10. (★)如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东$30°$方向，$∠ AOB = 100°$，则B地在灯塔O的
【 】

A.南偏东$40°$方向
B.东偏南$30°$方向
C.南偏西$50°$方向
D.南偏东$50°$方向

D

【分析】
这是一道结合方向角的角度计算题，解题思路如下：首先明确方位坐标系中“上北下南、左西右东”的规则，相邻正方向（如正北与正东、正东与正南）的夹角都是90°。先根据A地的方位得出OA与正北、正东方向的夹角，再结合已知的∠AOB的度数，计算出OB与正东方向的夹角，最后推导OB与正南方向的夹角，即可确定B地的方位。
【解析】
首先，根据方向角定义，A地在灯塔O的北偏东30°方向，说明OA与正北方向的夹角为30°。
因为正北方向与正东方向的夹角为90°，所以OA与正东方向的夹角为：$90° - 30° = 60°$。
已知$∠ AOB = 100°$，因此OB与正东方向的夹角为：$∠ AOB - 60° = 100° - 60° = 40°$。
又因为正东方向与正南方向的夹角为90°，所以OB与正南方向的夹角为：$90° - 40° = 50°$。
由此可知B地在灯塔O的南偏东50°方向。
【答案】
D
【知识点】
方向角的定义、角度的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对方向角概念的理解和简单角度运算能力，解题核心是清楚方位图中各正方向之间的夹角为90°，结合已知条件逐步推导即可得到答案。
【难度系数】
0.8

11. (★★)如图.
(1)以点B为顶点的角有几个?分别表示出来.
(2)请分别写出以射线BA为边的角.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有几个?分别写出来.

解：
(1) 以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABD，∠DBC，∠ABC。
(2) 以射线BA为边的角为∠ABD，∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别是∠CDB，∠CDE。

【分析】
解决本题需紧扣角的定义（由公共端点的两条射线组成的图形），按要求分步有序计数：
1. 找以B为顶点的角时，先列出过点B的所有射线，按从小到大的顺序两两组合计数，避免漏数或重复；
2. 找以BA为边的角时，固定BA为其中一条边，和过点B的其他射线分别组合形成角即可；
3. 找以D为顶点、DC为边的角时，固定顶点D和边DC，和过点D的其他射线分别组合形成角，注意角的表示要规范，顶点字母需放在三个字母的中间位置。
【解析】
(1) 以B为公共端点的射线有BA、BD、BC共3条，每两条射线可组成一个角：
单独的小角为∠ABD、∠DBC，两个小角组合的大角为∠ABC，合计3个。
(2) 固定射线BA为角的一条边，另一条边分别为BD、BC，对应得到角∠ABD、∠ABC。
(3) 固定顶点D和边DC，过D的其他射线为DB、DE，分别和DC组合得到角∠CDB、∠CDE，合计2个。
【答案】
(1) 以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABD，∠DBC，∠ABC。
(2) 以射线BA为边的角为∠ABD，∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别是∠CDB，∠CDE。
【知识点】
角的定义；角的表示；数角的方法
【点评】
本题是角的基础考查题，核心要求是掌握角的计数方法和规范表示，计数时按顺序列举可有效避免漏数、重复的问题，书写角的名称时注意顶点字母要放在三个字母的中间位置。
【难度系数】
0.8

12. (★)下列关系正确的是 【 】

A.$30.5°=30°5'$
B.$30.5°=30°50'$
C.$30.5°＜30°5'$
D.$30.5°＞30°5'$

D

【分析】
本题考查度分的换算与角度大小比较，解题关键是牢记度和分的换算进率为60（1°=60′），不要误当成十进制。解题思路为：先将30.5°的小数部分换算为分，统一单位后再和30°5′对比，逐一判断选项正误。
【解析】
首先明确度与分的换算关系：$\boldsymbol{1°=60'}$。
第一步：将$30.5°$换算为度分的形式：
$30.5°=30°+0.5°$，把$0.5°$换算成分：$0.5×60'=30'$，因此$30.5°=30°30'$。
第二步：逐一分析选项：
A选项：$30.5°=30°30'≠30°5'$，错误；
B选项：$30.5°=30°30'≠30°50'$，错误；
C选项：$30°30'$和$30°5'$的度数部分相同，分的部分$30'＞5'$，因此$30°30'＞30°5'$，即$30.5°＞30°5'$，C错误；
D选项：由上述比较可知$30.5°＞30°5'$，正确。
【答案】
D
【知识点】
度分秒换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易将度分的换算进率误记为10，只要牢记1°=60′，正确换算单位后比较大小即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

13. (★★)小刚晚上6点多钟离家外出，此时时针与分针的夹角为110°，回家时发现时钟还未到7点，且时针与分针的夹角为110°，请你推算出小刚外出了多长时间。

解：分针每分钟转动的角度为$\frac{360°}{60}=6°$，
时针每分钟转动的角度为$\frac{360°}{12×60}=0.5°$。
设小刚外出了$x$分钟，
这段时间内，分针从落后时针$110°$到领先时针$110°$，分针比时针多转动的角度为$110°+110°=220°$，
列方程得：
$6x - 0.5x = 220$
$5.5x = 220$
$x = 40$
答：小刚外出了40分钟。

