2. 如图4，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，过点$D$作$DE // BC$交$AB$于点$E$. 求证：$△ BED$是等腰三角形.

证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC.
∵DE // BC，
∴∠EDB = ∠DBC = ∠ABD，
∴BE=ED，
∴△DBE 为等腰三角形

【分析】要证明△BED是等腰三角形，可通过证明三角形中两个内角相等，再由等角对等边得到两边相等来推导。首先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合平行线的内错角相等的性质，通过等量代换得到△BED中两个内角相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC.
∵DE // BC，
∴∠EDB = ∠DBC = ∠ABD，
∴BE=ED，
∴△DBE 为等腰三角形
【答案】
证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC.
∵DE // BC，
∴∠EDB = ∠DBC = ∠ABD，
∴BE=ED，
∴△DBE 为等腰三角形
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，是角平分线、平行线、等腰三角形三者结合的典型题型，核心是通过角的等量代换得到待证三角形的内角相等，进而判定等腰三角形，熟练掌握相关性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.9

题型3 倍角关系构造等腰（计算类）
方法点拨
·截长补短法：在长边上截取线段，构造等腰。
·外角性质：三角形的外角等于不相邻的两内角和，推倍角关系。
·核心思路：遇倍角，作辅助线构造等腰，转化线段关系。
3. 综合与实践.
【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路.“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形.具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题.
【解决问题】如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝AC.

【方法应用】（1）为了证明结论“AB＋BD＝AC”，小亮采用了“截长”的方法，如图6，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题.请按照小亮的思路将证明过程补充完整.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB＝AE,\\∠BAD＝∠EAD,\\AD＝AD,\end{array} $
∴△ABD≌△AED（①）.
∴∠B＝∠AED，BD＝DE.
∵∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C.
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴②（③）.
∴BD＝CE，
∴AB＋BD＝AE＋EC＝AC.
（2）请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图7，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝8，EB＝2.求AB的长.

3. （1）SAS DE=CE 等角对等边 （2）如，在 AE 上截取 AF=AD，连接 CF. 由题意可得∠DAC=180°−∠D−∠ACD=180°−110°−40°=30°，
∴∠FAC=∠BAD−∠DAC=60°−30°=30°，
∴∠DAC=∠FAC=30°. 在△DAC 和△FAC 中，$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAC=∠FAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△DAC≌△FAC（SAS）.
∴∠AFC=∠D=110°，
∴∠CFE=180°−∠AFC=70°.
∵∠B=180°−∠ACB−∠FAC=180°−80°−30°=70°，
∴∠B=∠CFE.
∵CE⊥AB，
∴∠CEF = ∠CEB = 90°. 在 △CEF 和△CEB 中，$\begin{cases} ∠CFE=∠B, \\ ∠CEF=∠CEB, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △CEF ≌ △CEB（AAS）.
∴EF=BE.
∴BF=2BE.
∵AD=8，EB=2，
∴AF=AD=8，BF=4，
∴AB=AF+BF=12

【分析】
（1）第一问中，已知AD平分∠BAC，在AC上截取AE=AB后，△ABD和△AED满足两边及夹角相等，可通过SAS判定全等；结合已知∠B=2∠C与外角性质，可推出∠EDC=∠C，根据等角对等边即可得到DE=CE，完成线段的等量转化。
（2）第二问先利用三角形内角和计算∠DAC的度数，可得AC平分∠BAD，因此采用截长法，在AE上截取AF=AD构造全等三角形，将AD转化为AF；再通过角度计算得到∠CFE=∠B，结合CE是高可证△CEF与△CEB全等，得到EF=EB，最后将AF、EF、EB求和即可得到AB的长度。
【解析】
（1）①在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，满足两边及其夹角对应相等，故全等判定依据为SAS；
②由∠AED=2∠C，且∠AED=∠C+∠EDC，可得∠EDC=∠C，因此DE=CE；
③由角相等推出边相等的依据是等角对等边。
（2）如，在AE上截取AF=AD，连接CF。
在△ADC中，根据三角形内角和定理：
∠DAC=180°−∠D−∠ACD=180°−110°−40°=30°，
∴∠FAC=∠BAD−∠DAC=60°−30°=30°，即∠DAC=∠FAC=30°。
在△DAC和△FAC中：
$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAC=∠FAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△DAC≌△FAC（SAS），
∴∠AFC=∠D=110°，
∴∠CFE=180°−∠AFC=70°。
在△ABC中，∠B=180°−∠ACB−∠BAC=180°−80°−30°=70°，
∴∠CFE=∠B。
∵CE⊥AB，
∴∠CEF=∠CEB=90°。
在△CEF和△CEB中：
$\begin{cases} ∠CFE=∠B, \\ ∠CEF=∠CEB, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△CEF≌△CEB（AAS），
∴EF=BE，即BF=2BE。
已知AD=8，EB=2，
∴AF=AD=8，BF=2×2=4，
∴AB=AF+BF=8+4=12。
【答案】
（1）SAS；DE=CE；等角对等边
（2）如，AB的长为12
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕截长补短法展开考查，结合角的运算、全等三角形与等腰三角形的性质实现线段的等量转化，解题的核心是根据角平分线的特征合理构造全等三角形，将分散的已知线段整合到待求线段上，能有效锻炼几何辅助线构造的思维能力。
【难度系数】
0.6