登录
1. 某村的粮食总产量为a t(a为常数)，设该村的人均粮食产量为y t，人口数为x，则y与x之间的函数图象大致为（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：粮食总产量=人均粮食产量×人口数，据此推导y与x的函数解析式；再判断函数类型，结合实际意义确定x、y的取值范围，最后匹配对应图象即可。首先根据等量关系得到$a=xy$，变形得$y=\frac{a}{x}$，属于反比例函数；其次人口数x和人均产量y都为正数，因此图象仅在第一象限，是反比例函数在第一象限的分支，对应选项D。
【解析】
解：由题意得，粮食总产量、人均粮食产量、人口数的等量关系为：
$总产量=人均产量×人口数$，即$a = y· x$，
整理得函数解析式：$y=\frac{a}{x}$。
结合实际意义，人口数$x＞0$，人均粮食产量$y＞0$，因此该函数是反比例函数，图象为位于第一象限的双曲线的一支，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题的核心是先通过等量关系确定函数类型，再结合实际意义限定变量的取值范围，避免忽略实际条件选错图象。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题目中的数量关系：粮食总产量=人均粮食产量×人口数，据此推导y与x的函数解析式；再判断函数类型，结合实际意义确定x、y的取值范围，最后匹配对应图象即可。首先根据等量关系得到$a=xy$，变形得$y=\frac{a}{x}$，属于反比例函数；其次人口数x和人均产量y都为正数，因此图象仅在第一象限，是反比例函数在第一象限的分支，对应选项D。
【解析】
解：由题意得，粮食总产量、人均粮食产量、人口数的等量关系为：
$总产量=人均产量×人口数$，即$a = y· x$，
整理得函数解析式：$y=\frac{a}{x}$。
结合实际意义，人口数$x＞0$，人均粮食产量$y＞0$，因此该函数是反比例函数，图象为位于第一象限的双曲线的一支，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题的核心是先通过等量关系确定函数类型，再结合实际意义限定变量的取值范围，避免忽略实际条件选错图象。
【难度系数】
0.8
2. 若反比例函数$y=(2m-1)x^{m^2 -5}$的图象在第二、四象限，则$m$的值是（
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.小于$\frac{1}{2}$的任意实数
B
）A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.小于$\frac{1}{2}$的任意实数
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图象性质分步求解：第一步，先根据反比例函数的形式确定x的指数取值，求出m的所有可能值；第二步，根据图象在第二、四象限的性质，确定反比例系数的符号，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义和图象性质分步推导：
1. 由反比例函数的形式$y=kx^{-1}(k≠0)$可知，x的指数为-1，因此列方程：
$m^2 - 5 = -1$
解得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$。
2. 已知函数图象在第二、四象限，说明反比例系数小于0，列不等式：
$2m - 1 ＜ 0$
解得$m ＜ \frac{1}{2}$。
综合两个条件，$m=2$不满足$m＜\frac{1}{2}$，舍去；$m=-2$符合所有约束条件，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，易错点是仅根据指数要求求出$m=\pm2$就直接选择，忽略了图象所在象限对系数符号的限制，解题时要注意结合多个约束条件综合筛选结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图象性质分步求解：第一步，先根据反比例函数的形式确定x的指数取值，求出m的所有可能值；第二步，根据图象在第二、四象限的性质，确定反比例系数的符号，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义和图象性质分步推导：
1. 由反比例函数的形式$y=kx^{-1}(k≠0)$可知，x的指数为-1，因此列方程：
$m^2 - 5 = -1$
解得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$。
2. 已知函数图象在第二、四象限，说明反比例系数小于0，列不等式：
$2m - 1 ＜ 0$
解得$m ＜ \frac{1}{2}$。
综合两个条件，$m=2$不满足$m＜\frac{1}{2}$，舍去；$m=-2$符合所有约束条件，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，易错点是仅根据指数要求求出$m=\pm2$就直接选择，忽略了图象所在象限对系数符号的限制，解题时要注意结合多个约束条件综合筛选结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点A，B，C在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为$A_1,B_1,C_1$，则$△ AOA_1,△ BOB_1,△ COC_1$的面积$S_1,S_2,S_3$之间的关系为 （
A.$S_1＞S_2＞S_3$
B.$S_1＜S_2＜S_3$
C.$S_1=S_2=S_3$
D.$S_3＜S_1＜S_2$
C
）A.$S_1＞S_2＞S_3$
B.$S_1＜S_2＜S_3$
C.$S_1=S_2=S_3$
D.$S_3＜S_1＜S_2$
答案
3.C
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆反比例函数中k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒为$\frac{|k|}{2}$，和点在图象上的位置无关。本题中三个三角形都符合该特征，且三点都在同一反比例函数图象上，因此直接用这个结论即可判断三个面积的大小关系。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，则满足$xy=k$。
该点向x轴作垂线，垂足、原点、该点构成的直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}·|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
本题中反比例函数为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，即$k=1$，因此每个符合条件的三角形面积均为$\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$。
因此$S_1=S_2=S_3=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，熟练掌握该结论可快速得出答案，无需计算各点坐标，降低解题复杂度。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆反比例函数中k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒为$\frac{|k|}{2}$，和点在图象上的位置无关。本题中三个三角形都符合该特征，且三点都在同一反比例函数图象上，因此直接用这个结论即可判断三个面积的大小关系。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，则满足$xy=k$。
