登录
1. 教材复习题变式 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$. 于是小明进行了以下探索:
设$a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^2$($a,b,m,n$均为正整数),则$a + b\sqrt{2}=m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}$,$\therefore a=m^2 + 2n^2$,$b=2mn$. 这样小明就找到了一种把形如$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法.
(1)若$c + 4\sqrt{3}=(x + y\sqrt{3})^2$($c,x,y$均为正整数),求$c$的值.
(2)化简:$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
设$a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^2$($a,b,m,n$均为正整数),则$a + b\sqrt{2}=m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}$,$\therefore a=m^2 + 2n^2$,$b=2mn$. 这样小明就找到了一种把形如$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法.
(1)若$c + 4\sqrt{3}=(x + y\sqrt{3})^2$($c,x,y$均为正整数),求$c$的值.
(2)化简:$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
答案
(1)$\because (x + y\sqrt{3})^2 = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$,
$\therefore c + 4\sqrt{3} = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$,
$\therefore c = x^2 + 3y^2, 2xy = 4, \therefore xy = 2$.
$\because x,y$都为正整数,$\therefore x=2,y=1$或$x=1,y=2$.
当$x=2,y=1$时,$c = x^2 + 3y^2 = 7$;
当$x=1,y=2$时,$c = x^2 + 3y^2 = 13$,
$\therefore c$的值为7或13.
(2)设$9 - 4\sqrt{5} = (p - q\sqrt{5})^2$($p,q$均为正整数),则$9 - 4\sqrt{5} = p^2 + 5q^2 - 2pq\sqrt{5}$,
$\therefore p^2 + 5q^2 = 9, 2pq = 4, \therefore pq = 2$.
$\because p,q$都为正整数,$\therefore p=1,q=2$或$p=2,q=1$.
当$p=1,q=2$时,$p^2 + 5q^2 ≠ 9$,不符合题意;当$p=2,q=1$时,$p^2 + 5q^2 = 9$,符合题意,
$\therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$.
$\because 2 ＜ \sqrt{5}, \therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$.
$\therefore c + 4\sqrt{3} = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$,
$\therefore c = x^2 + 3y^2, 2xy = 4, \therefore xy = 2$.
$\because x,y$都为正整数,$\therefore x=2,y=1$或$x=1,y=2$.
当$x=2,y=1$时,$c = x^2 + 3y^2 = 7$;
当$x=1,y=2$时,$c = x^2 + 3y^2 = 13$,
$\therefore c$的值为7或13.
(2)设$9 - 4\sqrt{5} = (p - q\sqrt{5})^2$($p,q$均为正整数),则$9 - 4\sqrt{5} = p^2 + 5q^2 - 2pq\sqrt{5}$,
$\therefore p^2 + 5q^2 = 9, 2pq = 4, \therefore pq = 2$.
$\because p,q$都为正整数,$\therefore p=1,q=2$或$p=2,q=1$.
当$p=1,q=2$时,$p^2 + 5q^2 ≠ 9$,不符合题意;当$p=2,q=1$时,$p^2 + 5q^2 = 9$,符合题意,
$\therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$.
$\because 2 ＜ \sqrt{5}, \therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$.
