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1.已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$3:1$，已知$△ ABC$的周长为18，则$△ DEF$的周长为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
遇到相似三角形求周长的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。首先明确本题的相似比是△ABC:△DEF=3:1，即两个三角形的周长比也为3:1，已知△ABC的周长，我们可以通过列比例式的方式求出△DEF的周长。解题时要注意相似比的对应顺序，避免将两个三角形的比例关系搞反。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，相似比为$3:1$
∴相似三角形的周长比等于相似比，即$C_{△ ABC}:C_{△ DEF}=3:1$
已知$C_{△ ABC}=18$，代入比例式得：$18:C_{△ DEF}=3:1$
根据比例的基本性质计算：$3C_{△ DEF}=18×1$
解得$C_{△ DEF}=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是牢记相似三角形周长比与相似比的对应关系，注意相似比的前后对应顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.9
遇到相似三角形求周长的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。首先明确本题的相似比是△ABC:△DEF=3:1，即两个三角形的周长比也为3:1，已知△ABC的周长，我们可以通过列比例式的方式求出△DEF的周长。解题时要注意相似比的对应顺序，避免将两个三角形的比例关系搞反。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，相似比为$3:1$
∴相似三角形的周长比等于相似比，即$C_{△ ABC}:C_{△ DEF}=3:1$
已知$C_{△ ABC}=18$，代入比例式得：$18:C_{△ DEF}=3:1$
根据比例的基本性质计算：$3C_{△ DEF}=18×1$
解得$C_{△ DEF}=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是牢记相似三角形周长比与相似比的对应关系，注意相似比的前后对应顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上.若$△ ADE$与$△ ABC$相似，且$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，则$AD=$.
答案
解：
由$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+8)=1:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×5=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AD=2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
由$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+8)=1:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×5=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AD=2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先处理题目给出的面积比条件，将△ADE与四边形BCED的面积比转化为△ADE与△ABC的面积比；再依据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出两个三角形的相似比；由于题目仅说明△ADE与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论，分别根据相似三角形对应边成比例的性质代入已知边长计算AD的长度即可。
【解析】
由$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+8)=1:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×5=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AD=2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形面积比性质，相似三角形对应边成比例，分类讨论
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题的关键是先正确转化面积比得到相似比，易错点是容易忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，导致漏解，做题时要注意结合题意全面考虑所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
首先处理题目给出的面积比条件，将△ADE与四边形BCED的面积比转化为△ADE与△ABC的面积比；再依据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出两个三角形的相似比；由于题目仅说明△ADE与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论，分别根据相似三角形对应边成比例的性质代入已知边长计算AD的长度即可。
【解析】
由$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=1:8$，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:(1+8)=1:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，代入得$AD=\dfrac{1}{3}×5=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
综上，$AD=2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形面积比性质，相似三角形对应边成比例，分类讨论
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题的关键是先正确转化面积比得到相似比，易错点是容易忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，导致漏解，做题时要注意结合题意全面考虑所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$△ ABC$中,AD,BE是两条中线,则$S_{△ EDC}: S_{△ ABC}=(\quad)$
A.$1:2$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:4$
