1[2026山东枣庄期末]【问题提出】某校要举办足球赛，有五支球队参加，若进行单循环比赛，则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
(1)如图，我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上)，其中每个点各代表一支球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连结起来。由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排场比赛。
(2)若学校有n支球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛。
【实际应用】(3)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安站3个车站，那么要准备几种车票？

(1)根据题中思路可以得到,实际只有$5×4÷2 = 10$(条)线段,所以该校一共要安排10场比赛。
(2)由题意得,该校一共要安排$\frac{n(n-1)}{2}$场比赛。
(3)由题意得,要准备$5×4÷2×2 = 20$(种)车票。
答:要准备20种车票。

2[2026江苏扬州期末,较难]“时钟里的数学问题”:时钟是我们日常生活中常用的生活用品,钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转,表盘中数字1~12均匀分布,分针转动一周($360°$)需要60分钟,时针转动一周的$\frac{1}{12}$需要60分钟,即分针的转速为每分钟转$6°$,时针的转速为每分钟转$(\frac{1}{2})°$.
课题学习:三点二十分时,时针与分针所成角度为多少度?解决这个问题,可以先考虑三点时,时针与分针所成角度为$90°$;从三点到三点二十分,分针转动的角度为$20×6°=120°$,时针转动的角度为$20×(\frac{1}{2})°=10°$,$120°-(90°+10°)=20°$,所以三点二十分时,时针与分针所成角度是$20°$.
问题解决:
(1)三点三十分时,时针与分针所成角度是°;
(2)如图(1),表盘上的点A对应数字“12”,点B对应数字“3”,若分针OM从OA的位置开始转动,经过多少分钟,OM第一次平分∠AOB?
(3)如图(2),两点时,时针ON与分针OM所成角度为$60°$,在两点到三点之间,经过多少分钟,OM,ON和OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线?
(4)当时针和分针所成角度为$180°$时形成一条直线,这条直线刚好平分钟面,我们将这样的时刻称为“美妙时刻”,如图(3),六点就是一个“美妙时刻”,从0时到24时共有个“美妙时刻”.

(1)三点整,时针与分针所成角度为$90°$,从三点到三点三十分,分针转动的角度为$30×6° = 180°$,时针转动的角度为$30×(\frac{1}{2})°=15°$,$180°-(90°+15°)=75°$。
(2)设经过t分钟,OM第一次平分∠AOB。
因为OM平分∠AOB,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB$,
即$6t=\frac{1}{2}×90$,解得$t=7.5$。
答:经过7.5分钟,OM第一次平分∠AOB。
(3)设经过x分钟,OM,ON和OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线。
①当ON是OM与OB所成角的平分线时,
$30-\frac{1}{2}x=60+\frac{1}{2}x-6x$,解得$x=6$。
②当OM是OB与ON所成角的平分线时,
$6x-60-\frac{1}{2}x=90-6x$,解得$x=\frac{300}{23}$。
③当OB是ON与OM所成角的平分线时,
$6x-90=30-\frac{1}{2}x$,解得$x=\frac{240}{13}$。
答:经过6,$\frac{300}{23}$或$\frac{240}{13}$分钟,OM,ON和OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线。
(4)从一个“美妙时刻”到下一个“美妙时刻”,分针比时针多走了$360°$,花费的时间为$\frac{360}{6-\frac{1}{2}}=\frac{720}{11}$(分),24时=1440分,$1440÷\frac{720}{11}=22$。