解析
【分析】
(1) 第一问可类比题干给出的探究方法，先将等式右侧的完全平方展开，再根据等式两边有理部分、二次根式的系数分别对应相等，得到关于x、y的关系式，结合x、y均为正整数的条件分类求解，最后代入计算c的值即可。
(2) 第二问需先将被开方数$9-4\sqrt{5}$转化为某个完全平方的形式，类比第一问的系数对应法求出完全平方式的底数，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合绝对值的意义化简得到结果。
【解析】
(1) $\because (x + y\sqrt{3})^2 = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$，
$\therefore c + 4\sqrt{3} = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$，
对应系数相等可得：$c = x^2 + 3y^2$，$2xy = 4$，即$xy=2$。
$\because x,y$都为正整数，$\therefore x=2,y=1$或$x=1,y=2$。
当$x=2,y=1$时，$c = 2^2 + 3×1^2 = 7$；
当$x=1,y=2$时，$c = 1^2 + 3×2^2 = 13$，
$\therefore c$的值为7或13。
(2) 设$9 - 4\sqrt{5} = (p - q\sqrt{5})^2$（$p,q$均为正整数），则$9 - 4\sqrt{5} = p^2 + 5q^2 - 2pq\sqrt{5}$，
对应系数相等可得：$p^2 + 5q^2 = 9$，$2pq = 4$，即$pq=2$。
$\because p,q$都为正整数，$\therefore p=1,q=2$或$p=2,q=1$。
当$p=1,q=2$时，$p^2 + 5q^2 = 1 + 20 = 21 ≠ 9$，不符合题意，舍去；当$p=2,q=1$时，$p^2 + 5q^2 = 4 + 5 = 9$，符合题意，
$\therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$。
$\because 2 ＜ \sqrt{5}$，$\therefore \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$。
【答案】
(1) 7或13；(2) $\sqrt{5} - 2$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，双重二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的探究应用类问题，解题核心是类比题干给定的方法，利用完全平方公式展开后对应系数相等求解，解题时需注意正整数解的分类讨论，以及二次根式化简时绝对值的符号判断。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可类比题干给出的探究方法，先将等式右侧的完全平方展开，再根据等式两边有理部分、二次根式的系数分别对应相等，得到关于x、y的关系式，结合x、y均为正整数的条件分类求解，最后代入计算c的值即可。
(2) 第二问需先将被开方数$9-4\sqrt{5}$转化为某个完全平方的形式，类比第一问的系数对应法求出完全平方式的底数，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合绝对值的意义化简得到结果。
【解析】
(1) $\because (x + y\sqrt{3})^2 = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$，
$\therefore c + 4\sqrt{3} = x^2 + 3y^2 + 2xy\sqrt{3}$，
对应系数相等可得：$c = x^2 + 3y^2$，$2xy = 4$，即$xy=2$。
$\because x,y$都为正整数，$\therefore x=2,y=1$或$x=1,y=2$。
当$x=2,y=1$时，$c = 2^2 + 3×1^2 = 7$；
当$x=1,y=2$时，$c = 1^2 + 3×2^2 = 13$，
$\therefore c$的值为7或13。
(2) 设$9 - 4\sqrt{5} = (p - q\sqrt{5})^2$（$p,q$均为正整数），则$9 - 4\sqrt{5} = p^2 + 5q^2 - 2pq\sqrt{5}$，
对应系数相等可得：$p^2 + 5q^2 = 9$，$2pq = 4$，即$pq=2$。
$\because p,q$都为正整数，$\therefore p=1,q=2$或$p=2,q=1$。
当$p=1,q=2$时，$p^2 + 5q^2 = 1 + 20 = 21 ≠ 9$，不符合题意，舍去；当$p=2,q=1$时，$p^2 + 5q^2 = 4 + 5 = 9$，符合题意，
$\therefore \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$。
$\because 2 ＜ \sqrt{5}$，$\therefore \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$。
【答案】
(1) 7或13；(2) $\sqrt{5} - 2$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，双重二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的探究应用类问题，解题核心是类比题干给定的方法，利用完全平方公式展开后对应系数相等求解，解题时需注意正整数解的分类讨论，以及二次根式化简时绝对值的符号判断。
【难度系数】
0.7
2.【回顾旧知,类比求解】
(1)解方程: $\sqrt{x+1}=2$.
解: $\sqrt{x+1}=2$,等式两边同时平方,
得一元一次方程
解得 $x=$
经检验,$x=$
【学会转化,解决问题】
(2)应用上面的方法,解方程: $\sqrt{9x^2 -5x}+3x=1$.
(3) $\sqrt{x^2 +4}+\sqrt{(7-x)^2 +4}$ 的值能否等于7?
若能,求出 $x$ 的值;若不能,请说明理由.
(1)解方程: $\sqrt{x+1}=2$.
