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12.「2026湖南永州期末，★☆」已知$\begin{cases}x=3, \\ y=-1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$2x-5y=m$的解，则$m$的值为 ______ 。
答案
12.答案 11
解析 将$\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$代入方程$2x-5y=m$得$2×3-5×(-1)=m$,解得$m=11$.
解析 将$\begin{cases}x=3, \\y=-1\end{cases}$代入方程$2x-5y=m$得$2×3-5×(-1)=m$,解得$m=11$.
13.「2026河南郑州期末，★★☆」甲、乙两名同学解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+y=10, \\x+by=7\end{cases}$时，由于粗心，甲看错了方程组中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=6,\end{cases}$乙看错了方程组中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=12,\end{cases}$则原方程组正确的解是 ______ 。
答案
13.答案 $\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$
解析 因为甲看错了方程组中的$a$,所以$\begin{cases}x=1, \\y=6\end{cases}$满足$x+by=7$,所以$1+6b=7$,解得$b=1$,因为乙看错了方程组中的$b$,所以$\begin{cases}x=-1, \\y=12\end{cases}$满足$ax+y=10$,所以$-a+12=10$,解得$a=2$,把$a=2,b=1$代入$\begin{cases}ax+y=10, \\x+by=7,\end{cases}$得$\begin{cases}2x+y=10, \\x+y=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$故方程组$\begin{cases}ax+y=10, \\x+by=7\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$
技巧归纳 二元一次方程组中的“看错”问题的解题技巧:把解分别代入没有看错的方程中,求出系数的值,把系数代入原方程组,解方程组,从而求出原方程组的正确解.
解析 因为甲看错了方程组中的$a$,所以$\begin{cases}x=1, \\y=6\end{cases}$满足$x+by=7$,所以$1+6b=7$,解得$b=1$,因为乙看错了方程组中的$b$,所以$\begin{cases}x=-1, \\y=12\end{cases}$满足$ax+y=10$,所以$-a+12=10$,解得$a=2$,把$a=2,b=1$代入$\begin{cases}ax+y=10, \\x+by=7,\end{cases}$得$\begin{cases}2x+y=10, \\x+y=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$故方程组$\begin{cases}ax+y=10, \\x+by=7\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$
技巧归纳 二元一次方程组中的“看错”问题的解题技巧:把解分别代入没有看错的方程中,求出系数的值,把系数代入原方程组,解方程组,从而求出原方程组的正确解.
14.「2026湖北武汉月考，★★☆」在如图所示的$3×3$的幻方中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则$\frac{1}{2}x - 3y =$
$-\frac{11}{2}$
。答案
14.答案 $-\dfrac{11}{2}$
解析 由题意可得$\begin{cases}x-1+0=2y+y+0, \\2y+y+0=-1+y+9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=13, \\y=4,\end{cases}$所以$\dfrac{1}{2}x-3y=\dfrac{1}{2}×13-3×4=-\dfrac{11}{2}$.
解析 由题意可得$\begin{cases}x-1+0=2y+y+0, \\2y+y+0=-1+y+9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=13, \\y=4,\end{cases}$所以$\dfrac{1}{2}x-3y=\dfrac{1}{2}×13-3×4=-\dfrac{11}{2}$.
15. 核心素养 几何直观「2025河北中考，★★☆」有甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为$a,b$.如图，将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$叠合在一起，形成长为81的纸条，则$a+b=$
99
.答案
15.答案 99
解析 由题意得$\begin{cases}\dfrac{1}{3}a=\dfrac{2}{5}b, \\a-\dfrac{1}{3}a+b=81,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=54, \\b=45,\end{cases}$所以$a+b=99$.
解析 由题意得$\begin{cases}\dfrac{1}{3}a=\dfrac{2}{5}b, \\a-\dfrac{1}{3}a+b=81,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=54, \\b=45,\end{cases}$所以$a+b=99$.
16.「2026广东深圳期末，★★☆」形如$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$的式子称为二阶行列式，其运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{vmatrix}=3×8 -5×6=-6$。若$\begin{vmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1$，$\begin{vmatrix} x & y \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=3$，则$\begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=$ ______ 。
答案
16.答案 2
解析 由$\begin{vmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1$,$\begin{vmatrix} x & y \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=3$可得方程组为$\begin{cases}2x-y=1, \\4x-3y=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0, \\y=-1,\end{cases}$所以$\begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=3x-2y=3×0-2×(-1)=2$.
解析 由$\begin{vmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1$,$\begin{vmatrix} x & y \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=3$可得方程组为$\begin{cases}2x-y=1, \\4x-3y=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0, \\y=-1,\end{cases}$所以$\begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=3x-2y=3×0-2×(-1)=2$.
三、解答题(共56分)
17.「★☆」(6分)已知二元一次方程$5x+3y=22$.
(1)把方程写成用含$x$的代数式表示$y$的形式,即$y=$
(2)填表:使$x,y$的值是方程$5x+3y=22$的解.
(3)直接写出该方程的非负整数解.
17.「★☆」(6分)已知二元一次方程$5x+3y=22$.
(1)把方程写成用含$x$的代数式表示$y$的形式,即$y=$
$-\frac{5}{3}x+\frac{22}{3}$
.(2)填表:使$x,y$的值是方程$5x+3y=22$的解.
(3)直接写出该方程的非负整数解.
答案
17.解析 (1)由$5x+3y=22$得$3y=22-5x$,所以$y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{22}{3}$.
(2)在题表中依次填写$\dfrac{17}{3},4,\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3},-1$.
(3)方程$5x+3y=22$的非负整数解为$\begin{cases}x=2, \\y=4.\end{cases}$
(2)在题表中依次填写$\dfrac{17}{3},4,\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3},-1$.
(3)方程$5x+3y=22$的非负整数解为$\begin{cases}x=2, \\y=4.\end{cases}$
