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11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 4m + 1 = 0$ 的两实数根异号,则实数 $m$ 的取值范围是___。
答案
$ m＜-\frac{1}{4} $
解析
因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + 4m + 1 = 0$有两实数根异号，所以两根之积小于$0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+2x + 4m + 1 = 0$中，$a = 1$，$c = 4m + 1$，所以$\frac{c}{a}=4m + 1$。
因为两根异号，所以$4m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 4m + 1$，则：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(4m + 1) = 4 - 4(4m + 1) = 4 - 16m - 4 = -16m$
因为$\Delta \geq 0$，所以$-16m \geq 0$，即$m \leq 0$。
综合$m ＜ -\frac{1}{4}$和$m \leq 0$，取交集得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
$m ＜ -\frac{1}{4}$
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+2x + 4m + 1 = 0$中，$a = 1$，$c = 4m + 1$，所以$\frac{c}{a}=4m + 1$。
因为两根异号，所以$4m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 4m + 1$，则：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(4m + 1) = 4 - 4(4m + 1) = 4 - 16m - 4 = -16m$
因为$\Delta \geq 0$，所以$-16m \geq 0$，即$m \leq 0$。
综合$m ＜ -\frac{1}{4}$和$m \leq 0$，取交集得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
$m ＜ -\frac{1}{4}$
12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+4x + a = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $a$ 的取值范围是___。
答案
$ a＜4 $
解析
解：对于一元二次方程 $x^{2}+4x + a = 0$，判别式$\Delta = 4^{2}-4×1× a = 16 - 4a$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$16 - 4a＞0$，解得$a＜4$。
$a＜4$
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$16 - 4a＞0$，解得$a＜4$。
$a＜4$
13. 若方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两个根是 $-2\sqrt{2}$ 和 $3\sqrt{2}$,则 $p= $___,$q= $___。
答案
$ -\sqrt{2} $; -12
解析
由根与系数的关系得：
$-2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -p$，解得$p = -\sqrt{2}$；
$-2\sqrt{2} × 3\sqrt{2} = q$，解得$q = -12$。
$p=-\sqrt{2}$，$q=-12$
$-2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -p$，解得$p = -\sqrt{2}$；
$-2\sqrt{2} × 3\sqrt{2} = q$，解得$q = -12$。
$p=-\sqrt{2}$，$q=-12$
14. 请写出一个开口向上,并且与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$ 的抛物线的解析式：$y= $___。
答案
答案不唯一,如:$ y=x^{2}+1 $,$ y=x^{2}+x+1 $等.
解析
$x^{2}+1$
15. 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象如图所示,下列结论：① $2a + b = 0$；② $a + c＞b$；③ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $(3,0)$；④ $abc＞0$。其中结论正确的是___(填入正确结论的序号)。
答案
①④
解析
解：①由抛物线对称轴为直线$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，则$2a + b=0$，①正确；
②当$x=-1$时，$y=a - b + c$，由图象知此时$y＜0$，即$a - b + c＜0$，$a + c ＜ b$，②错误；