解: $\sqrt{x+1}=2$,等式两边同时平方,
得一元一次方程
x+1=4
,解得 $x=$
3
.经检验,$x=$
3
是原方程的解.【学会转化,解决问题】
(2)应用上面的方法,解方程: $\sqrt{9x^2 -5x}+3x=1$.
(3) $\sqrt{x^2 +4}+\sqrt{(7-x)^2 +4}$ 的值能否等于7?
若能,求出 $x$ 的值;若不能,请说明理由.
答案
(1) $x+1=4$，解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
(2)已知$\sqrt{9x^2 -5x} + 3x = 1$,
移项,得$\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$,
等式两边同时平方,得$9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$,
即$9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$,解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$1 - 3x = 1 - 3 × 1 = -2 ＜ 0$,
$\therefore x=1$不是原方程的解,即原方程无解.
(3)不能. 理由如下:
假设$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7$.
移项,得$\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$,
等式两边同时平方,
得$(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$,
化简,得$\sqrt{x^2 + 4} = x$,等式两边同时平方,
得$x^2 + 4 = x^2$,该方程无解,
$\therefore \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} ≠ 7$.
(2)已知$\sqrt{9x^2 -5x} + 3x = 1$,
移项,得$\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$,
等式两边同时平方,得$9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$,
即$9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$,解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$1 - 3x = 1 - 3 × 1 = -2 ＜ 0$,
$\therefore x=1$不是原方程的解,即原方程无解.
(3)不能. 理由如下:
假设$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7$.
移项,得$\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$,
等式两边同时平方,
得$(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$,
化简,得$\sqrt{x^2 + 4} = x$,等式两边同时平方,
得$x^2 + 4 = x^2$,该方程无解,
$\therefore \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} ≠ 7$.
解析
【分析】
这道题围绕无理方程的求解展开，核心解题思路是利用平方运算去掉根号，将无理方程转化为整式方程求解，注意平方运算可能产生增根，求解后必须检验。
(1)第一问是基础应用，直接对等式两边平方即可转化为一元一次方程，求解后代入原方程检验即可。
(2)第二问先移项，把含根号的式子单独放在等号一侧，再平方去根号转化为整式方程求解，求出解后要注意二次根式的值是非负的，因此平方前等号右侧的式子也必须非负，否则就是增根。
(3)第三问属于探究类问题，可先假设代数式的值等于7得到无理方程，再按移项、平方去根号、化简的步骤求解，若最终方程有符合要求的解则能等于7，否则不能。
【解析】
(1) 对$\sqrt{x+1}=2$两边同时平方，得一元一次方程$x+1=4$，解得$x=3$；把$x=3$代入原方程，左边$\sqrt{3+1}=2$与右边相等，经检验$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程$\sqrt{9x^2 -5x}+3x=1$：
移项得$\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$，等式两边同时平方得$9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$，展开化简得$9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$，消去同类项解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$1 - 3x = 1 - 3 × 1 = -2 ＜ 0$，不符合二次根式的非负性，因此$x=1$是增根，原方程无解。
(3) 假设$\sqrt{x^2 +4}+\sqrt{(7-x)^2 +4}=7$：
移项得$\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$，等式两边同时平方得$(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$，化简得$\sqrt{x^2 + 4} = x$，再次两边平方得$x^2 + 4 = x^2$，该方程无实根，因此假设不成立。
【答案】
(1) $x+1=4$；$3$；$3$
(2) 原方程无解
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
1. 无理方程的解法 2. 二次根式的性质 3. 增根的检验
【点评】
