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9. 阅读材料:在合并同类项中, $5a - 3a + a = (5 - 3 + 1)a = 3a$,类似地,我们把$(x+y)$看成一个整体,则$5(x+y)-3(x+y)+(x+y)=(5-3+1)(x+y)=3(x+y)$。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用:
(1)把$(x-y)^2$看成一个整体,合并$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2$的结果是。
拓展探索:
(2)已知$-x^{m-2n}y^{m+n}$与$-3x^5y^6$是同类项,求$(m-2n)^2 -5(m+n)-2(m-2n)^2 +(m+n)$的值。
尝试应用:
(1)把$(x-y)^2$看成一个整体,合并$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2$的结果是。
拓展探索:
(2)已知$-x^{m-2n}y^{m+n}$与$-3x^5y^6$是同类项,求$(m-2n)^2 -5(m+n)-2(m-2n)^2 +(m+n)$的值。
答案
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{-49}$
解析
【分析】
（1）本题运用整体思想进行合并同类项，解题时将$(x-y)^2$看作一个整体，按照合并同类项“系数相加，字母和指数不变”的法则，只需计算系数的代数和，整体部分保持不变即可得到结果。
（2）首先根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可直接得出$m-2n$和$m+n$的取值；再将所求多项式中$(m-2n)^2$和$(m+n)$分别看作整体合并同类项，化简后代入数值计算即可，无需单独求解$m$、$n$，可简化运算。
【解析】
（1）将$(x-y)^2$看作整体，合并系数：
$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2$
（2）$\because -x^{m-2n}y^{m+n}$与$-3x^5y^6$是同类项
$\therefore$相同字母的指数对应相等，可得$\begin{cases}m-2n=5\\m+n=6\end{cases}$
化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(m-2n)^2 -5(m+n)-2(m-2n)^2 +(m+n)\\=&[(m-2n)^2-2(m-2n)^2]+[-5(m+n)+(m+n)]\\=&-(m-2n)^2-4(m+n)\end{aligned}$
将$m-2n=5$，$m+n=6$代入化简后的式子：
原式$=-5^2 -4×6=-25-24=-49$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{-49}$
【知识点】
合并同类项；同类项的定义；整体代入求值
【点评】
本题聚焦“整体思想”在整式运算中的应用，解题核心是熟练掌握同类项判定规则与合并同类项法则，合理运用整体思想可规避复杂的未知数求解过程，降低运算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.75
（1）本题运用整体思想进行合并同类项，解题时将$(x-y)^2$看作一个整体，按照合并同类项“系数相加，字母和指数不变”的法则，只需计算系数的代数和，整体部分保持不变即可得到结果。
（2）首先根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可直接得出$m-2n$和$m+n$的取值；再将所求多项式中$(m-2n)^2$和$(m+n)$分别看作整体合并同类项，化简后代入数值计算即可，无需单独求解$m$、$n$，可简化运算。
【解析】
（1）将$(x-y)^2$看作整体，合并系数：
$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2$
（2）$\because -x^{m-2n}y^{m+n}$与$-3x^5y^6$是同类项
$\therefore$相同字母的指数对应相等，可得$\begin{cases}m-2n=5\\m+n=6\end{cases}$
化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(m-2n)^2 -5(m+n)-2(m-2n)^2 +(m+n)\\=&[(m-2n)^2-2(m-2n)^2]+[-5(m+n)+(m+n)]\\=&-(m-2n)^2-4(m+n)\end{aligned}$
将$m-2n=5$，$m+n=6$代入化简后的式子：
原式$=-5^2 -4×6=-25-24=-49$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{-49}$
【知识点】
合并同类项；同类项的定义；整体代入求值
【点评】
