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1. 下列方程中,是一元二次方程的为 ()
A.$2x^2 -7=3y+1$
B.$5x^2 -6y-2=0$
C.$\frac{\sqrt{3}}{6}x - \sqrt{5} = \frac{x^2}{2} +x$
D.$ax^2 + (b-3)x +c+6=0$
A.$2x^2 -7=3y+1$
B.$5x^2 -6y-2=0$
C.$\frac{\sqrt{3}}{6}x - \sqrt{5} = \frac{x^2}{2} +x$
D.$ax^2 + (b-3)x +c+6=0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：1. 是整式方程（分母、根号内不含未知数）；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0。解题时我们将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个即可排除，最终选出全部符合的选项。
【解析】
我们根据一元二次方程的判定条件逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程“只含1个未知数”的要求，排除；
选项B：方程中同样含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
选项C：方程中根号仅出现在系数位置，属于整式方程，只含有未知数x，整理后可得$\frac{1}{2}x^2 + (1-\frac{\sqrt{3}}{6})x + \sqrt{5}=0$，未知数最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{2}≠0$，完全符合一元二次方程的定义；
选项D：方程未注明参数$a≠0$，若$a=0$，方程最高次数为1，属于一元一次方程，因此不能确定是一元二次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是准确把握一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意两点：一是根号出现在系数中不影响整式方程的判定，只有根号内含未知数才是无理方程；二是含参数的二次项系数必须明确不为0，才能判定为一元二次方程，避免误选D选项。
【难度系数】
0.75
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：1. 是整式方程（分母、根号内不含未知数）；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0。解题时我们将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个即可排除，最终选出全部符合的选项。
【解析】
我们根据一元二次方程的判定条件逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程“只含1个未知数”的要求，排除；
选项B：方程中同样含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
选项C：方程中根号仅出现在系数位置，属于整式方程，只含有未知数x，整理后可得$\frac{1}{2}x^2 + (1-\frac{\sqrt{3}}{6})x + \sqrt{5}=0$，未知数最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{2}≠0$，完全符合一元二次方程的定义；
选项D：方程未注明参数$a≠0$，若$a=0$，方程最高次数为1，属于一元一次方程，因此不能确定是一元二次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是准确把握一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意两点：一是根号出现在系数中不影响整式方程的判定，只有根号内含未知数才是无理方程；二是含参数的二次项系数必须明确不为0，才能判定为一元二次方程，避免误选D选项。
【难度系数】
0.75
2. 将方程$(x-1)^2 +4=0$化为$ax^2+bx+c=0$的形式，则$a,b,c$的值分别为（）
A.$1,-2,5$
B.$1,-1,4$
C.$-1,5,2$
D.$1,2,5$
A.$1,-2,5$
B.$1,-1,4$
C.$-1,5,2$
D.$1,2,5$
答案
A
解析
【分析】
这道题需要将给定的方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，进而确定$a、b、c$的值。解题思路非常清晰：首先利用完全平方公式展开方程中的平方项，再合并同类项将方程整理为一般形式，最后和一般形式的系数一一对应即可，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
1. 利用完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$展开$(x-1)^2$，可得：
$(x-1)^2=x^2-2x+1$
2. 将展开式代入原方程，得：
$x^2-2x+1+4=0$
3. 合并常数项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-2x+5=0$
4. 与$ax^2+bx+c=0$对比可得：$a=1$，$b=-2$，$c=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查完全平方公式的展开和一元二次方程一般形式的系数对应规则，只要细心计算，避免符号错误就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题需要将给定的方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，进而确定$a、b、c$的值。解题思路非常清晰：首先利用完全平方公式展开方程中的平方项，再合并同类项将方程整理为一般形式，最后和一般形式的系数一一对应即可，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
1. 利用完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$展开$(x-1)^2$，可得：
$(x-1)^2=x^2-2x+1$
2. 将展开式代入原方程，得：
$x^2-2x+1+4=0$
3. 合并常数项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-2x+5=0$
4. 与$ax^2+bx+c=0$对比可得：$a=1$，$b=-2$，$c=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查完全平方公式的展开和一元二次方程一般形式的系数对应规则，只要细心计算，避免符号错误就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的方程$(k+1)x^2 -3kx +2=0$,当$k$时,原方程为一元二次方程。
答案
$≠ -1$
解析
【分析】