本题从基础解法入手，逐步递进考查无理方程的求解和探究应用，核心是掌握“平方去根号”的转化思想，尤其要注意求解后必须检验，排除不符合二次根式非负性的增根，探究类问题可通过假设成立转化为方程求解验证。
【难度系数】
0.6
这道题围绕无理方程的求解展开，核心解题思路是利用平方运算去掉根号，将无理方程转化为整式方程求解，注意平方运算可能产生增根，求解后必须检验。
(1)第一问是基础应用，直接对等式两边平方即可转化为一元一次方程，求解后代入原方程检验即可。
(2)第二问先移项，把含根号的式子单独放在等号一侧，再平方去根号转化为整式方程求解，求出解后要注意二次根式的值是非负的，因此平方前等号右侧的式子也必须非负，否则就是增根。
(3)第三问属于探究类问题，可先假设代数式的值等于7得到无理方程，再按移项、平方去根号、化简的步骤求解，若最终方程有符合要求的解则能等于7，否则不能。
【解析】
(1) 对$\sqrt{x+1}=2$两边同时平方，得一元一次方程$x+1=4$，解得$x=3$；把$x=3$代入原方程，左边$\sqrt{3+1}=2$与右边相等，经检验$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程$\sqrt{9x^2 -5x}+3x=1$：
移项得$\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$，等式两边同时平方得$9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$，展开化简得$9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$，消去同类项解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$1 - 3x = 1 - 3 × 1 = -2 ＜ 0$，不符合二次根式的非负性，因此$x=1$是增根，原方程无解。
(3) 假设$\sqrt{x^2 +4}+\sqrt{(7-x)^2 +4}=7$：
移项得$\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$，等式两边同时平方得$(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$，化简得$\sqrt{x^2 + 4} = x$，再次两边平方得$x^2 + 4 = x^2$，该方程无实根，因此假设不成立。
【答案】
(1) $x+1=4$；$3$；$3$
(2) 原方程无解
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
1. 无理方程的解法 2. 二次根式的性质 3. 增根的检验
【点评】
本题从基础解法入手，逐步递进考查无理方程的求解和探究应用，核心是掌握“平方去根号”的转化思想，尤其要注意求解后必须检验，排除不符合二次根式非负性的增根，探究类问题可通过假设成立转化为方程求解验证。
【难度系数】
0.6
3. 若 $ a ＞ 0, b ＞ 0 $，则 $ a = (\sqrt{a})^2, b = (\sqrt{b})^2, \therefore (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} $.
$ \because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0, \therefore a + b - 2\sqrt{ab} ≥ 0, \therefore a + b ≥ 2\sqrt{ab} $. 根据不等式“$ a + b ≥ 2\sqrt{ab} $”，可解决一些最值问题.
【解决问题】
(1) 若 $ a ＞ 0, b ＞ 0, ab = 16 $，求 $ a + b $ 的最小值.
【拓展应用】
(2) 用篱笆围成一个面积为 $ 100 \, \mathrm{m}^2 $ 的长方形菜园(一面靠墙，墙足够长)，所用的篱笆最短是多少米？
(3) 如图，四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC, BD $ 相交于点 $ O, △ AOD, △ BOC $ 的面积分别为 2 和 3，求四边形 $ ABCD $ 面积的最小值.
$ \because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0, \therefore a + b - 2\sqrt{ab} ≥ 0, \therefore a + b ≥ 2\sqrt{ab} $. 根据不等式“$ a + b ≥ 2\sqrt{ab} $”，可解决一些最值问题.
【解决问题】
(1) 若 $ a ＞ 0, b ＞ 0, ab = 16 $，求 $ a + b $ 的最小值.
【拓展应用】
(2) 用篱笆围成一个面积为 $ 100 \, \mathrm{m}^2 $ 的长方形菜园(一面靠墙，墙足够长)，所用的篱笆最短是多少米？
(3) 如图，四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC, BD $ 相交于点 $ O, △ AOD, △ BOC $ 的面积分别为 2 和 3，求四边形 $ ABCD $ 面积的最小值.
答案
(1)$\because a ＞ 0, b ＞ 0, ab = 16$,
$\therefore a + b \ge 2\sqrt{ab} = 8, \therefore a + b$的最小值为8.
(2)设该长方形菜园垂直于墙的一边长为$x$ m,平行于墙的一边长为$y$ m,
则$xy = 100, \therefore y = \frac{100}{x}, \therefore$ 篱笆的长为$(\frac{100}{x} + 2x)$ m.
$\because \frac{100}{x} + 2x \ge 2\sqrt{\frac{100}{x} × 2x} = 2\sqrt{200} = 2\sqrt{100 × 2} = 2 × \sqrt{100} × \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$,
$\therefore$ 所用的篱笆最短是$20\sqrt{2}$ m.
