登录
1. 下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务.
等腰三角形的深入思考
作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形.
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上的一点，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，过点D作DF//BC交CA的延长线于点F，图中出现了新的等腰三角形.
如图2，在△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F，则△ADF是等腰三角形. 在证明时，过点A作AH⊥BC于点H……通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形.
任务：（1）在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：
（2）在图2中补全小颖的辅助线，并证明△ADF是等腰三角形.
（3）如图3，在等边△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为边AC上一点，且BD=CE，连接DE. 若AE=2CE，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由.
等腰三角形的深入思考
作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形.
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上的一点，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，过点D作DF//BC交CA的延长线于点F，图中出现了新的等腰三角形.
如图2，在△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F，则△ADF是等腰三角形. 在证明时，过点A作AH⊥BC于点H……通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形.
任务：（1）在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：
△DBE 和△AFD
.（2）在图2中补全小颖的辅助线，并证明△ADF是等腰三角形.
（3）如图3，在等边△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为边AC上一点，且BD=CE，连接DE. 若AE=2CE，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由.
答案
1. （1）△DBE 和△AFD （2）证明：如
，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H.∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠CAH.
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴AH//DE.
∴∠BAH=∠D，∠CAH=∠AFD.
∴∠D=∠AFD，
∴AF=AD.
∴△AFD 是等腰三角形 （3）DE⊥AC. 理由：如
，在 BC 上截取 CH = CE，连接 EH，设 DE 与 BC 交于点 O.∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠ABC，AC = BC.
∵CH = CE，
∴△ECH 是等边三角形.
∴EC=EH=CH，∠EHC=60°=∠HEC，
∴AE = BH，∠DBO = ∠EHO = 120°.
∵BD = CE，
∴BD = HE. 又
∵∠BOD = ∠HOE，
∴△BOD ≌ △HOE（AAS）.
∴BO = OH = 1/2 BH.
∵AE = 2CE，
∴OH = OB = EH = CH，
∴∠HEO = ∠HOE.
∵∠EHC = ∠EOH + ∠HEO = 60°，
∴∠HEO=30°，
∴∠OEC=90°，
∴DE⊥AC
解析
【分析】
（1）要找图1中的新等腰三角形，先由AB=AC得∠B=∠ACB，再结合平行线的性质得到对应角相等，利用“等角对等边”判定即可：由DE//AC可得∠E=∠ACB，故∠B=∠E，可判断△DBE为等腰三角形；由DF//BC可得∠ADF=∠B、∠AFD=∠ACB，故∠ADF=∠AFD，可判断△AFD为等腰三角形。
（2）要证明△ADF是等腰三角形，需证∠D=∠AFD。先根据等腰三角形三线合一，作AH⊥BC可得∠BAH=∠CAH；再由AH、DE均垂直BC得AH//DE，利用平行线的同位角相等，可将∠BAH转化为∠D、∠CAH转化为∠AFD，即可得到∠D=∠AFD，证得结论。
（3）判断DE与AC的位置关系，结合等边三角形的性质，通过截长补短构造全等三角形推导角度：先在BC上截取CH=CE得到等边△ECH，再证明△BOD≌△HOE得到边的等量关系，结合AE=2CE的条件推导∠OEC的度数，即可判断位置关系为垂直。
【解析】
（1）已知△ABC中AB=AC，故∠B=∠ACB。
∵DE//AC，
∴∠E=∠ACB，
∴∠B=∠E，
∴DB=DE，△DBE为等腰三角形；
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，△AFD为等腰三角形。
（2）补全辅助线：过点A作AH⊥BC于点H，如图。
证明：
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一，得∠BAH=∠CAH。
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AHC=∠DEC=90°，
∴AH//DE。
∴∠BAH=∠D（两直线平行，同位角相等），∠CAH=∠AFD（两直线平行，同位角相等）。
∴∠D=∠AFD，
∴AF=AD，即△ADF为等腰三角形。
（3）DE⊥AC，理由如下：
如图，在BC上截取CH=CE，连接EH，设DE与BC交于点O。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AC=BC。
∵CH=CE，
∴△ECH是等边三角形，
∴EC=EH=CH，∠EHC=∠HEC=60°，
∴∠EHO=180°-60°=120°，∠DBO=180°-60°=120°，即∠DBO=∠EHO；
且BH=BC-CH=AC-CE=AE，即AE=BH。
∵BD=CE，
∴BD=HE。
在△BOD和△HOE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BOD=∠ HOE（对顶角相等）\\∠ DBO=∠ EHO\\BD=HE\end{array} $
