等量代换），
∴$∠ 2=∠ BAD$（等量代换），
∴$DF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$DF// AB$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是通过角的等量代换得到判定平行所需的角的关系，要注意区分平行线的性质和判定的应用场景：由平行推角的关系用性质，由角的关系推平行用判定。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,利用三角尺能表示BC边上的高的是（
B
）答案
7.B
解析
【分析】
要判断哪个是BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是该边上的高。BC边上的高需满足两个要求：①一端是顶点A，②与BC边垂直。用三角尺画BC边的高的正确操作是：把三角尺的一条直角边与BC重合，平移三角尺让另一条直角边经过点A，沿这条直角边画出的线段就是BC边上的高，据此逐一判断选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：三角尺的直角边未与BC边重合，画出的线段不垂直于BC，不是BC边上的高；
B选项：三角尺的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合BC边上高的画法要求，是BC边上的高；
C选项：三角尺的直角边未经过顶点A，画出的线段端点不是A，不是BC边上的高；
D选项：三角尺的直角边未与BC边重合，画出的线段不垂直于BC，不是BC边上的高。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义、三角形高的画法
【点评】
本题是基础题，重点考查对三角形高的概念的理解和实际作图判断能力，掌握画高的操作要点是解题的关键。
【难度系数】
0.85
要判断哪个是BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是该边上的高。BC边上的高需满足两个要求：①一端是顶点A，②与BC边垂直。用三角尺画BC边的高的正确操作是：把三角尺的一条直角边与BC重合，平移三角尺让另一条直角边经过点A，沿这条直角边画出的线段就是BC边上的高，据此逐一判断选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：三角尺的直角边未与BC边重合，画出的线段不垂直于BC，不是BC边上的高；
B选项：三角尺的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合BC边上高的画法要求，是BC边上的高；
C选项：三角尺的直角边未经过顶点A，画出的线段端点不是A，不是BC边上的高；
D选项：三角尺的直角边未与BC边重合，画出的线段不垂直于BC，不是BC边上的高。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义、三角形高的画法
【点评】
本题是基础题，重点考查对三角形高的概念的理解和实际作图判断能力，掌握画高的操作要点是解题的关键。
【难度系数】
0.85
8.如图.
(1)在△ABC中，BC边上的高是
(2)在△AEC中，CE边上的高是
(3)在△BCF中，BC边上的高是
(1)在△ABC中，BC边上的高是
AD
；(2)在△AEC中，CE边上的高是
AE
；(3)在△BCF中，BC边上的高是
BF
.答案
8.(1)AD (2)AE (3)BF
解析
【分析】
解题前首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。解题时先锁定目标三角形和对应边，再找到该边相对的顶点，判断从顶点向这条边所作的垂线段即可得到答案。
【解析】
(1) 找△ABC中BC边上的高：BC边对应的顶点是A，由图可知AD⊥BC，垂足为D，符合高的定义，因此BC边上的高是AD；
(2) 找△AEC中CE边上的高：CE边对应的顶点是A，由图可知AE⊥CE，垂足为E，符合高的定义，因此CE边上的高是AE；
(3) 找△BCF中BC边上的高：BC边对应的顶点是F，由图可知BF⊥BC，垂足在BC上，符合高的定义，因此BC边上的高是BF。
【答案】
(1)AD；(2)AE；(3)BF
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形高的识别，解题的关键是牢记高的定义，准确对应边和对顶点，识别垂线段即可，注意三角形的高可以在三角形内部、外部或边上。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。解题时先锁定目标三角形和对应边，再找到该边相对的顶点，判断从顶点向这条边所作的垂线段即可得到答案。
【解析】
(1) 找△ABC中BC边上的高：BC边对应的顶点是A，由图可知AD⊥BC，垂足为D，符合高的定义，因此BC边上的高是AD；
(2) 找△AEC中CE边上的高：CE边对应的顶点是A，由图可知AE⊥CE，垂足为E，符合高的定义，因此CE边上的高是AE；
(3) 找△BCF中BC边上的高：BC边对应的顶点是F，由图可知BF⊥BC，垂足在BC上，符合高的定义，因此BC边上的高是BF。
【答案】
(1)AD；(2)AE；(3)BF
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形高的识别，解题的关键是牢记高的定义，准确对应边和对顶点，识别垂线段即可，注意三角形的高可以在三角形内部、外部或边上。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC＞90°$.
(1)分别画出$△ ABC$的三条边上的高线$AE$,$BD$,$CF$;
(2)在(1)的条件下,若$AB=4$,$AC=6$,$CF=3$,求$BD$的长.
(1)分别画出$△ ABC$的三条边上的高线$AE$,$BD$,$CF$;
(2)在(1)的条件下,若$AB=4$,$AC=6$,$CF=3$,求$BD$的长.
答案
9.(1)略 (2)2
解析
【分析】
(1) 画钝角三角形的高时，要紧扣高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。由于∠ABC是钝角，因此AB、BC边上的高落在三角形外部，需要先延长对应边再作垂线，AC边上的高落在三角形内部。
(2) 求BD的长可利用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，用两组不同的底和高计算面积，结果相等，代入已知数值即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 画法如下：
① 作AC边上的高BD：过点B作AC的垂线，垂足为D，线段BD即为AC边上的高；
② 作BC边上的高AE：延长线段CB，过点A作AE垂直于CB的延长线，垂足为E，线段AE即为BC边上的高；
③ 作AB边上的高CF：延长线段AB，过点C作CF垂直于AB的延长线，垂足为F，线段CF即为AB边上的高。
(2) 根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，
以AB为底、CF为高时：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，
以AC为底、BD为高时：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，
因此可得等式：$\frac{1}{2}× AB× CF=\frac{1}{2}× AC× BD$，
两边同时乘2消去系数，代入$AB=4$，$AC=6$，$CF=3$得：
$4×3=6× BD$，
解得$BD=2$。
【答案】
(1) 略；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
1. 三角形高的画法
2. 三角形面积公式
3. 等面积法求值
【点评】
本题核心考查钝角三角形高的识别与画法、等面积法的应用，易错点是钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部，作图时不要漏了延长对应边；等面积法是计算三角形内高线长度的常用方法，需熟练掌握其应用逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 画钝角三角形的高时，要紧扣高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。由于∠ABC是钝角，因此AB、BC边上的高落在三角形外部，需要先延长对应边再作垂线，AC边上的高落在三角形内部。
(2) 求BD的长可利用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，用两组不同的底和高计算面积，结果相等，代入已知数值即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 画法如下：
① 作AC边上的高BD：过点B作AC的垂线，垂足为D，线段BD即为AC边上的高；
② 作BC边上的高AE：延长线段CB，过点A作AE垂直于CB的延长线，垂足为E，线段AE即为BC边上的高；
③ 作AB边上的高CF：延长线段AB，过点C作CF垂直于AB的延长线，垂足为F，线段CF即为AB边上的高。
(2) 根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，
以AB为底、CF为高时：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，
以AC为底、BD为高时：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，
因此可得等式：$\frac{1}{2}× AB× CF=\frac{1}{2}× AC× BD$，
两边同时乘2消去系数，代入$AB=4$，$AC=6$，$CF=3$得：
$4×3=6× BD$，
解得$BD=2$。
【答案】
(1) 略；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
1. 三角形高的画法
2. 三角形面积公式
3. 等面积法求值
【点评】
本题核心考查钝角三角形高的识别与画法、等面积法的应用，易错点是钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部，作图时不要漏了延长对应边；等面积法是计算三角形内高线长度的常用方法，需熟练掌握其应用逻辑。
【难度系数】
0.7