(3)$\because \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}} = \frac{OD}{OB} = \frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}, \therefore S_{△ COD} = \frac{6}{S_{△ AOB}}$,
$\therefore S_{四边形ABCD} = 2 + 3 + S_{△ AOB} + \frac{6}{S_{△ AOB}}$.
记$S_{△ AOB} = m$,则有$S_{四边形ABCD} = (m + \frac{6}{m}) + 5$.
$\because (m + \frac{6}{m}) + 5 \ge 2\sqrt{m · \frac{6}{m}} + 5 = 2\sqrt{6} + 5$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$面积的最小值为$2\sqrt{6} + 5$.
提分大招：已知$a,b$为正数,则有$a + b \ge 2\sqrt{ab}$(二级结论). 简记为:积定和最小,和定积最大,当$a = b$时,取等号.
$\therefore a + b \ge 2\sqrt{ab} = 8, \therefore a + b$的最小值为8.
(2)设该长方形菜园垂直于墙的一边长为$x$ m,平行于墙的一边长为$y$ m,
则$xy = 100, \therefore y = \frac{100}{x}, \therefore$ 篱笆的长为$(\frac{100}{x} + 2x)$ m.
$\because \frac{100}{x} + 2x \ge 2\sqrt{\frac{100}{x} × 2x} = 2\sqrt{200} = 2\sqrt{100 × 2} = 2 × \sqrt{100} × \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$,
$\therefore$ 所用的篱笆最短是$20\sqrt{2}$ m.
(3)$\because \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}} = \frac{OD}{OB} = \frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}, \therefore S_{△ COD} = \frac{6}{S_{△ AOB}}$,
$\therefore S_{四边形ABCD} = 2 + 3 + S_{△ AOB} + \frac{6}{S_{△ AOB}}$.
记$S_{△ AOB} = m$,则有$S_{四边形ABCD} = (m + \frac{6}{m}) + 5$.
$\because (m + \frac{6}{m}) + 5 \ge 2\sqrt{m · \frac{6}{m}} + 5 = 2\sqrt{6} + 5$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$面积的最小值为$2\sqrt{6} + 5$.
提分大招：已知$a,b$为正数,则有$a + b \ge 2\sqrt{ab}$(二级结论). 简记为:积定和最小,和定积最大,当$a = b$时,取等号.
解析
【分析】
本题考查题干给出的不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$，当且仅当$a=b$时等号成立，即“积定和最小”）的应用：
(1) 已知$ab$为定值16，直接代入不等式即可求出$a+b$的最小值；
(2) 先设出长方形的边长，结合面积为定值表示出篱笆总长，将总长转化为两个正数和的形式，套用不等式求最小值；
(3) 先利用“同高的两个三角形面积之比等于对应底边长之比”，得出$△ AOB$和$△ COD$的面积乘积为定值，再将四边形总面积表示为两个正数和加定值的形式，套用不等式求最小值。
【解析】
(1) $\because a＞0,b＞0,ab=16$
$\therefore$根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：$a+b≥2\sqrt{16}=8$，当且仅当$a=b=4$时等号成立，
$\therefore a+b$的最小值为8。
(2) 设长方形菜园垂直于墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的一边长为$y\ \mathrm{m}$，
由题意得菜园面积$xy=100$，即$y=\frac{100}{x}$，
篱笆总长为$2x+y=2x+\frac{100}{x}$，
$\because x＞0$，根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：
$2x+\frac{100}{x}≥2\sqrt{2x·\frac{100}{x}}=2\sqrt{200}=20\sqrt{2}$，当且仅当$2x=\frac{100}{x}$即$x=5\sqrt{2}$时等号成立，
$\therefore$所用篱笆最短为$20\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(3) $\because △ AOD$和$△ AOB$同高，面积比等于底$OD:OB$；$△ COD$和$△ BOC$同高，面积比也等于底$OD:OB$，
