登录
例1 已知$△ ABC$与$△ DEF$相似，且对应角平分线的比为$2:3$，求它们对应高的比。
【思路导析】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【请你解答】
【思路导析】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【请你解答】
答案
解：
∵△ABC与△DEF相似，且对应角平分线的比为2:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:3。
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴它们对应高的比为2:3。
∵△ABC与△DEF相似，且对应角平分线的比为2:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:3。
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴它们对应高的比为2:3。
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的所有对应线段（包括对应角平分线、对应高、对应中线）的比值都等于相似比。解题分为两步：第一步，根据已知的对应角平分线的比确定两个三角形的相似比；第二步，利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，直接得出对应高的比值。
【解析】
∵△ABC与△DEF相似，且对应角平分线的比为2:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:3。
又
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴它们对应高的比为2:3。
【答案】
2:3
【知识点】
1.相似三角形性质 2.相似比
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，牢记相似三角形的对应角平分线、高、中线等线段的比均等于相似比即可快速求解，是巩固相似三角形性质的典型基础题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的所有对应线段（包括对应角平分线、对应高、对应中线）的比值都等于相似比。解题分为两步：第一步，根据已知的对应角平分线的比确定两个三角形的相似比；第二步，利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，直接得出对应高的比值。
【解析】
∵△ABC与△DEF相似，且对应角平分线的比为2:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2:3。
又
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴它们对应高的比为2:3。
【答案】
2:3
【知识点】
1.相似三角形性质 2.相似比
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，牢记相似三角形的对应角平分线、高、中线等线段的比均等于相似比即可快速求解，是巩固相似三角形性质的典型基础题。
【难度系数】
0.9
例2 如图，在△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC的面积的比为()
A.1:3
B.1:6
C.1:8
D.1:9
【思路导析】相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.1:3
B.1:6
C.1:8
D.1:9
【思路导析】相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，看到DE平行于BC，可先判定△ADE与△ABC相似；再结合题目给出的AD:AB=1:3得到两个三角形的相似比；最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，就能计算出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知AD:AB=1:3，即△ADE与△ABC的相似比为1:3，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:3)^2=1:9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，解题核心是准确确定相似三角形的相似比，牢记面积比是相似比的平方，避免出现直接将相似比当作面积比的低级错误，属于相似章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，看到DE平行于BC，可先判定△ADE与△ABC相似；再结合题目给出的AD:AB=1:3得到两个三角形的相似比；最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，就能计算出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知AD:AB=1:3，即△ADE与△ABC的相似比为1:3，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:3)^2=1:9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，解题核心是准确确定相似三角形的相似比，牢记面积比是相似比的平方，避免出现直接将相似比当作面积比的低级错误，属于相似章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
例3 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，
要把它加工成矩形零件，使矩形的一边落在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，若矩形的长是宽的2倍，求这个矩形零件的各边长。
【探究点拨】可用未知数表示矩形的长和宽，利用相似三角形对应高的比等于相似比列比例式求解。
【规范解答】设矩形的宽为$x$ mm，则长为$2x$ mm。
∵ $PN// BC$，
∴ △APN∽△ABC，
∴ $\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$。（相似三角形对应高的比等于相似比）
∴ $\frac{80 - x}{80}=\frac{2x}{120}$，解得 $x=\frac{240}{7}$，
∴ $2x=\frac{480}{7}$。
答：矩形零件的长为$\frac{480}{7}$ mm，宽为$\frac{240}{7}$ mm。
答案
解：设矩形的宽为$x\ \mathrm{mm}$，则长为$2x\ \mathrm{mm}$。
$\because PN// BC$，
$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
由题意可知$AE=AD-DE=80-x$，代入$AD=80\ \mathrm{mm}$，$PN=2x$，$BC=120\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{80-x}{80}=\frac{2x}{120}$
解得 $x=\frac{240}{7}$，
$\therefore 2x=\frac{480}{7}$。
答：这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}$，宽为$\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}$。
$\because PN// BC$，
$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
由题意可知$AE=AD-DE=80-x$，代入$AD=80\ \mathrm{mm}$，$PN=2x$，$BC=120\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{80-x}{80}=\frac{2x}{120}$
