19.（本小题满分10分）
在一次消防演练中，某校的消防车按图①所示的方式停放，20 m长的云梯AB需要伸到21 m高的宿舍楼OM的点M处，其平面示意图如图②所示. 已知云梯底端A到地面的距离AA'为3 m，到宿舍楼OM的水平距离AC为6 m. 云梯的长度够吗？请说明理由.

19. 解：如图，连接$AM$。
$\because AA'=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore CO=AA'=3\ \mathrm{m}$。
$\because OM=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore CM=OM-CO=21-3=18(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AM=\sqrt{AC^2+MC^2}=\sqrt{6^2+18^2}=6\sqrt{10}(\mathrm{m})$。
$\because6\sqrt{10}＜20$，
$\therefore$云梯的长度够。

【分析】
要判断云梯长度是否足够，只需比较云梯AB的长度（20m）与点A到点M的距离AM的大小即可：首先根据A到地面的高度和宿舍楼总高度，求出A、M两点的竖直高度差；已知A到宿舍楼的水平距离，此时△ACM为直角三角形，利用勾股定理即可求出AM的长度，最后将AM和20m比较大小就能得出结论。
【解析】
解：如图，连接$AM$。
$\because$ 四边形$AA'OC$是矩形，$AA'=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore CO=AA'=3\ \mathrm{m}$。
$\because OM=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore CM=OM-CO=21-3=18(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，根据勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2+MC^2}=\sqrt{6^2+18^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}(\mathrm{m})$。
$\because 6\sqrt{10}=\sqrt{360}$，$20=\sqrt{400}$，$\sqrt{360}＜\sqrt{400}$，
$\therefore 6\sqrt{10}＜20$，即$AM＜AB$，
$\therefore$ 云梯的长度够。
【答案】
19. 解：如图，连接$AM$。
$\because AA'=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore CO=AA'=3\ \mathrm{m}$。
$\because OM=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore CM=OM-CO=21-3=18(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AM=\sqrt{AC^2+MC^2}=\sqrt{6^2+18^2}=6\sqrt{10}(\mathrm{m})$。
$\because6\sqrt{10}＜20$，
$\therefore$云梯的长度够。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质，实数大小比较
【点评】
本题是结合实际生活的几何应用题，核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，既考查了勾股定理的运用，也考查了学生将实际问题抽象为数学模型的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.7