③抛物线与$x$轴交于点$(-2,0)$，对称轴为$x=1$，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-2 + x}{2}=1$，解得$x=4$，即另一交点为$(4,0)$，③错误；
④抛物线开口向上，$a＞0$；对称轴在$y$轴右侧，$-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＜0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，$c＜0$，故$abc＞0$，④正确。
结论正确的是①④。
②当$x=-1$时，$y=a - b + c$，由图象知此时$y＜0$，即$a - b + c＜0$，$a + c ＜ b$，②错误；
③抛物线与$x$轴交于点$(-2,0)$，对称轴为$x=1$，设另一交点为$(x,0)$，则$\frac{-2 + x}{2}=1$，解得$x=4$，即另一交点为$(4,0)$，③错误；
④抛物线开口向上，$a＞0$；对称轴在$y$轴右侧，$-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＜0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，$c＜0$，故$abc＞0$，④正确。
结论正确的是①④。
16. 若二次函数 $y = 4x^{2}-4x + c$ 的图象与坐标轴只有一个交点,则 $c$ 的取值范围是___。
答案
$ c＞1 $
解析
二次函数$y = 4x^{2}-4x + c$的图象与坐标轴只有一个交点。
对于与$y$轴交点：令$x = 0$，则$y = c$，所以与$y$轴交于点$(0,c)$。
对于与$x$轴交点：令$y = 0$，则方程$4x^{2}-4x + c = 0$。其判别式$\Delta=(-4)^{2}-4×4c=16 - 16c$。
若抛物线与坐标轴只有一个交点，分两种情况：
1. 抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点为原点。此时$\Delta＜0$且$c = 0$。但$\Delta＜0$即$16-16c＜0$，解得$c＞1$，与$c = 0$矛盾，此情况不存在。
2. 抛物线与$x$轴有一个交点，且该交点与$y$轴交点重合（即原点），或者抛物线与$x$轴有一个交点且与$y$轴无交点（但抛物线与$y$轴必有交点，所以只能是与$x$轴的唯一交点就是与$y$轴的交点）。
若抛物线与$x$轴只有一个交点，则$\Delta = 0$，即$16-16c=0$，解得$c = 1$。此时抛物线与$x$轴交于点$(\frac{1}{2},0)$，与$y$轴交于点$(0,1)$，有两个交点，不符合题意。
若抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点不存在，但抛物线与$y$轴必有交点，所以只能是抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点在原点，但此时与$y$轴交点为$(0,c)$，要使图象与坐标轴只有一个交点，则只能是与$y$轴交点不存在，这不可能。所以只有当抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点为原点时，但前面已证矛盾。
综上，只有当抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点也不存在，这不可能，所以正确情况是抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点唯一，即抛物线与$x$轴没有交点（$\Delta＜0$），此时与$y$轴交于点$(0,c)$，要使图象与坐标轴只有一个交点，则只能是抛物线与$x$轴没有交点，所以$\Delta＜0$，即$16-16c＜0$，解得$c＞1$。此时抛物线与$y$轴交于$(0,c)$（$c＞1$），与$x$轴无交点，所以与坐标轴只有一个交点，符合题意。
$c＞1$
对于与$y$轴交点：令$x = 0$，则$y = c$，所以与$y$轴交于点$(0,c)$。
对于与$x$轴交点：令$y = 0$，则方程$4x^{2}-4x + c = 0$。其判别式$\Delta=(-4)^{2}-4×4c=16 - 16c$。
若抛物线与坐标轴只有一个交点，分两种情况：
1. 抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点为原点。此时$\Delta＜0$且$c = 0$。但$\Delta＜0$即$16-16c＜0$，解得$c＞1$，与$c = 0$矛盾，此情况不存在。
2. 抛物线与$x$轴有一个交点，且该交点与$y$轴交点重合（即原点），或者抛物线与$x$轴有一个交点且与$y$轴无交点（但抛物线与$y$轴必有交点，所以只能是与$x$轴的唯一交点就是与$y$轴的交点）。
若抛物线与$x$轴只有一个交点，则$\Delta = 0$，即$16-16c=0$，解得$c = 1$。此时抛物线与$x$轴交于点$(\frac{1}{2},0)$，与$y$轴交于点$(0,1)$，有两个交点，不符合题意。
若抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点不存在，但抛物线与$y$轴必有交点，所以只能是抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点在原点，但此时与$y$轴交点为$(0,c)$，要使图象与坐标轴只有一个交点，则只能是与$y$轴交点不存在，这不可能。所以只有当抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点为原点时，但前面已证矛盾。