解得 $x=\frac{240}{7}$，
$\therefore 2x=\frac{480}{7}$。
答：这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}$，宽为$\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}$。
解析
【分析】
已知矩形的一边落在BC上，另外两个顶点分别在AB、AC上，可得矩形与BC平行的边PN//BC，由此可推出△APN∽△ABC；根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，其中△APN的高等于△ABC的高AD减去矩形的宽。结合题目中“矩形的长是宽的2倍”的条件，我们可以设矩形的宽为未知数，用未知数表示出相关线段的长度，代入相似比的比例式列一元一次方程，即可求解得到矩形的各边长。
【解析】
解：设矩形的宽为$x\ \mathrm{mm}$，则长为$2x\ \mathrm{mm}$。
$\because PN// BC$，
$\therefore △APN ∽ △ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
由题意可知$AE=AD-DE=80-x$，代入$AD=80\ \mathrm{mm}$，$PN=2x$，$BC=120\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{80-x}{80}=\frac{2x}{120}$
解得 $x=\frac{240}{7}$，
$\therefore 2x=\frac{480}{7}$。
【答案】
这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}$，宽为$\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形类的典型题型，核心考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确找到相似三角形对应的高与矩形边长的关系，结合题意列方程求解，能够较好地锻炼数形结合能力与方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
已知矩形的一边落在BC上，另外两个顶点分别在AB、AC上，可得矩形与BC平行的边PN//BC，由此可推出△APN∽△ABC；根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，其中△APN的高等于△ABC的高AD减去矩形的宽。结合题目中“矩形的长是宽的2倍”的条件，我们可以设矩形的宽为未知数，用未知数表示出相关线段的长度，代入相似比的比例式列一元一次方程，即可求解得到矩形的各边长。
【解析】
解：设矩形的宽为$x\ \mathrm{mm}$，则长为$2x\ \mathrm{mm}$。
$\because PN// BC$，
$\therefore △APN ∽ △ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
由题意可知$AE=AD-DE=80-x$，代入$AD=80\ \mathrm{mm}$，$PN=2x$，$BC=120\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{80-x}{80}=\frac{2x}{120}$
解得 $x=\frac{240}{7}$，
$\therefore 2x=\frac{480}{7}$。
【答案】
这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}$，宽为$\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形类的典型题型，核心考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确找到相似三角形对应的高与矩形边长的关系，结合题意列方程求解，能够较好地锻炼数形结合能力与方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
1.如图,在ABCD中,E为AD的中点,连接BE并延长,交CD的延长线于点F,则△AEB的周长与△BCF的周长的比为()
A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5
A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5
答案
A
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，得到角相等的关系，证明△AEB与△CBF相似；再结合E是AD中点的条件，求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出周长的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，AD=BC，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∴△AEB∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似），
∵E为AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即△AEB与△CBF的相似比为$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△AEB的周长与△BCF的周长的比为1:2。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质，准确找到两个三角形的相似比。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，得到角相等的关系，证明△AEB与△CBF相似；再结合E是AD中点的条件，求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出周长的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，AD=BC，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∴△AEB∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似），
∵E为AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即△AEB与△CBF的相似比为$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△AEB的周长与△BCF的周长的比为1:2。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质，准确找到两个三角形的相似比。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知$EF // BC$，$△ AEF$和梯形$EBCF$的面积分别为$18\ \mathrm{cm}^2$和$80\ \mathrm{cm}^2$，则$AE:EB$的值为。
答案
$\boldsymbol{3:4}$
解析
【分析】
首先根据EF平行于BC，可判定△AEF与△ABC相似，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先求出△ABC的总面积，再计算两个三角形的面积比，开方后得到对应边AE与AB的相似比，最后通过比例换算即可求出AE:EB的值。
【解析】
解：
∵$EF// BC$
∴$∠AEF=∠B$，$∠AFE=∠C$
∴$△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=S_{△ AEF}+S_{梯形EBCF}=18+80=98\ \mathrm{cm}^2$
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2$
