1.[淄博模拟] 拉杆箱是外出旅行常用的工具.某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60 cm,两节可调节的拉杆(AM,MB)长度相等,且与BC在同一条直线上.如图①,当拉杆伸出一节(AM)时,AC与地面的夹角$∠ACG=53°$;如图②,当拉杆的两节(AM,MB)都伸出时,AC与地面的夹角$∠ACG=37°$,两种情况下拉杆把手A点距离地面的高度相同,求每节拉杆的长度.(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5}$,$\sin37°\approx\frac{3}{5}$,$\tan53°\approx\frac{4}{3}$,$\tan37°\approx\frac{3}{4}$)

如图①,作 $AF⊥ CG$,垂足为 $F$,设一节拉杆的长度为 $x$ cm,则$AC=(60+x)\mathrm{cm}$,

$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AFC$ 中,$\sin 53°=\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{60+x}$,$\therefore AF=[(60+x)· \sin 53°]\mathrm{cm}.$
如图②,作 $AH⊥ CG$,垂足为 $H$,则 $AC=(60+2x)\mathrm{cm}$,
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$\sin 37°=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{60+2x}$,
$\therefore AH=[(60+2x)· \sin 37°]\mathrm{cm}.$
$\because AF=AH$,
$\therefore (60+x)· \sin 53°=(60+2x)· \sin 37°.$
$\therefore \frac{4(60+x)}{5}\approx \frac{3(60+2x)}{5}$,解得 $x\approx 30$.
$\therefore$ 每节拉杆的长度约为 30 cm.

2. 人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面上A,B养殖场捕捞海产品.如图,经测量,A养殖场在灯塔C的南偏西$60°$方向,B养殖场在灯塔C的南偏东$45°$方向,且在A的正东方向,$AC=3600\ \mathrm{m}$.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位);
(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为$600\ \mathrm{m/min}$,请计算说明甲组能否在9 min内到达B处?(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)

(1)如图,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACD=60°$,$AC=3\ 600\ \mathrm{m}$,
$\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore CD=AC· \cos 60°=\frac{1}{2}× 3\ 600=1\ 800(\mathrm{m}).$

在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$∠ BCD=45°$,
$\therefore BC=\frac{CD}{\cos 45°}=1\ 800\sqrt{2}\approx 1\ 800× 1.414\approx 2\ 545(\mathrm{m}).$
$\therefore B$ 养殖场与灯塔 $C$ 的距离约为 2 545 m.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACD=60°$,$AC=3\ 600\ \mathrm{m}$,$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$,$\therefore AD=AC· \sin 60°=3\ 600× \frac{\sqrt{3}}{2}=1\ 800\sqrt{3}(\mathrm{m}).$
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$∠ BCD=45°$,$\therefore BD=CD=1\ 800\ \mathrm{m}.$
$\therefore AB=AD+BD=1\ 800\sqrt{3}+1\ 800\approx 1\ 800× 1.732+1\ 800=4\ 917.6(\mathrm{m}).$
$\because 600× 9=5\ 400(\mathrm{m})$,$5\ 400\ \mathrm{m}＞4\ 917.6\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 甲组能在 9 min 内到达 $B$ 处.
点思路 此类问题的求解思路是作三角形的高,构造有公共边的两个直角三角形,进而借助公共边解两个直角三角形.解决问题的关键是先解其中一个直角三角形,求出公共边的长,然后将公共边的长度作为已知条件解另一个直角三角形.