15. (★★)某一野外探险队由基地A处向北偏东$30°$方向前进了40 km到达B点，然后又向北偏西$60°$方向前进了30 km到达C点处工作.
(1)请在图中画出行走路线图；(1 cm表示20 km)
(2)通过度量，请你算出C点离基地A的实际距离；(精确到1 km)
(3)若基地要派一指导员赶往C点，要求在2 h内赶到，问：指导员应以不低于多大的平均速度前进才能按时到达？

解：
(1) 作图步骤：
① 根据比例尺1 cm表示20 km，计算得AB的图上距离为$40÷20=2\ \mathrm{cm}$，BC的图上距离为$30÷20=1.5\ \mathrm{cm}$；
② 以点A为顶点，沿北偏东$30°$方向截取长为2 cm的线段AB，得到点B；
③ 以点B为顶点，沿北偏西$60°$方向截取长为1.5 cm的线段BC，得到点C，连接AC，即完成行走路线图的绘制。
(2) 用刻度尺度量得线段AC的图上长度约为2.5 cm，
则C点离基地A的实际距离为$2.5×20=50\ \mathrm{km}$。
(3) 由题意，得平均速度需满足：
$\dfrac{50}{2}=25\ \mathrm{km/h}$
答：指导员应以不低于25 km/h的平均速度前进才能按时到达。

【分析】
这道题分为作图、计算实际距离、求最低速度三个小问，解题思路如下：1. 作图类问题首先明确比例尺，先把AB、BC的实际距离换算为图上距离，再根据题目给出的方向角依次确定B点、C点的位置，连接对应线段即可完成路线绘制；2. 求C到A的实际距离，只需先度量出AC的图上长度，再结合比例尺换算为实际距离即可；3. 求最低平均速度，直接利用“速度=路程÷时间”的公式，用AC的实际距离除以规定的到达时间，就能得到最低速度要求。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 根据比例尺1cm表示20km，先计算两段路程的图上距离：AB的图上距离为$40÷20=2\ \mathrm{cm}$，BC的图上距离为$30÷20=1.5\ \mathrm{cm}$；
② 以点A为顶点，画出北偏东$30°$的射线，在射线上截取长度为2cm的线段AB，得到点B；
③ 以点B为顶点，画出北偏西$60°$的射线，在射线上截取长度为1.5cm的线段BC，得到点C，依次连接AB、BC，即完成行走路线图的绘制。
(2) 用刻度尺度量得到线段AC的图上长度约为2.5cm，换算为实际距离：$2.5×20=50\ \mathrm{km}$。
(3) 根据行程公式，要在2h内赶到C点，最低平均速度为$\dfrac{50}{2}=25\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
(1) 按上述步骤绘制出对应路线图即可；
(2) C点离基地A的实际距离约为50km；
(3) 指导员应以不低于25km/h的平均速度前进才能按时到达。
【知识点】
方向角、比例尺、行程计算
【点评】
本题结合实际探险场景，综合考查了方位作图能力、比例尺换算能力和基础行程计算能力，侧重基础应用，作图时注意方向角的规范、比例尺换算无错误即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

16. (★★★)如图，O为直线EF上一点，将两个直角三角尺的直角顶点叠合在O处.
(1)在如图的位置，若射线OC是∠AOB的平分线，试判断射线OD是否为∠AOE的平分线，并说明理由；
(2)在如图的位置，若∠AOC = 15°，求∠DOB的大小；
(3)将直角三角尺ODC绕点O逆时针旋转，旋转角度不超过180°，在旋转过程中，试探究∠AOC与∠BOD之间满足什么等量关系，并说明理由.

解：
(1) OD是∠AOE的平分线，理由如下：
由题意得，∠AOB=90°，∠COD=90°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 45°。
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 45° = 45°。
∵ O在直线EF上，
∴ ∠AOE = 180° - ∠AOB = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠EOD = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 45° = 45°，
∴ ∠EOD = ∠AOD，即OD是∠AOE的平分线。
(2)
∵ ∠COD=90°，∠AOC=15°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 15° = 75°。
又∵ ∠AOB=90°，
∴ ∠DOB = ∠AOD + ∠AOB = 75° + 90° = 165°。
(3) ∠AOC + ∠BOD = 180°，理由如下：
① 当OC在∠AOB内部时：
∠BOD = ∠AOD + ∠AOB = (∠COD - ∠AOC) + ∠AOB = 90° - ∠AOC + 90° = 180° - ∠AOC，
整理得∠AOC + ∠BOD = 180°。
② 当OC在∠AOB外部时：
∵ ∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - ∠BOC，
两式相加得∠AOC + ∠BOD = 90° + ∠BOC + 90° - ∠BOC = 180°。
综上，旋转过程中始终满足∠AOC + ∠BOD = 180°。

【分析】
(1)判断射线OD是否为∠AOE的平分线，核心是证明∠EOD=∠AOD。首先根据三角尺的特征得∠AOB、∠COD都是90°，结合OC平分∠AOB先求出∠AOC的度数，再通过角的差求出∠AOD，再根据平角的定义求出∠AOE的度数，进而求出∠EOD，比较两角即可得结论。
(2)求∠DOB的大小，先利用∠COD和∠AOC的度数求出∠AOD，再结合∠AOB是直角，通过角的和即可求出∠DOB。
(3)探究∠AOC和∠BOD的等量关系，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部，分别利用角的和差关系结合直角的性质推导即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) OD是∠AOE的平分线，理由如下：
由题意得，∠AOB=90°，∠COD=90°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC = ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 45°。
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 45° = 45°。
∵ O在直线EF上，
∴ ∠AOE = 180° - ∠AOB = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠EOD = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 45° = 45°，
∴ ∠EOD = ∠AOD，即OD是∠AOE的平分线。
(2)
∵ ∠COD=90°，∠AOC=15°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 15° = 75°。
又
∵ ∠AOB=90°，
∴ ∠DOB = ∠AOD + ∠AOB = 75° + 90° = 165°。
(3) ∠AOC + ∠BOD = 180°，理由如下：
① 当OC在∠AOB内部时：
∠BOD = ∠AOD + ∠AOB = (∠COD - ∠AOC) + ∠AOB = 90° - ∠AOC + 90° = 180° - ∠AOC，
整理得∠AOC + ∠BOD = 180°。
② 当OC在∠AOB外部时：
∵ ∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - ∠BOC，
两式相加得∠AOC + ∠BOD = 90° + ∠BOC + 90° - ∠BOC = 180°。
综上，旋转过程中始终满足∠AOC + ∠BOD = 180°。
【答案】
(1) 射线OD是∠AOE的平分线；
(2) $\boldsymbol{∠DOB=165°}$；
(3) $\boldsymbol{∠AOC + ∠BOD = 180°}$。
【知识点】
角平分线的判定；角的和差计算；平角与直角的性质
【点评】
本题以三角尺旋转为背景，考查了角的计算与角平分线的判定，解题时需注意分类讨论旋转过程中角的位置关系，熟练运用角的和差关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6