23.「2025重庆梁平期末，★☆」(12分)在等边三角形ABC中，点D为边BC上的一点，连接AD.
(1)如图1，若∠CAD=15°, BD=√3,求AB的长.
(2)如图2，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE交AB于点F.求证:AF+CD=BF.

23.解析 (1)如图1,过点 D 作 $DH ⊥ AB$ 于点 H,
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $∠B = ∠BAC = 60°$,
∴ $∠BDH=30°$,
∴ $BH=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\dfrac{3}{2}$,
∵ $∠CAD=15°$,
∴ $∠DAH=45°$,
∴ $∠ADH=45°=∠DAH$,
∴ $AH=DH=\dfrac{3}{2}$,
∴ $AB=BH+AH=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$.
(2)证明:如图2,在 AB 上截取 $BG=CD$,连接 CG 交 AD 于点 T,
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $AC=BC$,$∠ACD=∠B=60°$,在 $△BCG$ 和 $△CAD$ 中,$\begin{cases}BG=CD,\\∠B=∠ACD,\\BC=CA,\end{cases}$
∴ $△BCG ≅ △CAD$(SAS),
∴ $∠CAD=∠BCG$,$CG=AD$,
∵ $∠ACB=∠ACG+∠BCG=60°$,
∴ $∠ACG+∠CAD=60°$,即 $∠ATG=60°$,由旋转可得 $AE=AD$,$∠EAD=120°$,
∴ $AE=CG$,$∠EAD+∠ATG=180°$,
∴ $AE// CG$,
∴ $∠E=∠GCF$,$∠FAE=∠FGC$,在 $△AEF$ 和 $△GCF$ 中,$\begin{cases}∠E=∠GCF,\\AE=GC,\\∠FAE=∠FGC,\end{cases}$
∴ $△AEF ≅ △GCF$(ASA),
∴ $AF=GF$,
∵ $BF=BG+GF$,
∴ $AF+CD=BF$.

24.「2026北京三帆中学月考，★★☆」(14分)如图，在$△ ACB$与$△ ADE$中，$AC=BC$，$AD=ED$，$∠ ACB=∠ ADE=90°$，将$△ ADE$绕点$A$逆时针旋转，连接$CD$，$BE$，$F$为$BE$的中点，连接$DF$，$CF$.
(1)若点$D$在$AC$边上，在图1中补全图形，直接写出线段$CF$与$DF$的数量关系和位置关系.
(2)当$△ ADE$绕点$A$旋转至如图2所示的位置时，判断$△ CDF$的形状，并证明.
(3)在旋转过程中，设$∠ CAD=α$，$∠ ACD=β$，当点$A$，$D$，$F$共线时，直接写出$α$，$β$之间的数量关系.

24.解析 (1)补全图形,如图1所示,$CF ⊥ DF$,$CF=DF$.
详解:如图1,延长 DF 交 BC 于点 G,
∵ $∠ADE=90°$,
∴ $∠EDC=90°=∠ACB$,
∴ $DE// BC$,
∴ $∠DEF=∠GBF$,$∠EDF=∠BGF$.
∵ F 为 BE 的中点,
∴ $EF=BF$,
∴ $△DEF ≅ △GBF$(AAS),
∴ $ED=BG$,$DF=GF$.
∵ $AD=ED$,
∴ $AD=BG$,
∵ $AC=BC$,
∴ $CD=CG$,
∴ $△DCG$ 为等腰直角三角形,
∴ $CF ⊥ DF$,$CF=DF$.
(2)$△CDF$ 为等腰直角三角形.
证明:如图2,延长 DF 到点 K,使得 $FK=DF$,连接 BK,CK,
∵ F 为 BE 的中点,
∴ $EF = BF$. 在 $△DEF$ 和 $△KBF$ 中,$\begin{cases}DF=KF,\\∠DFE=∠KFB,\\EF=BF,\end{cases}$
∴ $△DEF ≅ △KBF$(SAS),
∴ $∠EDF = ∠BKF$,$ED=BK=AD$,
∴ $DE// BK$,
∵ $AD ⊥ DE$,
∴ $AD ⊥ BK$,
∴ $∠DAB+∠KBA=90°$,
∵ $AC=BC$,$∠ACB=90°$,
∴ $∠ABC=∠BAC=45°$,
∴ $∠KBA=45°+∠KBC$,
∴ $∠DAB=90°-∠KBA=90°-(45°+∠KBC)=45°-∠KBC$,
∴ $∠DAC=45°-∠DAB=45°-(45°-∠KBC)=∠KBC$. 在 $△CDA$ 和 $△CKB$ 中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠DAC=∠KBC,\\AD=BK,\end{cases}$
∴ $△CDA ≅ △CKB$(SAS),
∴ $CD=CK$,$∠ACD=∠BCK$,
∴ $∠KCD=∠ACB=90°$,
∴ $△DCK$ 为等腰直角三角形,
∵ F 为 DK 的中点,
∴ $CF ⊥ DK$,$CF=DF$,
∴ $△CDF$ 为等腰直角三角形.
(3)$α+β=45°$ 或 $α+β=135°$.
详解:当点 D 在 $△ABC$ 内部时,如图3,点 A,D,F 共线,$∠ADF=180°$,同(2)可得 $△CDF$ 为等腰直角三角形,$∠CDF=45°$,
∵ $∠CAD=α$,$∠ACD=β$,
∴ $∠CDF=∠CAD+∠ACD=45°$,
∴ $α+β=45°$.
当点 D 在 $△ABC$ 外时,如图4,点 A,D,F 共线,$∠DAF=180°$,同(2)可得 $△CDF$ 为等腰直角三角形,$∠CDF=45°$,
∵ $∠CAD=α$,$∠ACD=β$,
∴ $∠CDF+∠CAD+∠ACD=45°+α+β=180°$,
∴ $α+β=135°$.
综上,$α+β=45°$ 或 $α+β=135°$.