$\therefore \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=\frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}$，代入$S_{△ AOD}=2,S_{△ BOC}=3$，
得$\frac{2}{S_{△ AOB}}=\frac{S_{△ COD}}{3}$，即$S_{△ AOB}· S_{△ COD}=6$，$S_{△ COD}=\frac{6}{S_{△ AOB}}$，
设$S_{△ AOB}=m(m＞0)$，则四边形$ABCD$的面积为：
$S=2+3+m+\frac{6}{m}=m+\frac{6}{m}+5$，
根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：$m+\frac{6}{m}≥2\sqrt{m·\frac{6}{m}}=2\sqrt{6}$，当且仅当$m=\frac{6}{m}$即$m=\sqrt{6}$时等号成立，
$\therefore S≥2\sqrt{6}+5$，即四边形$ABCD$面积的最小值为$5+2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{20\sqrt{2}\ \mathrm{m}}$；(3) $\boxed{5+2\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 均值不等式应用
2. 三角形面积比
3. 最值求解
【点评】
本题属于新定义应用类题型，核心是理解题干给出的“积定和最小”的不等式规律，既考查代数场景下的直接套用，也考查几何场景下的转化应用，第三问需要先结合三角形面积的性质推导未知量的关系，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题考查题干给出的不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$，当且仅当$a=b$时等号成立，即“积定和最小”）的应用：
(1) 已知$ab$为定值16，直接代入不等式即可求出$a+b$的最小值；
(2) 先设出长方形的边长，结合面积为定值表示出篱笆总长，将总长转化为两个正数和的形式，套用不等式求最小值；
(3) 先利用“同高的两个三角形面积之比等于对应底边长之比”，得出$△ AOB$和$△ COD$的面积乘积为定值，再将四边形总面积表示为两个正数和加定值的形式，套用不等式求最小值。
【解析】
(1) $\because a＞0,b＞0,ab=16$
$\therefore$根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：$a+b≥2\sqrt{16}=8$，当且仅当$a=b=4$时等号成立，
$\therefore a+b$的最小值为8。
(2) 设长方形菜园垂直于墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的一边长为$y\ \mathrm{m}$，
由题意得菜园面积$xy=100$，即$y=\frac{100}{x}$，
篱笆总长为$2x+y=2x+\frac{100}{x}$，
$\because x＞0$，根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：
$2x+\frac{100}{x}≥2\sqrt{2x·\frac{100}{x}}=2\sqrt{200}=20\sqrt{2}$，当且仅当$2x=\frac{100}{x}$即$x=5\sqrt{2}$时等号成立，
$\therefore$所用篱笆最短为$20\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(3) $\because △ AOD$和$△ AOB$同高，面积比等于底$OD:OB$；$△ COD$和$△ BOC$同高，面积比也等于底$OD:OB$，
$\therefore \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=\frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}$，代入$S_{△ AOD}=2,S_{△ BOC}=3$，
得$\frac{2}{S_{△ AOB}}=\frac{S_{△ COD}}{3}$，即$S_{△ AOB}· S_{△ COD}=6$，$S_{△ COD}=\frac{6}{S_{△ AOB}}$，
设$S_{△ AOB}=m(m＞0)$，则四边形$ABCD$的面积为：
$S=2+3+m+\frac{6}{m}=m+\frac{6}{m}+5$，
根据$a+b≥2\sqrt{ab}$可得：$m+\frac{6}{m}≥2\sqrt{m·\frac{6}{m}}=2\sqrt{6}$，当且仅当$m=\frac{6}{m}$即$m=\sqrt{6}$时等号成立，
$\therefore S≥2\sqrt{6}+5$，即四边形$ABCD$面积的最小值为$5+2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{20\sqrt{2}\ \mathrm{m}}$；(3) $\boxed{5+2\sqrt{6}}$
【知识点】
1. 均值不等式应用
2. 三角形面积比
3. 最值求解
【点评】
本题属于新定义应用类题型，核心是理解题干给出的“积定和最小”的不等式规律，既考查代数场景下的直接套用，也考查几何场景下的转化应用，第三问需要先结合三角形面积的性质推导未知量的关系，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
