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例1 下列说法错误的是()
A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A的圆能作无数个
C.经过两个已知点A,B的圆能作两个
D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能作一个圆
【思路导析】根据确定圆的条件进行判断.
【请你解答】.
A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A的圆能作无数个
C.经过两个已知点A,B的圆能作两个
D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能作一个圆
【思路导析】根据确定圆的条件进行判断.
【请你解答】.
答案
C
解析
【分析】
本题考查确定圆的条件相关判断，解题思路如下：首先明确圆的两个核心要素是圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），再依次分析每个选项：①判断已知圆心半径能否确定圆；②判断过1个点、2个点、不在同一直线上3个点时可作圆的数量，核心逻辑是圆心到所有圆上点的距离都等于半径，因此过已知点的圆的圆心必须满足到所有已知点的距离相等，由此推导可选出错误选项。
【解析】
根据确定圆的条件逐一分析选项：
A. 已知圆心可以确定圆的位置，已知半径可以确定圆的大小，两个要素都确定时，仅能作出1个圆，该说法正确，不符合题意；
B. 经过点A的圆，圆心为平面内除A外的任意点，半径为圆心到点A的距离，满足条件的圆心有无数个，因此能作无数个圆，该说法正确，不符合题意；
C. 经过A、B两点的圆，圆心需满足到A、B的距离相等，即圆心在AB的垂直平分线上，而垂直平分线上有无数个点，因此能作无数个圆，不是2个，该说法错误，符合题意；
D. 根据三点定圆定理，不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，即只能作1个圆，该说法正确，不符合题意。
综上，选择说法错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点定圆定理；线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易误认为过两个已知点仅能作出有限个圆，解题时只需紧扣“圆心到所有圆上点的距离相等”这一核心性质推导即可。
【难度系数】
0.8
本题考查确定圆的条件相关判断，解题思路如下：首先明确圆的两个核心要素是圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），再依次分析每个选项：①判断已知圆心半径能否确定圆；②判断过1个点、2个点、不在同一直线上3个点时可作圆的数量，核心逻辑是圆心到所有圆上点的距离都等于半径，因此过已知点的圆的圆心必须满足到所有已知点的距离相等，由此推导可选出错误选项。
【解析】
根据确定圆的条件逐一分析选项：
A. 已知圆心可以确定圆的位置，已知半径可以确定圆的大小，两个要素都确定时，仅能作出1个圆，该说法正确，不符合题意；
B. 经过点A的圆，圆心为平面内除A外的任意点，半径为圆心到点A的距离，满足条件的圆心有无数个，因此能作无数个圆，该说法正确，不符合题意；
C. 经过A、B两点的圆，圆心需满足到A、B的距离相等，即圆心在AB的垂直平分线上，而垂直平分线上有无数个点，因此能作无数个圆，不是2个，该说法错误，符合题意；
D. 根据三点定圆定理，不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，即只能作1个圆，该说法正确，不符合题意。
综上，选择说法错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点定圆定理；线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易误认为过两个已知点仅能作出有限个圆，解题时只需紧扣“圆心到所有圆上点的距离相等”这一核心性质推导即可。
【难度系数】
0.8
例2 三角形的外心是三条边的的交点.
【思路导析】根据三角形的外心的定义作答.
【请你解答】.
知识点三 反证法
【思路导析】根据三角形的外心的定义作答.
【请你解答】.
知识点三 反证法
答案
解：垂直平分线
解析
【分析】
本题考查三角形外心的相关概念，解题思路如下：1. 明确考点：核心是回忆三角形外心的定义与性质；2. 关联旧知：三角形外心是外接圆的圆心，具备到三角形三个顶点距离相等的性质，再结合线段垂直平分线的逆定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上），可推出外心同时在三条边的垂直平分线上，即可得出结论。
【解析】
根据三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。由线段垂直平分线的逆定理可知，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此外心位于三角形三条边的垂直平分线上，即三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
三角形外心的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对基础定义的识记与理解，熟练掌握相关核心概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外心的相关概念，解题思路如下：1. 明确考点：核心是回忆三角形外心的定义与性质；2. 关联旧知：三角形外心是外接圆的圆心，具备到三角形三个顶点距离相等的性质，再结合线段垂直平分线的逆定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上），可推出外心同时在三条边的垂直平分线上，即可得出结论。
【解析】
根据三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。由线段垂直平分线的逆定理可知，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此外心位于三角形三条边的垂直平分线上，即三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
三角形外心的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对基础定义的识记与理解，熟练掌握相关核心概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
例3 用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设 .
【思路导析】提出与结论相反的假设.
【请你解答】 .
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】提出与结论相反的假设.
【请你解答】 .