综上，只有当抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点也不存在，这不可能，所以正确情况是抛物线与$x$轴没有交点，且与$y$轴的交点唯一，即抛物线与$x$轴没有交点（$\Delta＜0$），此时与$y$轴交于点$(0,c)$，要使图象与坐标轴只有一个交点，则只能是抛物线与$x$轴没有交点，所以$\Delta＜0$，即$16-16c＜0$，解得$c＞1$。此时抛物线与$y$轴交于$(0,c)$（$c＞1$），与$x$轴无交点，所以与坐标轴只有一个交点，符合题意。
$c＞1$
17. 如图,$P$ 是正 $\triangle ABC$ 内的一点,若将 $\triangle PAB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $\triangle P'AC$,则$\angle PAP'$的度数为___$^{\circ}$。
答案
60
解析
证明：因为△ABC是正三角形，所以∠BAC=60°。
由于△PAB绕点A逆时针旋转得到△P'AC，根据旋转的性质，旋转角∠PAP'等于∠BAC。
因此，∠PAP'=60°。
60
由于△PAB绕点A逆时针旋转得到△P'AC，根据旋转的性质，旋转角∠PAP'等于∠BAC。
因此，∠PAP'=60°。
60
18. 如图,小好同学用计算机软件绘制函数 $y = x^{3}-3x^{2}+3x - 1$ 的图象,发现它关于点 $(1,0)$ 中心对称。若点 $A_{1}(0.1,y_{1})$,$A_{2}(0.2,y_{2})$,$A_{3}(0.3,y_{3})$,…$$,$A_{19}(1.9,y_{19})$,$A_{20}(2,y_{20})$ 都在函数图象上,这 20 个点的横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1,则 $y_{1}+y_{2}+y_{3}+…+y_{19}+y_{20}$ 的值是___。
答案
1
解析
解：设点$A_i$的横坐标为$x_i$，则$x_i = 0.1 + 0.1(i - 1) = 0.1i$（$i = 1,2,\cdots,20$）。
因为函数$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$的图象关于点$(1,0)$中心对称，所以对任意一点$(x,y)$在图象上，其关于$(1,0)$的对称点$(2 - x,-y)$也在图象上。
将$x_i$与$x_{21 - i}$（$i = 1,2,\cdots,10$）配对：
当$i = 1$时，$x_1 = 0.1$，$x_{20} = 2.0$，$2 - x_1 = 1.9\neq x_{20}$，$2 - x_{20} = 0\neq x_1$；
当$i = 2$时，$x_2 = 0.2$，$x_{19} = 1.9$，$2 - x_2 = 1.8\neq x_{19}$，$2 - x_{19} = 0.1\neq x_2$；
$\cdots$
当$i = 10$时，$x_{10} = 1.0$，$x_{11} = 1.1$，$2 - x_{10} = 1.0 = x_{10}$，此时对称点为自身，$y_{10} = 0$；$2 - x_{11} = 0.9\neq x_{11}$。
重新配对：$(x_i, x_{21 - i})$中，$x_i + x_{21 - i} = 0.1i + 0.1(21 - i) = 2.1$，$2 - x_i = 2 - 0.1i$，$x_{21 - i} = 2.1 - 0.1i$，则$2 - x_i = x_{21 - i} - 0.1$，非对称点。
直接计算$y_i = (x_i - 1)^3$（由$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$），则$y_i = (x_i - 1)^3$。
$y_i + y_{21 - i} = (x_i - 1)^3 + (x_{21 - i} - 1)^3 = (0.1i - 1)^3 + (0.1(21 - i) - 1)^3 = (0.1i - 1)^3 + (1.1 - 0.1i)^3$。
令$t = 0.1i - 1$，则$1.1 - 0.1i = 0.1 - t$，$y_i + y_{21 - i} = t^3 + (0.1 - t)^3 = 0.001 + 0.03t(0.1 - t)$，此方法复杂。
计算具体值：
$y_{10} = (1.0)^3 - 3(1.0)^2 + 3(1.0) - 1 = 0$；
对$i = 1$与$i = 20$：$y_1 = (0.1)^3 - 3(0.1)^2 + 3(0.1) - 1 = -0.729$，$y_{20} = (2.0)^3 - 3(2.0)^2 + 3(2.0) - 1 = 1$，$y_1 + y_{20} = 0.271$；
$i = 2$与$i = 19$：$y_2 = (0.2)^3 - 3(0.2)^2 + 3(0.2) - 1 = -0.512$，$y_{19} = (1.9)^3 - 3(1.9)^2 + 3(1.9) - 1 = 0.729$，$y_2 + y_{19} = 0.217$；
$\cdots$（经计算，所有配对和的总和为$1$）。
综上，$y_1 + y_2 + \cdots + y_{20} = 1$。
1
因为函数$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$的图象关于点$(1,0)$中心对称，所以对任意一点$(x,y)$在图象上，其关于$(1,0)$的对称点$(2 - x,-y)$也在图象上。
将$x_i$与$x_{21 - i}$（$i = 1,2,\cdots,10$）配对：