代入数值：$\frac{18}{98}=(\frac{AE}{AB})^2$，化简得$(\frac{AE}{AB})^2=\frac{9}{49}$
∵边长为正数，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{7}$，即$AE:AB=3:7$
又
∵$AB=AE+EB$，
∴$AE:EB=3:(7-3)=3:4$
【答案】
$\boldsymbol{3:4}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确判断相似三角形，先利用面积比求出对应边的相似比，再进行比例换算，注意不要将相似比和面积比混淆，也不要误将AE:AB的比值当作最终结果。
【难度系数】
0.7
首先根据EF平行于BC，可判定△AEF与△ABC相似，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先求出△ABC的总面积，再计算两个三角形的面积比，开方后得到对应边AE与AB的相似比，最后通过比例换算即可求出AE:EB的值。
【解析】
解：
∵$EF// BC$
∴$∠AEF=∠B$，$∠AFE=∠C$
∴$△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=S_{△ AEF}+S_{梯形EBCF}=18+80=98\ \mathrm{cm}^2$
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2$
代入数值：$\frac{18}{98}=(\frac{AE}{AB})^2$，化简得$(\frac{AE}{AB})^2=\frac{9}{49}$
∵边长为正数，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{7}$，即$AE:AB=3:7$
又
∵$AB=AE+EB$，
∴$AE:EB=3:(7-3)=3:4$
【答案】
$\boldsymbol{3:4}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确判断相似三角形，先利用面积比求出对应边的相似比，再进行比例换算，注意不要将相似比和面积比混淆，也不要误将AE:AB的比值当作最终结果。
【难度系数】
0.7
3.如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，BC上的点，且$DE // AC$，AE，CD相交于点O.若$S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，求$S_{△ BDE}$与$S_{△ CDE}$的比. 
答案
解：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，
∴ 两个相似三角形的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{1}{5}$，即 $\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$。
又∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$，
∴ $BE:EC=1:4$。
∵ $△ BDE$和$△ CDE$有公共的高（以点D为顶点向BC所作的垂线段为高），
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
答：$S_{△ BDE}$与$S_{△ CDE}$的比为$1:4$。
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，
∴ 两个相似三角形的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{1}{5}$，即 $\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$。
又∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$，
∴ $BE:EC=1:4$。
∵ $△ BDE$和$△ CDE$有公共的高（以点D为顶点向BC所作的垂线段为高），
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
答：$S_{△ BDE}$与$S_{△ CDE}$的比为$1:4$。
解析
【分析】
首先根据已知条件$DE//AC$，可判定$△ DOE$与$△ COA$相似，结合二者的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出$DE$与$AC$的比值；再由$DE//AC$判定$△ BDE$与$△ BAC$相似，通过相似三角形对应边成比例得到$BE$与$BC$的比值，进而推出$BE$与$EC$的比；最后$△ BDE$和$△ CDE$有共同的高（从$D$向$BC$作的垂线段），同高三角形的面积比等于底边长的比，即可求出最终的面积比。
【解析】
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 两个相似三角形的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{1}{5}$，即 $\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠BDE=∠BAC$，$∠BED=∠BCA$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$，
∴ $BE:EC=1:(5-1)=1:4$。
∵ $△ BDE$和$△ CDE$有公共的高（以点$D$为顶点向$BC$所作的垂线段为高），同高三角形面积比等于底的比，
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、同高三角形面积比规律
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型题目，解题的核心是通过平行线找到两组相似三角形，结合面积比与相似比的关系得到线段的比例，再利用同高三角形的面积和底的关系求解，能很好地考查学生对相似相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件$DE//AC$，可判定$△ DOE$与$△ COA$相似，结合二者的面积比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出$DE$与$AC$的比值；再由$DE//AC$判定$△ BDE$与$△ BAC$相似，通过相似三角形对应边成比例得到$BE$与$BC$的比值，进而推出$BE$与$EC$的比；最后$△ BDE$和$△ CDE$有共同的高（从$D$向$BC$作的垂线段），同高三角形的面积比等于底边长的比，即可求出最终的面积比。
【解析】
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 两个相似三角形的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{1}{5}$，即 $\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠BDE=∠BAC$，$∠BED=∠BCA$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{5}$，
∴ $BE:EC=1:(5-1)=1:4$。
∵ $△ BDE$和$△ CDE$有公共的高（以点$D$为顶点向$BC$所作的垂线段为高），同高三角形面积比等于底的比，
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、同高三角形面积比规律
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型题目，解题的核心是通过平行线找到两组相似三角形，结合面积比与相似比的关系得到线段的比例，再利用同高三角形的面积和底的关系求解，能很好地考查学生对相似相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