∴△BOD≌△HOE（AAS），
∴BO=OH=$\frac{1}{2}$BH。
∵AE=2CE，CE=CH=EH，AE=BH，
∴BH=2CH，即OH=CH=EH，
∴∠HEO=∠HOE。
∵∠EHC是△EOH的外角，
∴∠EHC=∠EOH+∠HEO=60°，
∴2∠HEO=60°，即∠HEO=30°，
∴∠OEC=∠HEO+∠HEC=30°+60°=90°，
∴DE⊥AC。
【答案】
（1）$△ DBE$ 和$△ AFD$
（2）补全辅助线如图，证明：
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠CAH。
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴AH//DE。
∴∠BAH=∠D，∠CAH=∠AFD。
∴∠D=∠AFD，
∴AF=AD。
∴△AFD 是等腰三角形
（3）$DE⊥ AC$，理由：如图，在 BC 上截取 CH = CE，连接 EH，设 DE 与 BC 交于点 O。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠ABC，AC = BC。
∵CH = CE，
∴△ECH 是等边三角形。
∴EC=EH=CH，∠EHC=60°=∠HEC，
∴AE = BH，∠DBO = ∠EHO = 120°。
∵BD = CE，
∴BD = HE。 又
∵∠BOD = ∠HOE，
∴△BOD ≌ △HOE（AAS）。
∴BO = OH = $\frac{1}{2}$ BH。
∵AE = 2CE，
∴OH = OB = EH = CH，
∴∠HEO = ∠HOE。
∵∠EHC = ∠EOH + ∠HEO = 60°，
∴∠HEO=30°，
∴∠OEC=90°，
∴DE⊥AC
【知识点】
等腰（等边）三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕特殊三角形的性质展开，考查了几何常见辅助线的作法，需要熟练运用等腰、等边三角形性质，结合平行线、全等三角形相关知识推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要找图1中的新等腰三角形，先由AB=AC得∠B=∠ACB，再结合平行线的性质得到对应角相等，利用“等角对等边”判定即可：由DE//AC可得∠E=∠ACB，故∠B=∠E，可判断△DBE为等腰三角形；由DF//BC可得∠ADF=∠B、∠AFD=∠ACB，故∠ADF=∠AFD，可判断△AFD为等腰三角形。
（2）要证明△ADF是等腰三角形，需证∠D=∠AFD。先根据等腰三角形三线合一，作AH⊥BC可得∠BAH=∠CAH；再由AH、DE均垂直BC得AH//DE，利用平行线的同位角相等，可将∠BAH转化为∠D、∠CAH转化为∠AFD，即可得到∠D=∠AFD，证得结论。
（3）判断DE与AC的位置关系，结合等边三角形的性质，通过截长补短构造全等三角形推导角度：先在BC上截取CH=CE得到等边△ECH，再证明△BOD≌△HOE得到边的等量关系，结合AE=2CE的条件推导∠OEC的度数，即可判断位置关系为垂直。
【解析】
（1）已知△ABC中AB=AC，故∠B=∠ACB。
∵DE//AC，
∴∠E=∠ACB，
∴∠B=∠E，
∴DB=DE，△DBE为等腰三角形；
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，△AFD为等腰三角形。
（2）补全辅助线：过点A作AH⊥BC于点H，如图
。证明：
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一，得∠BAH=∠CAH。
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AHC=∠DEC=90°，
∴AH//DE。
∴∠BAH=∠D（两直线平行，同位角相等），∠CAH=∠AFD（两直线平行，同位角相等）。
∴∠D=∠AFD，
∴AF=AD，即△ADF为等腰三角形。
（3）DE⊥AC，理由如下：
如图
，在BC上截取CH=CE，连接EH，设DE与BC交于点O。∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AC=BC。
∵CH=CE，
∴△ECH是等边三角形，
∴EC=EH=CH，∠EHC=∠HEC=60°，
∴∠EHO=180°-60°=120°，∠DBO=180°-60°=120°，即∠DBO=∠EHO；
且BH=BC-CH=AC-CE=AE，即AE=BH。
∵BD=CE，
∴BD=HE。
在△BOD和△HOE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BOD=∠ HOE（对顶角相等）\\∠ DBO=∠ EHO\\BD=HE\end{array} $
∴△BOD≌△HOE（AAS），
∴BO=OH=$\frac{1}{2}$BH。
∵AE=2CE，CE=CH=EH，AE=BH，
∴BH=2CH，即OH=CH=EH，
∴∠HEO=∠HOE。
∵∠EHC是△EOH的外角，
∴∠EHC=∠EOH+∠HEO=60°，
∴2∠HEO=60°，即∠HEO=30°，
∴∠OEC=∠HEO+∠HEC=30°+60°=90°，
∴DE⊥AC。
【答案】
（1）$△ DBE$ 和$△ AFD$
（2）补全辅助线如图
，证明：∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠CAH。
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴AH//DE。
∴∠BAH=∠D，∠CAH=∠AFD。
∴∠D=∠AFD，
∴AF=AD。
∴△AFD 是等腰三角形
（3）$DE⊥ AC$，理由：如图
，在 BC 上截取 CH = CE，连接 EH，设 DE 与 BC 交于点 O。∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠ABC，AC = BC。
∵CH = CE，
∴△ECH 是等边三角形。
∴EC=EH=CH，∠EHC=60°=∠HEC，
∴AE = BH，∠DBO = ∠EHO = 120°。
∵BD = CE，
∴BD = HE。 又
∵∠BOD = ∠HOE，
∴△BOD ≌ △HOE（AAS）。
∴BO = OH = $\frac{1}{2}$ BH。
∵AE = 2CE，
∴OH = OB = EH = CH，
∴∠HEO = ∠HOE。
∵∠EHC = ∠EOH + ∠HEO = 60°，
∴∠HEO=30°，
∴∠OEC=90°，
∴DE⊥AC
【知识点】
等腰（等边）三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕特殊三角形的性质展开，考查了几何常见辅助线的作法，需要熟练运用等腰、等边三角形性质，结合平行线、全等三角形相关知识推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