【分析】
解决本题首先要明确时针和分针的转动速度：分针60分钟转360°，时针720分钟（12小时）转360°，可分别算出两者每分钟转动的角度。再分析外出前后时针与分针的位置关系：离家时分针落后时针110°，回家时分针领先时针110°，因此外出时段内分针比时针一共多走了2个110°，即220°。最后设外出时间为x分钟，根据分针与时针的角度差列方程即可求解。
【解析】
解：分针每分钟转动的角度为$\frac{360°}{60}=6°$，
时针每分钟转动的角度为$\frac{360°}{12×60}=0.5°$。
设小刚外出了$x$分钟，
这段时间内，分针从落后时针$110°$到领先时针$110°$，分针比时针多转动的角度为$110°+110°=220°$，
列方程得：
$6x - 0.5x = 220$
$5.5x = 220$
$x = 40$
答：小刚外出了40分钟。
【答案】
40分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是钟面角类的典型题型，解题的关键是准确把握时针、分针的转动速度，理清两者在运动过程中的角度差关系，将钟面角问题转化为追及问题，通过建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7

14. (★★)如图,一张地图上有A,B,C三地,但地图被墨水污染了,C地的具体位置看不清楚,但知道C地在A地的北偏东$30°$方向,在B地的南偏东$45°$方向,你能确定C地的位置吗?若能,请在图上画出.

解：能确定C地的位置。
画法如下：
① 分别过点A、点B作指向正北、正南方向的方位线，两条正北方向的方位线互相平行；
② 以点A为顶点，在正北方向线的东侧，作与正北方向夹角为30°的射线；
③ 以点B为顶点，在正南方向线的东侧，作与正南方向夹角为45°的射线；
④ 上述两条射线的交点即为C地的位置。

【分析】
要确定平面内C地的位置，需结合给出的两个方位条件思考：首先方位角是以正南、正北方向为基准的角，因此要先画出A、B两点的南北方位基准线；再分别以A、B为顶点按要求的角度画出对应方向的射线，两条不平行的射线有唯一交点，该交点同时满足两个方位条件，就是C地的位置。
【解析】
能确定C地的位置，画法步骤如下：
① 分别过点A、点B作指向正北、正南方向的竖直方位线，两条正北方向的方位线互相平行；
② 以点A为顶点，在正北方向线的东侧，用量角器作出与正北方向夹角为30°的射线；
③ 以点B为顶点，在正南方向线的东侧，用量角器作出与正南方向夹角为45°的射线；
④ 上述两条射线的交点即为C地的位置。
【答案】
能确定C地的位置。
画法如下：
① 分别过点A、点B作指向正北、正南方向的方位线，两条正北方向的方位线互相平行；
② 以点A为顶点，在正北方向线的东侧，作与正北方向夹角为30°的射线；
③ 以点B为顶点，在正南方向线的东侧，作与正南方向夹角为45°的射线；
④ 上述两条射线的交点即为C地的位置。
【知识点】
方位角的应用；射线的画法；平面内点的定位
【点评】
本题属于几何作图的实际应用类题目，解题关键是明确方位角的参照基准为南北方向，通过绘制两条对应方位的射线，利用交点确定未知点的位置，能有效考查学生的动手操作能力和对基础几何概念的应用能力。
【难度系数】
0.7

15. (★★★)问题:有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,这个公共端点叫作角的顶点.如果过角的顶点:
(1)在角的内部作一条射线,那么图中一共有个角.
(2)在角的内部作两条射线,一共有个角.
(3)在角的内部作三条射线,一共有个角.
(4)在角的内部作$n$($n$为正整数)条射线,一共有个角.

(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{6}$
(3) $\boldsymbol{10}$
(4) $\boldsymbol{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$

【分析】
数角的本质是数从公共顶点出发的射线两两组合的数量，我们可以类比数线段的方法：如果从顶点出发共有m条射线，那么角的总个数就是从(m-1)开始依次累加递减的正整数，直到1，也就是和为$(m-1)+(m-2)+\dots+1$。解题时先算出每一问的总射线数量（原角的2条边加上内部新增的射线），再用累加方法计算即可，最后通过前几问的特殊值推导到n条射线的一般规律。
【解析】
(1) 角的内部作1条射线时，从顶点出发的总射线数为$2+1=3$条，总角数为$2+1=3$个；
(2) 角的内部作2条射线时，从顶点出发的总射线数为$2+2=4$条，总角数为$3+2+1=6$个；
(3) 角的内部作3条射线时，从顶点出发的总射线数为$2+3=5$条，总角数为$4+3+2+1=10$个；
(4) 角的内部作n条射线时，从顶点出发的总射线数为$2+n$条，总角数为$(n+1)+n+(n-1)+\dots+1$，根据高斯求和公式：和=(首项+末项)×项数÷2，代入得总角数为$\frac{(n+1+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{6}$；(3) $\boldsymbol{10}$；(4) $\boldsymbol{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$
【知识点】
角的概念；角的计数；规律探究
【点评】
本题考查角的计数与规律推导，采用从特殊到一般的探究思路，解题时注意不要漏数、重复数角，掌握累加计数的方法后可快速解决同类射线计数、线段计数问题。
【难度系数】
0.7