该点向x轴作垂线，垂足、原点、该点构成的直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}·|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
本题中反比例函数为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，即$k=1$，因此每个符合条件的三角形面积均为$\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$。
因此$S_1=S_2=S_3=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，熟练掌握该结论可快速得出答案，无需计算各点坐标，降低解题复杂度。
【难度系数】
0.8
4. 已知反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，则函数$y=mx+m$的图象经过（
A.第一、三、四象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
C
）A.第一、三、四象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
答案
4.C
解析
【分析】
解题可分两步走：第一步根据反比例函数的增减性确定参数m的符号；第二步结合一次函数的一次项系数、常数项的符号，判断一次函数图象经过的象限。首先回忆反比例函数性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在每个象限内y随x增大而增大时，$k＜0$，据此可推出m的正负；再回忆一次函数$y=kx+b$的图象象限规律：k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置，代入m的符号即可判断图象经过的象限。
【解析】
1. 确定m的符号：
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，此时比例系数$m＜0$。
2. 判断一次函数$y=mx+m$的图象经过的象限：
一次函数的一次项系数为$m＜0$，因此直线呈下降趋势，经过第二、四象限；
一次函数的常数项（截距）为$m＜0$，因此直线与y轴交于负半轴，还会经过第三象限。
综上，函数$y=mx+m$的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础综合题，核心是通过反比例函数的增减性确定未知参数的符号，再结合一次函数的系数与图象的对应关系得出结论，是各类考试中常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可分两步走：第一步根据反比例函数的增减性确定参数m的符号；第二步结合一次函数的一次项系数、常数项的符号，判断一次函数图象经过的象限。首先回忆反比例函数性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在每个象限内y随x增大而增大时，$k＜0$，据此可推出m的正负；再回忆一次函数$y=kx+b$的图象象限规律：k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置，代入m的符号即可判断图象经过的象限。
【解析】
1. 确定m的符号：
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，当$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，此时比例系数$m＜0$。
2. 判断一次函数$y=mx+m$的图象经过的象限：
一次函数的一次项系数为$m＜0$，因此直线呈下降趋势，经过第二、四象限；
一次函数的常数项（截距）为$m＜0$，因此直线与y轴交于负半轴，还会经过第三象限。
综上，函数$y=mx+m$的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础综合题，核心是通过反比例函数的增减性确定未知参数的符号，再结合一次函数的系数与图象的对应关系得出结论，是各类考试中常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 对于函数$y=\frac{1}{2x}$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
减小
。答案
5.减小
解析
【分析】
解题时首先识别所给函数为反比例函数，先将函数整理为反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$，确定比例系数$k$的正负，再结合题目给出的$x＞0$的取值范围，利用反比例函数的增减性性质即可判断$y$随$x$的变化趋势。
【解析】
将函数$y=\frac{1}{2x}$变形为反比例函数标准形式，得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，可知该函数是反比例函数，其中比例系数$k=\frac{1}{2}＞0$。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
题目中限定$x＞0$，对应函数图象在第一象限的分支，因此$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质，函数增减性判断
【点评】
本题是基础类题目，主要考查反比例函数的增减性，解题时需注意反比例函数的增减性是针对同一象限内的图象分支而言的，要结合自变量的取值范围分析，避免直接套用性质出现错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别所给函数为反比例函数，先将函数整理为反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$，确定比例系数$k$的正负，再结合题目给出的$x＞0$的取值范围，利用反比例函数的增减性性质即可判断$y$随$x$的变化趋势。
【解析】
将函数$y=\frac{1}{2x}$变形为反比例函数标准形式，得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，可知该函数是反比例函数，其中比例系数$k=\frac{1}{2}＞0$。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
题目中限定$x＞0$，对应函数图象在第一象限的分支，因此$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质，函数增减性判断
【点评】
本题是基础类题目，主要考查反比例函数的增减性，解题时需注意反比例函数的增减性是针对同一象限内的图象分支而言的，要结合自变量的取值范围分析，避免直接套用性质出现错误。
【难度系数】
0.9
6. 反比例函数 $y=-\dfrac{3}{4x}$ 的图象经过点(-6，
$\frac{1}{8}$
)。答案
6.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
