一、选择题
1. 下列各图形中，$∠ A$ 是圆周角的是().


A.①②
B.③
C.③④
D.③④⑤

B

【分析】
要判断∠A是不是圆周角，首先要明确圆周角的两个判定条件：一是角的顶点必须在圆上，二是角的两条边都要和圆相交，两个条件缺一不可。我们只需要用这两个条件逐个分析每个图形即可得出答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，我们逐一分析：
1. 图①：∠A的顶点A不在圆上，不符合圆周角要求，不是圆周角；
2. 图②：∠A的顶点A在圆内部，不在圆上，不符合要求，不是圆周角；
3. 图③：∠A的顶点A在圆上，且两条边都和圆相交，两个条件都满足，是圆周角；
4. 图④：∠A有一条边没有和圆相交，不符合要求，不是圆周角；
5. 图⑤：∠A有一条边是圆的切线，仅和圆有公共点A，没有和圆相交，不符合要求，不是圆周角。
只有图③的∠A是圆周角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是牢记圆周角的两个判定条件，排查时注意两个条件要同时满足，避免漏看条件误判。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$□ ABCD$的顶点A，B，D都在$\odot O$上，顶点C在$\odot O$的直径BE上，$∠ ADC=54°$，连接AE，则$∠ AEB$的度数为().

A.$36°$
B.$46°$
C.$27°$
D.$63°$

A

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先平行四边形的对角相等，可得到与∠ADC相等的∠ABC的度数；其次BE是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△ABE是直角三角形；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC = ∠ADC = 54°（平行四边形对角相等）。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABE中，∠AEB + ∠ABC = 90°，
∴∠AEB = 90° - 54° = 36°。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形和圆的性质结合考查，解题的核心是找准图形中角的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$\odot O$的半径为1，锐角三角形ABC内接于$\odot O$，$BD ⊥ AC$于点D，$OM ⊥ AB$于点M，则$\sin∠ CBD$的值等于（）。

A.OM 的长
B.2OM 的长
C.CD 的长
D.2CD 的长

A

【分析】
要计算$\sin∠CBD$的值，我们可以通过角的等量转化，将未知角的三角函数转化为与已知线段$OM$相关的直角三角形内的三角函数：首先利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理、垂径定理，推导得出$∠CBD$和$∠OAM$相等，再结合锐角三角函数的定义即可得到结果。
【解析】
连接$OA$、$OB$：
1. 由垂径定理，$OM⊥AB$且$OA=OB$（均为$\odot O$半径），因此$OM$平分$∠AOB$，即$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB$。
2. 根据圆周角定理，同弧$AB$所对的圆周角$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，因此$∠ AOM=∠ ACB$。
3. 已知$BD⊥AC$，则$Rt△ BDC$中$∠ CBD + ∠ ACB=90°$；又$OM⊥AB$，则$Rt△ AOM$中$∠ OAM + ∠ AOM=90°$，因此可推出$∠ CBD=∠ OAM$。
4. 在$Rt△ AOM$中，$OA=1$（$\odot O$半径为1），由正弦函数定义：$\sin∠ OAM=\frac{OM}{OA}=OM$，因此$\sin∠CBD=\sin∠OAM=OM$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题的核心是通过角的等量代换建立所求角与已知线段的关联，需要熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的边角关系，是对基础知识点综合应用的考查。
【难度系数】
0.7

4. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D都在$\odot O$上，$∠ BDC=20°$，则$∠ AOC$的度数为。

$\boldsymbol{140°}$

【分析】
解题思路如下：首先，已知∠BDC是圆周角，我们可以利用圆周角定理，先求出它所对的弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；其次，AB是圆的直径，∠AOB是平角为180°，∠AOC与∠BOC互补，用180°减去∠BOC的度数即可得到∠AOC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
因为∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，已知∠BDC=20°，
所以∠BOC = 2∠BDC = 2×20° = 40°。
又因为AB是⊙O的直径，所以∠AOB=180°，
因此∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 40° = 140°。
【答案】
$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
圆周角定理、平角的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角，结合平角的性质即可快速计算出结果，出错点多为混淆圆周角对应的弧，或记错圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】
0.85

5. 如图,边长为1的小正方形构成的网格中,$\odot O$的圆心$O$在格点上,且点$A$,$E$,$B$,$C$都为格点,$BC$交$\odot O$于另一点$D$.则$\cos∠ AED$的值为.

$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$

【分析】
解题时首先利用圆周角定理，将待求的∠AED转化为与其相等的同弧所对圆周角∠ABC，把陌生角的三角函数计算转化为格点直角三角形中的锐角三角函数计算；再通过勾股定理求出直角三角形各边长，最后根据余弦的定义即可算出结果。
【解析】
1. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆周角相等，弧$AD$所对的$∠ AED$和$∠ ABC$相等，因此$\cos∠ AED=\cos∠ ABC$。
2. 观察格点特征可得$AC⊥ AB$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ CAB=90°$。已知小正方形边长为1，因此$AB=2$，$AC=1$。
3. 由勾股定理计算$BC$的长度：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据余弦的定义：$\cos∠ ABC=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此$\cos∠ AED=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题将圆周角性质和锐角三角函数计算结合考查，解题的核心是通过圆周角相等实现未知角的转化，再结合格点的直角特征计算边长，解题思路灵活，能较好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图，点A，B，C，D都在$\odot O$上，且B是AC的中点，BD交OC于点E，$∠ AOC=100°$，$∠ OCD=35°$，那么$∠ OED$的度数为。

$\boldsymbol{60°}$

【分析】
解题时首先利用弧中点的性质得到弧BC的度数，再结合圆周角定理求出弧BC所对的圆周角∠BDC的度数，最后根据三角形外角的性质，将∠BDC与已知的∠OCD相加即可得到∠OED的度数。
【解析】
1. 因为B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，圆心角的度数等于其所对弧的度数，已知$∠ AOC=100°$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$\frac{1}{2}×100°=50°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ BDC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，因此$∠ BDC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. $∠ OED$是$△ CDE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ OED=∠ BDC+∠ OCD$。
4. 代入$∠ BDC=25°$，$∠ OCD=35°$，计算得$∠ OED=25°+35°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，再结合三角形外角性质求解，这类题是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7