要判断方程为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的判定条件：需为整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。本题给出的方程已经是只含x的整式方程，要满足一元二次方程要求，核心是保证二次项系数不为0，因此只需令二次项系数对应的代数式不等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的方程是一元二次方程，其中$a$是二次项系数。
本题中方程$(k+1)x^2 -3kx +2=0$的二次项系数为$k+1$，要使原方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k+1≠0$
解得$k≠ -1$
【答案】
$≠ -1$
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，避免忽略系数为0时方程降次为一元一次方程的情况。
【难度系数】
0.9
要判断方程为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的判定条件：需为整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。本题给出的方程已经是只含x的整式方程，要满足一元二次方程要求，核心是保证二次项系数不为0，因此只需令二次项系数对应的代数式不等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的方程是一元二次方程，其中$a$是二次项系数。
本题中方程$(k+1)x^2 -3kx +2=0$的二次项系数为$k+1$，要使原方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k+1≠0$
解得$k≠ -1$
【答案】
$≠ -1$
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，避免忽略系数为0时方程降次为一元一次方程的情况。
【难度系数】
0.9
4. 方程$2x^2 -7 -3x =0$的二次项为，一次项为，常数项为。
答案
解：将方程整理为一元二次方程的一般形式：$2x^2 - 3x -7 = 0$，
可得二次项为$\boldsymbol{2x^2}$，一次项为$\boldsymbol{-3x}$，常数项为$\boldsymbol{-7}$。
可得二次项为$\boldsymbol{2x^2}$，一次项为$\boldsymbol{-3x}$，常数项为$\boldsymbol{-7}$。
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项、一次项和常数项，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项，且各项都需要包含本身的符号。解题时先把给定的方程按未知数$x$的降幂排列，整理为一般形式，再对应识别各项即可。
【解析】
先将给定方程按$x$的降幂排列，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x -7 = 0$
结合一元二次方程项的定义判断：
含$x^2$的项为二次项，即$2x^2$；
含$x$的一次方的项为一次项，即$-3x$；
不含未知数的项为常数项，即$-7$。
【答案】
$2x^2$；$-3x$；$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是先将方程整理为一般形式再识别各项，需要格外注意各项要携带前面的符号，避免遗漏负号出现错误。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的二次项、一次项和常数项，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项，且各项都需要包含本身的符号。解题时先把给定的方程按未知数$x$的降幂排列，整理为一般形式，再对应识别各项即可。
【解析】
先将给定方程按$x$的降幂排列，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x -7 = 0$
结合一元二次方程项的定义判断：
含$x^2$的项为二次项，即$2x^2$；
含$x$的一次方的项为一次项，即$-3x$；
不含未知数的项为常数项，即$-7$。
【答案】
$2x^2$；$-3x$；$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是先将方程整理为一般形式再识别各项，需要格外注意各项要携带前面的符号，避免遗漏负号出现错误。
【难度系数】
0.9
5.若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -6=0$的一个根，则$m=$。
答案
解：将$x=1$代入一元二次方程$x^2 + mx -6=0$，得
$1^2 + m -6 = 0$
整理得：$m - 5 = 0$
解得：$m=5$
$1^2 + m -6 = 0$
整理得：$m - 5 = 0$
解得：$m=5$
解析
【分析】
本题已知x=1是给定一元二次方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此我们可以将x=1代入原方程，得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
将$x=1$代入一元二次方程$x^2 + mx -6=0$，得
$1^2 + m -6 = 0$
整理得：$m - 5 = 0$
解得：$m=5$
【答案】
$5$
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的根能使方程左右两边相等，只要掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题已知x=1是给定一元二次方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此我们可以将x=1代入原方程，得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
将$x=1$代入一元二次方程$x^2 + mx -6=0$，得
$1^2 + m -6 = 0$
整理得：$m - 5 = 0$
解得：$m=5$
【答案】
$5$
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的根能使方程左右两边相等，只要掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 把方程$(x-1)^2 - 3x(x-2) = 2(x+2)+1$化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
答案
解：
去括号展开方程左右两边：
左边：$(x-1)^2 - 3x(x-2) = x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x = -2x^2 + 4x + 1$
右边：$2(x+2) + 1 = 2x + 4 + 1 = 2x + 5$
移项，将所有项移至等号左侧：
$-2x^2 + 4x + 1 - 2x - 5 = 0$