要确定反比例函数图象经过的点的纵坐标，需明确：函数图象上的任意一点的横、纵坐标都满足该函数的解析式。因此我们只需将已知的横坐标$x=-6$代入给出的反比例函数解析式，通过计算即可得到对应的纵坐标值，计算过程中要注意负号的运算规则。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{3}{4x}$，点$(-6,y)$在该函数图象上，将$x=-6$代入解析式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{4×(-6)}\\&=-\dfrac{3}{-24}\\&=\dfrac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础类题型，核心是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入计算时注意符号处理和约分规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数图象经过的点的纵坐标，需明确：函数图象上的任意一点的横、纵坐标都满足该函数的解析式。因此我们只需将已知的横坐标$x=-6$代入给出的反比例函数解析式，通过计算即可得到对应的纵坐标值，计算过程中要注意负号的运算规则。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{3}{4x}$，点$(-6,y)$在该函数图象上，将$x=-6$代入解析式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{4×(-6)}\\&=-\dfrac{3}{-24}\\&=\dfrac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础类题型，核心是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入计算时注意符号处理和约分规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数的图象交于点$P(-1,3)$，则$k$的值为
$-3$
。答案
7.$-3$
解析
【分析】
两个函数图象的交点坐标同时满足相交的所有函数的解析式，因此点P(-1,3)既在一次函数图象上，也在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上。我们只需将点P的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ 点$P(-1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=-1$，$y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{-1}$
解得$k=3×(-1)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象交点的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的规律，直接代入计算即可，计算难度低，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
两个函数图象的交点坐标同时满足相交的所有函数的解析式，因此点P(-1,3)既在一次函数图象上，也在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上。我们只需将点P的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ 点$P(-1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=-1$，$y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{-1}$
解得$k=3×(-1)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象交点的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的规律，直接代入计算即可，计算难度低，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
8. 已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，$AB⊥ y$轴，垂足为B，则$△ AOB$的面积是
$\frac{5}{2}$
。答案
8.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向某一坐标轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中A在反比例函数$y=-\frac{5}{x}$上，$AB⊥ y$轴，$△ AOB$恰好是符合上述特征的直角三角形，因此我们可以先确定k值，结合几何意义或者坐标法计算三角形面积即可。也可以通过设点A坐标，利用点在函数图象上的坐标特征，结合直角三角形面积公式推导求解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴ 代入函数式得$xy=-5$，
∵ $AB⊥ y$轴，垂足为B，
∴ $AB=|x|$，$OB=|y|$，且$△ AOB$为直角三角形，直角为$∠ ABO$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × OB=\frac{1}{2}×|x|×|y|=\frac{1}{2}|xy|$，
将$xy=-5$代入得：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|-5|=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 反比例函数k的几何意义
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考查对反比例函数k的几何意义的理解和运用，熟练掌握相关规律可直接快速得出结果，降低计算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向某一坐标轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中A在反比例函数$y=-\frac{5}{x}$上，$AB⊥ y$轴，$△ AOB$恰好是符合上述特征的直角三角形，因此我们可以先确定k值，结合几何意义或者坐标法计算三角形面积即可。也可以通过设点A坐标，利用点在函数图象上的坐标特征，结合直角三角形面积公式推导求解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴ 代入函数式得$xy=-5$，
∵ $AB⊥ y$轴，垂足为B，
∴ $AB=|x|$，$OB=|y|$，且$△ AOB$为直角三角形，直角为$∠ ABO$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × OB=\frac{1}{2}×|x|×|y|=\frac{1}{2}|xy|$，
将$xy=-5$代入得：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|-5|=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 反比例函数k的几何意义
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考查对反比例函数k的几何意义的理解和运用，熟练掌握相关规律可直接快速得出结果，降低计算量。
【难度系数】
0.8
9. 如图,一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象交于$A(-1,n),B(3,1)$两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 若在$x$轴上存在点$P$,满足$△ ABP$的面积等于$4$,请直接写出点$P$的坐标.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 若在$x$轴上存在点$P$,满足$△ ABP$的面积等于$4$,请直接写出点$P$的坐标.
