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6. 请你编写一道含有同类项的多项式，并计算出化简后的结果。要求:①只含有两个字母；②是三次多项式；③含有两种同类项。你编写的是。
答案
解：
编写的多项式为：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$
合并同类项化简：
$\begin{aligned}3a^2b + 2a + a^2b - 5a&=(3a^2b + a^2b) + (2a - 5a)\\&=(3+1)a^2b + (2-5)a\\&=4a^2b - 3a\end{aligned}$
该多项式符合所有要求：①仅含有a、b两个字母；②最高次项次数为3，是三次多项式；③共有$3a^2b$与$a^2b$、$2a$与$-5a$两种不同的同类项。
（注：答案不唯一，满足要求即可）
编写的多项式为：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$
合并同类项化简：
$\begin{aligned}3a^2b + 2a + a^2b - 5a&=(3a^2b + a^2b) + (2a - 5a)\\&=(3+1)a^2b + (2-5)a\\&=4a^2b - 3a\end{aligned}$
该多项式符合所有要求：①仅含有a、b两个字母；②最高次项次数为3，是三次多项式；③共有$3a^2b$与$a^2b$、$2a$与$-5a$两种不同的同类项。
（注：答案不唯一，满足要求即可）
解析
【分析】
解题时我们可以分步构造符合要求的多项式：第一步，先确定两个字母，比如选择a、b，满足“只含有两个字母”的要求；第二步，要构造三次多项式，需要设置最高次项的次数为3，可选择次数为2+1=3的$a^2b$作为三次项；第三步，要含有两种同类项，我们可以设置两组可合并的同类项，比如第一组为系数不同的$a^2b$项，第二组为系数不同的a项，将这四个项组合就能得到初步的多项式；最后按照合并同类项的法则计算化简结果，再核对所有要求是否全部满足即可。
【解析】
我们可以编写多项式为：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$，合并同类项化简过程如下：
$\begin{aligned}3a^2b + 2a + a^2b - 5a&=(3a^2b + a^2b) + (2a - 5a)\\&=(3+1)a^2b + (2-5)a\\&=4a^2b - 3a\end{aligned}$
验证是否符合要求：①仅含有a、b两个字母，符合要求；②最高次项为$a^2b$，次数为3，是三次多项式，符合要求；③含有$3a^2b$与$a^2b$、$2a$与$-5a$两种不同的同类项，符合要求。
【答案】
示例：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$，化简结果为$4a^2b - 3a$（答案不唯一，满足要求即可）
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；多项式的次数
【点评】
本题为开放性题目，重点考查整式相关基础概念的理解与应用，需要学生熟练掌握同类项、多项式次数的定义以及合并同类项的法则，灵活构造符合条件的多项式，能很好地反映学生对整式基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分步构造符合要求的多项式：第一步，先确定两个字母，比如选择a、b，满足“只含有两个字母”的要求；第二步，要构造三次多项式，需要设置最高次项的次数为3，可选择次数为2+1=3的$a^2b$作为三次项；第三步，要含有两种同类项，我们可以设置两组可合并的同类项，比如第一组为系数不同的$a^2b$项，第二组为系数不同的a项，将这四个项组合就能得到初步的多项式；最后按照合并同类项的法则计算化简结果，再核对所有要求是否全部满足即可。
【解析】
我们可以编写多项式为：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$，合并同类项化简过程如下：
$\begin{aligned}3a^2b + 2a + a^2b - 5a&=(3a^2b + a^2b) + (2a - 5a)\\&=(3+1)a^2b + (2-5)a\\&=4a^2b - 3a\end{aligned}$
验证是否符合要求：①仅含有a、b两个字母，符合要求；②最高次项为$a^2b$，次数为3，是三次多项式，符合要求；③含有$3a^2b$与$a^2b$、$2a$与$-5a$两种不同的同类项，符合要求。
【答案】
示例：$3a^2b + 2a + a^2b - 5a$，化简结果为$4a^2b - 3a$（答案不唯一，满足要求即可）
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；多项式的次数
【点评】
本题为开放性题目，重点考查整式相关基础概念的理解与应用，需要学生熟练掌握同类项、多项式次数的定义以及合并同类项的法则，灵活构造符合条件的多项式，能很好地反映学生对整式基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
7. 关于$m$的多项式$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1$的化简结果不含一次项，则$n=$。
答案
解：
合并同类项，将多项式中含m的一次项合并：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + 6n - 1$
因为化简结果不含一次项，所以一次项的系数为0，可得：
$2n - 1 = 0$
解得 $n = \frac{1}{2}$
合并同类项，将多项式中含m的一次项合并：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + 6n - 1$
因为化简结果不含一次项，所以一次项的系数为0，可得：
$2n - 1 = 0$
解得 $n = \frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“多项式化简结果不含一次项”的含义：即多项式中所有次数为1的项的系数总和为0。解题思路如下：第一步，先对给定的多项式合并同类项，找到所有含m的一次项，将它们的系数合并到一起；第二步，根据不含一次项的要求，令一次项的系数等于0，得到关于n的一元一次方程；第三步，解方程即可求出n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项，将含m的一次项合并：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + 6n - 1$
由于化简结果不含一次项，因此一次项的系数为0，可得方程：
$2n - 1 = 0$
解这个方程：
$2n = 1$