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：直角三角形的两个锐角不互余
解析
【分析】
首先回忆反证法的解题步骤，反证法的第一步是“反设”，即假设所证命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。接下来先明确本题要证的命题“直角三角形的两个锐角互余”的核心结论是“两个锐角互余”，我们只需写出该结论的反面表述即可得到要假设的内容，互余的反面就是不互余，由此就能推出最终的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题“直角三角形的两个锐角互余”的结论为“直角三角形的两个锐角互余”，对该结论进行否定，得到“直角三角形的两个锐角不互余”，因此应先假设该内容成立。
【答案】
直角三角形的两个锐角不互余
【知识点】
1.反证法 2.命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题的核心是准确把握反证法第一步反设的要求，正确找到原命题的结论并对其进行准确否定，注意否定要对应原结论的全部相反情况，避免出现否定不全的错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆反证法的解题步骤，反证法的第一步是“反设”，即假设所证命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。接下来先明确本题要证的命题“直角三角形的两个锐角互余”的核心结论是“两个锐角互余”，我们只需写出该结论的反面表述即可得到要假设的内容，互余的反面就是不互余，由此就能推出最终的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题“直角三角形的两个锐角互余”的结论为“直角三角形的两个锐角互余”，对该结论进行否定，得到“直角三角形的两个锐角不互余”，因此应先假设该内容成立。
【答案】
直角三角形的两个锐角不互余
【知识点】
1.反证法 2.命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题的核心是准确把握反证法第一步反设的要求，正确找到原命题的结论并对其进行准确否定，注意否定要对应原结论的全部相反情况，避免出现否定不全的错误。
【难度系数】
0.8
例4 如图，线段CD所在的直线垂直平分线段AB，且AB=CD=8 cm，若A，B，D三点落在圆O上，求圆O的半径。
【探究点拨】根据线段CD垂直平分线段AB，得出$AC=\frac{1}{2}AB$，$AC^2 + OC^2 = AO^2$，再设$\odot O$的半径为$r$，然后列方程求解即可。
【规范解答】∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上。
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ cm。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵ CD=8 cm，
∴ OC=(8−r)cm。
∵ $AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴ $4^2 + (8−r)^2 = r^2$，
解得$r=5$。
所以圆O的半径为5 cm。
【探究点拨】根据线段CD垂直平分线段AB，得出$AC=\frac{1}{2}AB$，$AC^2 + OC^2 = AO^2$，再设$\odot O$的半径为$r$，然后列方程求解即可。
【规范解答】∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上。
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$ cm。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵ CD=8 cm，
∴ OC=(8−r)cm。
∵ $AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴ $4^2 + (8−r)^2 = r^2$，
解得$r=5$。
所以圆O的半径为5 cm。
答案
解：
∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上，
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
∵$AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴$4^2 + (8-r)^2 = r^2$，
解得$r=5$。
答：圆O的半径为5 cm。
∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上，
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
∵$AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴$4^2 + (8-r)^2 = r^2$，
解得$r=5$。
答：圆O的半径为5 cm。
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，可确定圆O的圆心在CD上；再根据垂径定理得到AC的长度，连接AO构造直角三角形，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OC的长度，最后借助勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上，
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
∵$AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴$4^2 + (8-r)^2 = r^2$，
展开得$16+64-16r+r^2=r^2$，
整理得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
圆O的半径为5 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的常见题型，解题关键是准确定位圆心位置，掌握几何问题中用方程思想求解未知量的方法，能较好地锻炼几何与代数结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，可确定圆O的圆心在CD上；再根据垂径定理得到AC的长度，连接AO构造直角三角形，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OC的长度，最后借助勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
∵线段CD垂直平分线段AB，
∴A，B，D三点所在圆的圆心O在CD上，
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r$，
∵$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
∵$AC^2 + OC^2 = AO^2$，
∴$4^2 + (8-r)^2 = r^2$，
展开得$16+64-16r+r^2=r^2$，
整理得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
圆O的半径为5 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的常见题型，解题关键是准确定位圆心位置，掌握几何问题中用方程思想求解未知量的方法，能较好地锻炼几何与代数结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16 cm,水面最深处的高度CD为4 cm.求这个圆形截面的半径.
答案
解：设这个圆形截面的半径为r cm。
由题意知OC⊥AB，
根据垂径定理，得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD=4\ \mathrm{cm}$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=(r-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(r-4)^2+8^2$
展开得$r^2=r^2-8r+16+64$
整理得$8r=80$
解得$r=10$。
答：这个圆形截面的半径为10 cm。
由题意知OC⊥AB，
根据垂径定理，得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD=4\ \mathrm{cm}$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=(r-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(r-4)^2+8^2$
展开得$r^2=r^2-8r+16+64$
整理得$8r=80$
解得$r=10$。
答：这个圆形截面的半径为10 cm。
解析
【分析】
要求圆形截面的半径，首先观察图形可知OC垂直于弦AB，可先利用垂径定理求出弦AB的一半长度；再设半径为r，用含r的代数式表示出Rt△BOD中OD的长度；最后在直角三角形中根据勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设这个圆形截面的半径为r cm。
由题意知OC⊥AB，
根据垂径定理，得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD=4\ \mathrm{cm}$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(r-4)^2+8^2$
展开得$r^2=r^2-8r+16+64$
整理得$8r=80$
解得$r=10$。
答：这个圆形截面的半径为10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础典型题，解题核心是借助垂径定理构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，熟练掌握三者的数量关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要求圆形截面的半径，首先观察图形可知OC垂直于弦AB，可先利用垂径定理求出弦AB的一半长度；再设半径为r，用含r的代数式表示出Rt△BOD中OD的长度；最后在直角三角形中根据勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设这个圆形截面的半径为r cm。
由题意知OC⊥AB，
根据垂径定理，得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
∵ $CD=4\ \mathrm{cm}$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
即$r^2=(r-4)^2+8^2$
展开得$r^2=r^2-8r+16+64$
整理得$8r=80$
解得$r=10$。
答：这个圆形截面的半径为10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础典型题，解题核心是借助垂径定理构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，熟练掌握三者的数量关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