答案
9.(1) 一次函数$y_1=-x+2$，反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$ (2) $(0,0)$或$(4,0)$
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出系数，因此先将点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数表达式。
(2) 求x轴上满足面积条件的点P：先求出一次函数与x轴的交点C，将△ABP分割为以PC为公共底的△ACP和△BCP，两个三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，根据总面积为4列方程求解即可，注意计算线段长度时添加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
∵点$B(3,-1)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象上
∴将$x=3,y=-1$代入得：$-1=\frac{m}{3}$，解得$m=-3$
∴反比例函数的表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$
∵点$A(-1,n)$在反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$的图象上
∴将$x=-1$代入得：$n=-\frac{3}{-1}=3$，即$A(-1,3)$
求一次函数表达式：
将$A(-1,3)$、$B(3,-1)$代入一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$得：
$\begin{cases}-k+b=3 \\3k+b=-1 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$-4k=4$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$-k+b=3$得：$1+b=3$，解得$b=2$
∴一次函数的表达式为$y_1=-x+2$
(2) 先求一次函数$y_1=-x+2$与x轴的交点：令$y=0$，解得$x=2$，即交点为$C(2,0)$
设点P坐标为$(a,0)$，则$PC=|a-2|$
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}+S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× PC× |y_A|+\frac{1}{2}× PC× |y_B|=\frac{1}{2}×|a-2|×(3+1)=2|a-2|$
令$S_{△ ABP}=4$，即$2|a-2|=4$，解得$|a-2|=2$
∴$a-2=2$或$a-2=-2$，即$a=4$或$a=0$
∴点P的坐标为$(0,0)$或$(4,0)$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y_1=-x+2$，反比例函数表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$；(2) $(0,0)$或$(4,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及坐标系中三角形面积的分割计算方法，解题时要注意绝对值的使用，避免因忽略多解情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出系数，因此先将点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出n的值得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数表达式。
(2) 求x轴上满足面积条件的点P：先求出一次函数与x轴的交点C，将△ABP分割为以PC为公共底的△ACP和△BCP，两个三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，根据总面积为4列方程求解即可，注意计算线段长度时添加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
∵点$B(3,-1)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象上
∴将$x=3,y=-1$代入得：$-1=\frac{m}{3}$，解得$m=-3$
∴反比例函数的表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$
∵点$A(-1,n)$在反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$的图象上
∴将$x=-1$代入得：$n=-\frac{3}{-1}=3$，即$A(-1,3)$
求一次函数表达式：
将$A(-1,3)$、$B(3,-1)$代入一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$得：
$\begin{cases}-k+b=3 \\3k+b=-1 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$-4k=4$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$-k+b=3$得：$1+b=3$，解得$b=2$
∴一次函数的表达式为$y_1=-x+2$
(2) 先求一次函数$y_1=-x+2$与x轴的交点：令$y=0$，解得$x=2$，即交点为$C(2,0)$
设点P坐标为$(a,0)$，则$PC=|a-2|$
$S_{△ ABP}=S_{△ ACP}+S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× PC× |y_A|+\frac{1}{2}× PC× |y_B|=\frac{1}{2}×|a-2|×(3+1)=2|a-2|$
令$S_{△ ABP}=4$，即$2|a-2|=4$，解得$|a-2|=2$
∴$a-2=2$或$a-2=-2$，即$a=4$或$a=0$
∴点P的坐标为$(0,0)$或$(4,0)$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y_1=-x+2$，反比例函数表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$；(2) $(0,0)$或$(4,0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及坐标系中三角形面积的分割计算方法，解题时要注意绝对值的使用，避免因忽略多解情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
