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19. (★ ★ ★) 计算 $( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} ) - ( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ) - 2 × ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )$ 的结果是。
[提示:注意整体思想的灵活运用,将 $( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} )$ 看成一个整体,去括号,再进一步计算得出答案即可]
[提示:注意整体思想的灵活运用,将 $( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} )$ 看成一个整体,去括号,再进一步计算得出答案即可]
答案
解：
去括号得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} - 2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})\\=&2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) -1 - 2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) - 2×\frac{1}{6}\\=& -1 - \frac{1}{3}\\=& -\frac{4}{3}\end{aligned}$
最终结果是 $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$。
去括号得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} - 2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})\\=&2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) -1 - 2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) - 2×\frac{1}{6}\\=& -1 - \frac{1}{3}\\=& -\frac{4}{3}\end{aligned}$
最终结果是 $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$。
解析
【分析】
观察算式可发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$重复出现，若直接通分计算步骤繁琐，因此可利用整体思想把这个式子看作一个整体，先按去括号法则去掉所有括号，再合并同类项抵消相同的整体部分，最后进行简单的分数运算即可得到结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
设$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，将其代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=A-(1-A)-2×(A+\frac{1}{6})\\&=A-1+A-2A-2×\frac{1}{6}\\&=(A+A-2A)-1-\frac{1}{3}\\&=0-1-\frac{1}{3}\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、去括号法则、整体思想
【点评】
本题侧重考查简便运算技巧的应用，通过整体思想处理重复出现的式子，可规避多个分数通分的复杂计算，解题时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
观察算式可发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$重复出现，若直接通分计算步骤繁琐，因此可利用整体思想把这个式子看作一个整体，先按去括号法则去掉所有括号，再合并同类项抵消相同的整体部分，最后进行简单的分数运算即可得到结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
设$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，将其代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=A-(1-A)-2×(A+\frac{1}{6})\\&=A-1+A-2A-2×\frac{1}{6}\\&=(A+A-2A)-1-\frac{1}{3}\\&=0-1-\frac{1}{3}\\&=-\frac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、去括号法则、整体思想
【点评】
本题侧重考查简便运算技巧的应用，通过整体思想处理重复出现的式子，可规避多个分数通分的复杂计算，解题时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
20. (★★★)分别在数轴上表示下列每组中的两个数：
①$3\frac{1}{2}$和$4\frac{1}{3}$；②$-2$和$-4.5$；③$3$和$-2.2$；④$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{3}$。
(1)求出表示每组中两个数的对应点之间的距离。
(2)这个距离与这两个数的差有什么关系？
(3)若用$x_1,x_2$分别表示任意的两个数，如何用$x_1,x_2$表示数轴上这两个数的对应点之间的距离？
①$3\frac{1}{2}$和$4\frac{1}{3}$；②$-2$和$-4.5$；③$3$和$-2.2$；④$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{3}$。
(1)求出表示每组中两个数的对应点之间的距离。
(2)这个距离与这两个数的差有什么关系？
(3)若用$x_1,x_2$分别表示任意的两个数，如何用$x_1,x_2$表示数轴上这两个数的对应点之间的距离？
答案
解：
(1) ① 两点之间的距离为：
$4\frac{1}{3} - 3\frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
② 两点之间的距离为：
$-2 - (-4.5) = 2.5$
③ 两点之间的距离为：
$3 - (-2.2) = 5.2$
④ 两点之间的距离为：
$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6}$
(2) 数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值。
(3) 数轴上$x_1$，$x_2$对应点之间的距离可表示为$|x_1 - x_2|$。
(1) ① 两点之间的距离为：
$4\frac{1}{3} - 3\frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
② 两点之间的距离为：
$-2 - (-4.5) = 2.5$
③ 两点之间的距离为：
$3 - (-2.2) = 5.2$
④ 两点之间的距离为：
$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6}$
(2) 数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值。
(3) 数轴上$x_1$，$x_2$对应点之间的距离可表示为$|x_1 - x_2|$。
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：
1. 求解(1)问时，根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，每组两个点的距离可以直接用较大的数减去较小的数计算，分别代入四组数值运算即可；
2. 求解(2)问时，将每组算出的距离和两个数任意作差的结果对比，会发现距离恒为正，差可能为正也可能为负，因此距离等于两个数差的绝对值；
3. 求解(3)问时，把特殊的数值推广到任意两个数$x_1、x_2$，即可归纳出通用的两点距离表达式。
【解析】
(1) 计算每组两点间的距离：
① 因为$4\frac{1}{3}＞3\frac{1}{2}$，所以距离为$4\frac{1}{3} - 3\frac{1}{2} = \frac{5}{6}$；
② 因为$-2＞-4.5$，所以距离为$-2 - (-4.5) = 2.5$；
③ 因为$3＞-2.2$，所以距离为$3 - (-2.2) = 5.2$；
④ 因为$\frac{1}{2}＞-\frac{1}{3}$，所以距离为$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6}$；
(2) 观察上述计算结果：两点距离均为正数，若用较小数减较大数，差为负数，其绝对值和距离相等，因此数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值；
(3) 结合上述规律，任意两个数$x_1,x_2$在数轴上对应点的距离为两个数差的绝对值。
【答案】
(1) ①$\frac{5}{6}$；②$2.5$；③$5.2$；④$\frac{5}{6}$
(2) 数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值
(3) $|x_1 - x_2|$
【知识点】
数轴两点距离；有理数减法运算；绝对值的意义
【点评】
本题从具体有理数的运算出发，引导归纳数轴上两点距离的通用公式，既考查了有理数减法的运算能力，也培养了从特殊到一般的归纳思维，是数轴与有理数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：
1. 求解(1)问时，根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，每组两个点的距离可以直接用较大的数减去较小的数计算，分别代入四组数值运算即可；
2. 求解(2)问时，将每组算出的距离和两个数任意作差的结果对比，会发现距离恒为正，差可能为正也可能为负，因此距离等于两个数差的绝对值；
3. 求解(3)问时，把特殊的数值推广到任意两个数$x_1、x_2$，即可归纳出通用的两点距离表达式。
【解析】
(1) 计算每组两点间的距离：
① 因为$4\frac{1}{3}＞3\frac{1}{2}$，所以距离为$4\frac{1}{3} - 3\frac{1}{2} = \frac{5}{6}$；
② 因为$-2＞-4.5$，所以距离为$-2 - (-4.5) = 2.5$；
③ 因为$3＞-2.2$，所以距离为$3 - (-2.2) = 5.2$；
④ 因为$\frac{1}{2}＞-\frac{1}{3}$，所以距离为$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6}$；
(2) 观察上述计算结果：两点距离均为正数，若用较小数减较大数，差为负数，其绝对值和距离相等，因此数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值；
(3) 结合上述规律，任意两个数$x_1,x_2$在数轴上对应点的距离为两个数差的绝对值。
【答案】
(1) ①$\frac{5}{6}$；②$2.5$；③$5.2$；④$\frac{5}{6}$
(2) 数轴上两个数的对应点之间的距离等于这两个数的差的绝对值
(3) $|x_1 - x_2|$
【知识点】
数轴两点距离；有理数减法运算；绝对值的意义
【点评】
本题从具体有理数的运算出发，引导归纳数轴上两点距离的通用公式，既考查了有理数减法的运算能力，也培养了从特殊到一般的归纳思维，是数轴与有理数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