A.$1:2$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:4$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据中线的定义确定E、D分别为AC、BC的中点，由此可得△EDC和△ABC的对应边成比例且夹角为公共角，可判定两个三角形相似，得到相似比为1:2；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比。也可以通过中线等分三角形面积的思路逐步推导，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的两条中线，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
∴$\frac{EC}{AC}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠C是△EDC和△ABC的公共角，
∴△EDC∽△ABC，相似比$k=\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△EDC}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
即$S_{△EDC}:S_{△ABC}=1:4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查相似三角形的性质与中线定义的结合应用，解题的关键是先根据中线得到对应边的比例关系，判定三角形相似，再利用相似三角形面积比和相似比的关系求解，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据中线的定义确定E、D分别为AC、BC的中点，由此可得△EDC和△ABC的对应边成比例且夹角为公共角，可判定两个三角形相似，得到相似比为1:2；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比。也可以通过中线等分三角形面积的思路逐步推导，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的两条中线，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
∴$\frac{EC}{AC}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠C是△EDC和△ABC的公共角，
∴△EDC∽△ABC，相似比$k=\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△EDC}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
即$S_{△EDC}:S_{△ABC}=1:4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查相似三角形的性质与中线定义的结合应用，解题的关键是先根据中线得到对应边的比例关系，判定三角形相似，再利用相似三角形面积比和相似比的关系求解，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）.若物体AB的高为6 cm，实像CD的高为3 cm，则小孔O到BC的距离OE为()
A.2 cm
B.1.5 cm
C.1 cm
D.2.5 cm
A.2 cm
B.1.5 cm
C.1 cm
D.2.5 cm
答案
A
解析
【分析】
首先根据图形中AB、CD、OE均垂直于BC，可得三组线互相平行，先由AB//CD结合对顶角相等，证明△OAB与△OCD相似，得到对应边成比例求出BO与BD的比值，再由OE//CD证明△BOE与△BDC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC，OE⊥BC，
∴AB//OE//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△OAB∽△OCD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{OD}=\frac{6}{3}=2$，即$BO=2OD$，
∴$\frac{BO}{BD}=\frac{BO}{BO+OD}=\frac{2OD}{2OD+OD}=\frac{2}{3}$，
∵OE//CD，
∴∠BOE=∠BDC，∠BEO=∠BCD=90°，
∴△BOE∽△BDC，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{BO}{BD}$，
将CD=3cm代入得：$\frac{OE}{3}=\frac{2}{3}$，
解得OE=2cm。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是根据平行线找到对应的相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质列式求解，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据图形中AB、CD、OE均垂直于BC，可得三组线互相平行，先由AB//CD结合对顶角相等，证明△OAB与△OCD相似，得到对应边成比例求出BO与BD的比值，再由OE//CD证明△BOE与△BDC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC，OE⊥BC，
∴AB//OE//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△OAB∽△OCD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{OD}=\frac{6}{3}=2$，即$BO=2OD$，
∴$\frac{BO}{BD}=\frac{BO}{BO+OD}=\frac{2OD}{2OD+OD}=\frac{2}{3}$，
∵OE//CD，
∴∠BOE=∠BDC，∠BEO=∠BCD=90°，
∴△BOE∽△BDC，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{BO}{BD}$，
将CD=3cm代入得：$\frac{OE}{3}=\frac{2}{3}$，
解得OE=2cm。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是根据平行线找到对应的相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质列式求解，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,点$E,F$分别在边$AB$,$AC$上,且满足$EF// BC,\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}.△ CEF$的面积为2,则$△ EBC$的面积为()
A.4
B.6
C.8
D.12
A.4
B.6
C.8
D.12
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用同高三角形面积比等于对应底边长的比，由已知$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$和$△ CEF$的面积求出$△ AEF$的面积，得到$△ AEC$的面积；再由$EF// BC$证明$△ AEF∽△ ABC$，根据相似三角形的性质得到$AE$与$EB$的比值；最后再次利用同高三角形面积比等于底边长的比，即可求出$△ EBC$的面积。
【解析】
1. 求$△ AEC$的面积：
$△ AEF$和$△ CEF$共顶点$E$，底边$AF$、$FC$在直线$AC$上，两三角形等高，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CEF}}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$