合并同类项：
$-2x^2 + 2x - 4 = 0$
方程两边同时除以$-2$，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x + 2 = 0$
该方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$-1$，常数项为$2$。
去括号展开方程左右两边：
左边：$(x-1)^2 - 3x(x-2) = x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x = -2x^2 + 4x + 1$
右边：$2(x+2) + 1 = 2x + 4 + 1 = 2x + 5$
移项，将所有项移至等号左侧：
$-2x^2 + 4x + 1 - 2x - 5 = 0$
合并同类项：
$-2x^2 + 2x - 4 = 0$
方程两边同时除以$-2$，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x + 2 = 0$
该方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$-1$，常数项为$2$。
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。解题思路如下：第一步先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则去掉方程两边的括号；第二步将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第三步合并同类项，通常将二次项系数化为正整数，最后根据化简后的一般形式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
解：先去括号展开方程左右两边：
左边：$(x-1)^2 - 3x(x-2) = x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x = -2x^2 + 4x + 1$
右边：$2(x+2) + 1 = 2x + 4 + 1 = 2x + 5$
再移项，将所有项移至等号左侧：
$-2x^2 + 4x + 1 - 2x - 5 = 0$
合并同类项得：
$-2x^2 + 2x - 4 = 0$
为使二次项系数为正整数，方程两边同时除以$-2$，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x + 2 = 0$
由此可得，该方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$-1$，常数项为$2$。
【答案】
一般形式为$\boldsymbol{x^2 - x + 2 = 0}$，二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-1}$，常数项是$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的混合运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，重点考查方程化简的运算能力，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，确定各项系数时不要遗漏正负号，通常将二次项系数化为正整数是这类化简题的常规要求。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。解题思路如下：第一步先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则去掉方程两边的括号；第二步将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第三步合并同类项，通常将二次项系数化为正整数，最后根据化简后的一般形式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
解：先去括号展开方程左右两边：
左边：$(x-1)^2 - 3x(x-2) = x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x = -2x^2 + 4x + 1$
右边：$2(x+2) + 1 = 2x + 4 + 1 = 2x + 5$
再移项，将所有项移至等号左侧：
$-2x^2 + 4x + 1 - 2x - 5 = 0$
合并同类项得：
$-2x^2 + 2x - 4 = 0$
为使二次项系数为正整数，方程两边同时除以$-2$，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x + 2 = 0$
由此可得，该方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$-1$，常数项为$2$。
【答案】
一般形式为$\boldsymbol{x^2 - x + 2 = 0}$，二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-1}$，常数项是$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的混合运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，重点考查方程化简的运算能力，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，确定各项系数时不要遗漏正负号，通常将二次项系数化为正整数是这类化简题的常规要求。
【难度系数】
0.8
1. 用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$，配方后得到的方程是（）
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的方程。注意一次项系数是-6，计算一半的平方时不要搞错符号，避免误选带+3的选项。
【解析】
对原方程$x^2 -6x +8=0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为-6，它的一半是-3，平方为9，在方程两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，主要考查配方法的标准操作步骤，解题的关键是注意一次项系数的符号，准确计算需要添加的常数项，熟练掌握配方法步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的方程。注意一次项系数是-6，计算一半的平方时不要搞错符号，避免误选带+3的选项。
【解析】
对原方程$x^2 -6x +8=0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为-6，它的一半是-3，平方为9，在方程两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，主要考查配方法的标准操作步骤，解题的关键是注意一次项系数的符号，准确计算需要添加的常数项，熟练掌握配方法步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