本题聚焦“整体思想”在整式运算中的应用，解题核心是熟练掌握同类项判定规则与合并同类项法则，合理运用整体思想可规避复杂的未知数求解过程，降低运算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.75
10. 将两边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图①、图②两种方式置于长方形ABCD中，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的周长为$C_1$，图②中阴影部分的周长为$C_2$，求$C_1 - C_2$的值。
答案
解：设长方形ABCD的长$BC=x$，宽$AB=y$。
由图①可得阴影部分周长：
$C_1 = x + (y - b) + (x - a) + (y - a) + 2(a - b)$
$= 2x + 2y - 2b$
由图②可得阴影部分周长：
$C_2 = y + (x - a) + y + (x - a)$
$= 2x + 2y - 2a$
因此：
$C_1 - C_2 = (2x + 2y - 2b) - (2x + 2y - 2a)$
$= 2a - 2b$
最终结论：$C_1-C_2$的值为$2a-2b$。
由图①可得阴影部分周长：
$C_1 = x + (y - b) + (x - a) + (y - a) + 2(a - b)$
$= 2x + 2y - 2b$
由图②可得阴影部分周长：
$C_2 = y + (x - a) + y + (x - a)$
$= 2x + 2y - 2a$
因此：
$C_1 - C_2 = (2x + 2y - 2b) - (2x + 2y - 2a)$
$= 2a - 2b$
最终结论：$C_1-C_2$的值为$2a-2b$。
解析
【分析】
要计算$C_1 - C_2$的值，首先题目未给出长方形ABCD的长和宽，我们可以先设长方形的长$BC=x$、宽$AB=y$，接下来分别梳理图①、图②中阴影部分的各条边长度，用$x、y、a、b$表示出两个阴影的周长，再通过整式的加减运算求差，运算过程中$x、y$会相互抵消，即可得到最终结果。
【解析】
设长方形ABCD的长$BC=x$，宽$AB=y$。
1. 计算图①的阴影周长$C_1$：
将阴影各边长度相加可得：
$C_1 = x + (y - b) + (x - a) + (y - a) + 2(a - b)$
去括号合并同类项：
$C_1 = x + y - b + x - a + y - a + 2a - 2b = 2x + 2y - 2b$
2. 计算图②的阴影周长$C_2$：
同样将阴影各边长度相加：
$C_2 = y + (x - a) + y + (x - a)$
合并同类项得：
$C_2 = 2x + 2y - 2a$
3. 计算$C_1 - C_2$：
$C_1 - C_2 = (2x + 2y - 2b) - (2x + 2y - 2a)$
去括号合并同类项：
$C_1 - C_2 = 2x + 2y - 2b - 2x - 2y + 2a = 2a - 2b$
【答案】
$2a-2b$
【知识点】
1. 列代数式
2. 整式的加减运算
3. 周长的计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的应用，解题关键是准确梳理阴影部分的各边长度，正确列出周长的代数式，运算时要注意去括号的符号规则，避免漏算、错算边长或出现符号错误。
【难度系数】
0.6
要计算$C_1 - C_2$的值，首先题目未给出长方形ABCD的长和宽，我们可以先设长方形的长$BC=x$、宽$AB=y$，接下来分别梳理图①、图②中阴影部分的各条边长度，用$x、y、a、b$表示出两个阴影的周长，再通过整式的加减运算求差，运算过程中$x、y$会相互抵消，即可得到最终结果。
【解析】
设长方形ABCD的长$BC=x$，宽$AB=y$。
1. 计算图①的阴影周长$C_1$：
将阴影各边长度相加可得：
$C_1 = x + (y - b) + (x - a) + (y - a) + 2(a - b)$
去括号合并同类项：
$C_1 = x + y - b + x - a + y - a + 2a - 2b = 2x + 2y - 2b$
2. 计算图②的阴影周长$C_2$：
同样将阴影各边长度相加：
$C_2 = y + (x - a) + y + (x - a)$
合并同类项得：
$C_2 = 2x + 2y - 2a$
3. 计算$C_1 - C_2$：
$C_1 - C_2 = (2x + 2y - 2b) - (2x + 2y - 2a)$
去括号合并同类项：
$C_1 - C_2 = 2x + 2y - 2b - 2x - 2y + 2a = 2a - 2b$
【答案】
$2a-2b$
【知识点】
1. 列代数式
2. 整式的加减运算
3. 周长的计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的应用，解题关键是准确梳理阴影部分的各边长度，正确列出周长的代数式，运算时要注意去括号的符号规则，避免漏算、错算边长或出现符号错误。
【难度系数】
0.6
