1. 下列条件中,不能判定$△ ABC$是等边三角形的是 （）

A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=AC,∠ B=60°$
C.$∠ A=60°,∠ B=60°$
D.$AB=AC$,且$∠ B=∠ C$

D

根据等边三角形的判定规则逐一分析：
1. 选项A：三个内角都相等的三角形是等边三角形，可判定△ABC为等边三角形；
2. 选项B：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，结合∠B=60°，可判定△ABC为等边三角形；
3. 选项C：由三角形内角和得∠C=180°-∠A-∠B=60°，三个内角均为60°，可判定△ABC为等边三角形；
4. 选项D：AB=AC且∠B=∠C仅能说明△ABC是等腰三角形，无法判定它是等边三角形。

2. 如图，直线$a// b$，等边三角形$ABC$的顶点$C$在直线$b$上，$∠1=40°$，则$∠2$的大小为（）

A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

A

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，已知∠1=40°，又∵直线a//b，由两直线平行，同旁内角互补可得∠2 + ∠BAC + ∠1 = 180°，代入数值计算得∠2=180°-60°-40°=80°。

3. 如图，在$△ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$∠ ABD=30°$，延长BD到点C，使$CD=AD$，若$BC=6$，则$CD=$。

$\boldsymbol{2}$

解：
在$△ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$∠ ABD=30°$，
$\therefore ∠ ADB=180°-90°-30°=60°$。
$\because CD=AD$，
$\therefore ∠ C=∠ DAC$。
$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$，
$\therefore 2∠ C=60°$，即$∠ C=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=30°$，
$\therefore BD=2AD$（直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because AD=CD$，
$\therefore BD=2CD$。
又$\because BC=BD+CD=6$，
$\therefore 2CD+CD=6$，即$3CD=6$，
解得$CD=2$。

4. 如图，点P在∠AOB内，点P关于OA，OB的对称点分别为M，N，若MN=OP，则∠AOB的度数是。

$\boldsymbol{30°}$

解：连接OM，ON。
∵ 点P关于OA的对称点为M，
∴ OA垂直平分线段PM，
∴ OM = OP，∠AOM = ∠AOP。
∵ 点P关于OB的对称点为N，
∴ OB垂直平分线段PN，
∴ ON = OP，∠BON = ∠BOP。
又∵ MN = OP，
∴ OM = ON = MN，
∴ △OMN是等边三角形，
∴ ∠MON = 60°。
∵ ∠MON = ∠AOM + ∠AOP + ∠BOP + ∠BON
= 2∠AOP + 2∠BOP
= 2(∠AOP + ∠BOP)
= 2∠AOB，
∴ 2∠AOB = 60°，
∴ ∠AOB = 30°。

5. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且$CE=CD$.
（1）求$∠ E$的度数；
（2）若$DM⊥ BC$，垂足为M，求证：M是BE的中点.

解：(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
即2∠E=60°，
解得∠E=30°。
证明：(2) 连接BD，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
由(1)知∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE，即△DBE是等腰三角形。
又∵DM⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质，可得M是BE的中点。