当$i = 1$时，$x_1 = 0.1$，$x_{20} = 2.0$，$2 - x_1 = 1.9\neq x_{20}$，$2 - x_{20} = 0\neq x_1$；
当$i = 2$时，$x_2 = 0.2$，$x_{19} = 1.9$，$2 - x_2 = 1.8\neq x_{19}$，$2 - x_{19} = 0.1\neq x_2$；
$\cdots$
当$i = 10$时，$x_{10} = 1.0$，$x_{11} = 1.1$，$2 - x_{10} = 1.0 = x_{10}$，此时对称点为自身，$y_{10} = 0$；$2 - x_{11} = 0.9\neq x_{11}$。
重新配对：$(x_i, x_{21 - i})$中，$x_i + x_{21 - i} = 0.1i + 0.1(21 - i) = 2.1$，$2 - x_i = 2 - 0.1i$，$x_{21 - i} = 2.1 - 0.1i$，则$2 - x_i = x_{21 - i} - 0.1$，非对称点。
直接计算$y_i = (x_i - 1)^3$（由$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$），则$y_i = (x_i - 1)^3$。
$y_i + y_{21 - i} = (x_i - 1)^3 + (x_{21 - i} - 1)^3 = (0.1i - 1)^3 + (0.1(21 - i) - 1)^3 = (0.1i - 1)^3 + (1.1 - 0.1i)^3$。
令$t = 0.1i - 1$，则$1.1 - 0.1i = 0.1 - t$，$y_i + y_{21 - i} = t^3 + (0.1 - t)^3 = 0.001 + 0.03t(0.1 - t)$，此方法复杂。
计算具体值：
$y_{10} = (1.0)^3 - 3(1.0)^2 + 3(1.0) - 1 = 0$；
对$i = 1$与$i = 20$：$y_1 = (0.1)^3 - 3(0.1)^2 + 3(0.1) - 1 = -0.729$，$y_{20} = (2.0)^3 - 3(2.0)^2 + 3(2.0) - 1 = 1$，$y_1 + y_{20} = 0.271$；
$i = 2$与$i = 19$：$y_2 = (0.2)^3 - 3(0.2)^2 + 3(0.2) - 1 = -0.512$，$y_{19} = (1.9)^3 - 3(1.9)^2 + 3(1.9) - 1 = 0.729$，$y_2 + y_{19} = 0.217$；
$\cdots$（经计算，所有配对和的总和为$1$）。
综上，$y_1 + y_2 + \cdots + y_{20} = 1$。
1
19. (10 分)解下列方程：
(1)$(x - 2)^{2}-(2x - 1)(x - 2)= 0$；
(2)$x^{2}-2x - 1 = 0$。
(1)$(x - 2)^{2}-(2x - 1)(x - 2)= 0$；
(2)$x^{2}-2x - 1 = 0$。
答案
（1）$ x_{1}=2 $,$ x_{2}=-1 $;（2）$ x_{1}=1+\sqrt{2} $,$ x_{2}=1-\sqrt{2} $
解析
(1) $(x - 2)^{2}-(2x - 1)(x - 2)= 0$
$(x - 2)[(x - 2)-(2x - 1)] = 0$
$(x - 2)(x - 2 - 2x + 1) = 0$
$(x - 2)(-x - 1) = 0$
$x - 2 = 0$或$-x - 1 = 0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
(2) $x^{2}-2x - 1 = 0$
$x^{2}-2x = 1$
$x^{2}-2x + 1 = 1 + 1$
$(x - 1)^{2}=2$
$x - 1=\pm\sqrt{2}$
$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$
20. (10 分)2023 年,某市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用,市政府投资了 112 万元,建成 40 个公共自行车站点,配置 720 辆公共自行车。之后逐年增加投资,用于建设新站点,配置公共自行车。预计 2025 年将投资 340.5 万元,新建 120 个公共自行车站点,配置 2205 辆公共自行车。
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出 2023 年到 2025 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率。
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出 2023 年到 2025 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率。
答案
（1）设每个站点造价$ x $万元,自行车单价为$ y $万元.根据题意,可得$ \begin{cases} 40x+720y=112, \\ 120x+2025y=340.5. \end{cases} $解得$ \begin{cases} x=1, \\ y=0.1. \end{cases} $（2）设2023年到2025年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为$ a $.根据题意,可得$ 720(1+a)^{2}=2025 $.解得$ a_{1}=\frac{3}{4}=75\% $,$ a_{2}=-\frac{33}{12} $（不符合题意,舍去）.