$n = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减章节的典型基础题，核心考查“多项式不含某一项时，该项的系数为0”这一规律的应用，只要熟练掌握合并同类项的方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确“多项式化简结果不含一次项”的含义：即多项式中所有次数为1的项的系数总和为0。解题思路如下：第一步，先对给定的多项式合并同类项，找到所有含m的一次项，将它们的系数合并到一起；第二步，根据不含一次项的要求，令一次项的系数等于0，得到关于n的一元一次方程；第三步，解方程即可求出n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项，将含m的一次项合并：
$-3m^2 + 2nm - m + 6n -1 = -3m^2 + (2n - 1)m + 6n - 1$
由于化简结果不含一次项，因此一次项的系数为0，可得方程：
$2n - 1 = 0$
解这个方程：
$2n = 1$
$n = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减章节的典型基础题，核心考查“多项式不含某一项时，该项的系数为0”这一规律的应用，只要熟练掌握合并同类项的方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 如图,这是依依家的一把椅子的侧面示意图,用含a的式子表示这把椅子的侧面面积。(单位:dm)
答案
解：
将该椅子侧面图形分割为三个长方形分别计算面积：
1. 左侧竖直长方形的面积：$S_1 = 7 · a = 7a \ (\mathrm{dm}^2)$
2. 右侧竖直长方形的面积：$S_2 = 3.5 · a = 3.5a \ (\mathrm{dm}^2)$
3. 中间水平长方形的长为 $4a - a = 3a \ (\mathrm{dm})$，宽为 $3.5 - 2.5 = 1 \ (\mathrm{dm})$，面积：$S_3 = 3a · 1 = 3a \ (\mathrm{dm}^2)$
侧面总面积为三个长方形面积之和：
$S = S_1 + S_2 + S_3 = 7a + 3.5a + 3a = 13.5a \ (\mathrm{dm}^2)$
答：这把椅子的侧面面积为$13.5a \ \mathrm{dm}^2$。
将该椅子侧面图形分割为三个长方形分别计算面积：
1. 左侧竖直长方形的面积：$S_1 = 7 · a = 7a \ (\mathrm{dm}^2)$
2. 右侧竖直长方形的面积：$S_2 = 3.5 · a = 3.5a \ (\mathrm{dm}^2)$
3. 中间水平长方形的长为 $4a - a = 3a \ (\mathrm{dm})$，宽为 $3.5 - 2.5 = 1 \ (\mathrm{dm})$，面积：$S_3 = 3a · 1 = 3a \ (\mathrm{dm}^2)$
侧面总面积为三个长方形面积之和：
$S = S_1 + S_2 + S_3 = 7a + 3.5a + 3a = 13.5a \ (\mathrm{dm}^2)$
答：这把椅子的侧面面积为$13.5a \ \mathrm{dm}^2$。
解析
【分析】
求解不规则图形的面积时，可采用分割法将其拆分为若干个熟悉的规则图形（本题拆分为3个长方形），分别计算每个规则图形的面积后求和即可得到总面积。解题时首先明确分割出的三个长方形分别是左侧竖长方形、右侧竖长方形、中间水平长方形，再依次找到每个长方形的长和宽，利用长方形面积公式计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
将椅子侧面的阴影图形分割为3个长方形分别计算面积：
1. 左侧竖直长方形：宽为$a\ \mathrm{dm}$，高为$7\ \mathrm{dm}$，面积$S_1 = 7 × a = 7a\ (\mathrm{dm}^2)$
2. 右侧竖直长方形：宽为$a\ \mathrm{dm}$，高为$3.5\ \mathrm{dm}$，面积$S_2 = 3.5 × a = 3.5a\ (\mathrm{dm}^2)$
3. 中间水平长方形：长为$4a - a = 3a\ (\mathrm{dm})$，宽为$3.5 - 2.5 = 1\ (\mathrm{dm})$，面积$S_3 = 3a × 1 = 3a\ (\mathrm{dm}^2)$
侧面总面积为三个长方形面积之和：
$S = S_1 + S_2 + S_3 = 7a + 3.5a + 3a = 13.5a\ (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$13.5a\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、整式加减
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是通过合理分割将未知的不规则图形转化为已知的规则图形，计算过程中要注意准确提取图中的长度数据，避免长宽取值错误，合并同类项时也要注意计算准确。
【难度系数】
0.75
求解不规则图形的面积时，可采用分割法将其拆分为若干个熟悉的规则图形（本题拆分为3个长方形），分别计算每个规则图形的面积后求和即可得到总面积。解题时首先明确分割出的三个长方形分别是左侧竖长方形、右侧竖长方形、中间水平长方形，再依次找到每个长方形的长和宽，利用长方形面积公式计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
将椅子侧面的阴影图形分割为3个长方形分别计算面积：
1. 左侧竖直长方形：宽为$a\ \mathrm{dm}$，高为$7\ \mathrm{dm}$，面积$S_1 = 7 × a = 7a\ (\mathrm{dm}^2)$
2. 右侧竖直长方形：宽为$a\ \mathrm{dm}$，高为$3.5\ \mathrm{dm}$，面积$S_2 = 3.5 × a = 3.5a\ (\mathrm{dm}^2)$
3. 中间水平长方形：长为$4a - a = 3a\ (\mathrm{dm})$，宽为$3.5 - 2.5 = 1\ (\mathrm{dm})$，面积$S_3 = 3a × 1 = 3a\ (\mathrm{dm}^2)$
侧面总面积为三个长方形面积之和：
$S = S_1 + S_2 + S_3 = 7a + 3.5a + 3a = 13.5a\ (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$13.5a\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、整式加减
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是通过合理分割将未知的不规则图形转化为已知的规则图形，计算过程中要注意准确提取图中的长度数据，避免长宽取值错误，合并同类项时也要注意计算准确。
【难度系数】
0.75