已知$S_{△ CEF}=2$，代入得$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}×2=1$，因此$S_{△ AEC}=S_{△ AEF}+S_{△ CEF}=1+2=3$。
2. 求$AE$与$EB$的比值：
因为$EF// BC$，所以$△ AEF∽△ ABC$，相似比为$\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AF+FC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即$AE:EB=1:2$。
3. 求$△ EBC$的面积：
$△ AEC$和$△ EBC$共顶点$C$，底边$AE$、$EB$在直线$AB$上，两三角形等高，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ EBC}}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$
将$S_{△ AEC}=3$代入得$S_{△ EBC}=3×2=6$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与底的正比关系
【点评】
本题是相似三角形与三角形面积结合的典型题型，解题的核心是灵活运用同高三角形的面积比等于对应底的比这一性质，结合相似三角形的相似比推导边长关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用同高三角形面积比等于对应底边长的比，由已知$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$和$△ CEF$的面积求出$△ AEF$的面积，得到$△ AEC$的面积；再由$EF// BC$证明$△ AEF∽△ ABC$，根据相似三角形的性质得到$AE$与$EB$的比值；最后再次利用同高三角形面积比等于底边长的比，即可求出$△ EBC$的面积。
【解析】
1. 求$△ AEC$的面积：
$△ AEF$和$△ CEF$共顶点$E$，底边$AF$、$FC$在直线$AC$上，两三角形等高，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CEF}}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$
已知$S_{△ CEF}=2$，代入得$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}×2=1$，因此$S_{△ AEC}=S_{△ AEF}+S_{△ CEF}=1+2=3$。
2. 求$AE$与$EB$的比值：
因为$EF// BC$，所以$△ AEF∽△ ABC$，相似比为$\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AF+FC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即$AE:EB=1:2$。
3. 求$△ EBC$的面积：
$△ AEC$和$△ EBC$共顶点$C$，底边$AE$、$EB$在直线$AB$上，两三角形等高，因此面积比等于底边长的比：
$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ EBC}}=\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$
将$S_{△ AEC}=3$代入得$S_{△ EBC}=3×2=6$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与底的正比关系
【点评】
本题是相似三角形与三角形面积结合的典型题型，解题的核心是灵活运用同高三角形的面积比等于对应底的比这一性质，结合相似三角形的相似比推导边长关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AD三等分点,且AE＞DE,连接CE交BD于点F,若△DEF的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为()
A.16
B.20
C.24
D.18
第6题图 第7题图
A.16
B.20
C.24
D.18
第6题图 第7题图
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，判定△DEF和△BCF相似，得到相似比；再根据相似三角形的性质得到对应线段的比例关系，结合“同高三角形的面积比等于对应底的比”，逐步求出△BCD的面积，最后利用平行四边形对角线平分面积的性质，求出平行四边形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线BD平分平行四边形面积。
∵E为AD三等分点，且AE＞DE，
∴$DE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC$。
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△DEF∽△BCF，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{3}$。
①△DEF和△DCF同高（以D为顶点，CE边上的高相等），面积比等于底的比$EF:FC=1:3$，
已知$S_{△ DEF}=1$，则$S_{△ DCF}=3×1=3$。
②△DCF和△BCF同高（以C为顶点，BD边上的高相等），面积比等于底的比$DF:BF=1:3$，
则$S_{△ BCF}=3× S_{△ DCF}=3×3=9$。
③$S_{△ BCD}=S_{△ DCF}+S_{△ BCF}=3+9=12$，
∴平行四边形ABCD的面积$S=2S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用相似三角形得到线段比例关系，再结合同高三角形面积和底的比例关系推导各部分面积，是相似三角形和平行四边形结合的典型考法。
【难度系数】
0.65
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，判定△DEF和△BCF相似，得到相似比；再根据相似三角形的性质得到对应线段的比例关系，结合“同高三角形的面积比等于对应底的比”，逐步求出△BCD的面积，最后利用平行四边形对角线平分面积的性质，求出平行四边形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线BD平分平行四边形面积。
∵E为AD三等分点，且AE＞DE，
∴$DE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC$。
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△DEF∽△BCF，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{3}$。
①△DEF和△DCF同高（以D为顶点，CE边上的高相等），面积比等于底的比$EF:FC=1:3$，
已知$S_{△ DEF}=1$，则$S_{△ DCF}=3×1=3$。
②△DCF和△BCF同高（以C为顶点，BD边上的高相等），面积比等于底的比$DF:BF=1:3$，
则$S_{△ BCF}=3× S_{△ DCF}=3×3=9$。
③$S_{△ BCD}=S_{△ DCF}+S_{△ BCF}=3+9=12$，
∴平行四边形ABCD的面积$S=2S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用相似三角形得到线段比例关系，再结合同高三角形面积和底的比例关系推导各部分面积，是相似三角形和平行四边形结合的典型考法。
【难度系数】
0.65
