1.如图，$△ ABC$中，$∠ C=45°$，$∠ ABC=120°$，$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于$D$，交$AC$于$E$，$AB$的垂直平分线$FH$交$AB$于$F$，交$AC$于$H$，若$CE=4$，则$AH$的长为。

8

2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为.

5

3.如图,在$△ ACB$中,$AC=BC=4$,$∠ B=15°$,则$△ ACB$的面积为()

A.2
B.4
C.8
D.1

B
解:过点$A$作$AM⊥ BC$交$BC$的延长线于点$M$,$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=2$,$\therefore S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×4×2=4$.

4.(2026·仙桃、武汉)如图,等腰直角$△ ABC$中,$CA = CB$,$D$为$△ ABC$内一点,$∠ DAB=15°,AD=AC,CE⊥ AD$于点$E$.
(1)若$CE=5$,求$BC$的长;
(2)求证:$BD=CD$.

(1)解:$∠ CAE=30°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}AC$,
$AC=BC=10$;
(2)证明:过点$D$作$DM⊥ BC$于点$M$,
$∠ DCM=∠ DCE$,
$\therefore △ DCE≌△ DCM$,
$\therefore CM=CE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore MC=MB$,$\therefore DC=DB$.

5.如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在BC,AB上,连接AD,CE交于点M,BE=CD.
(1)求∠AME的度数;
(2)过点A作AN⊥CE于点N,若MN=3,DM=1,直接写出CE的长为;
(3)如图2,点F在CE的延长线上,且∠CFB=30°,求证:CF=AM+2CM.

(1)解:在$△ BCE$和$△ CAD$中,
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠ B=∠ ACD, \\ BC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BCE=∠ CAD$,
$\therefore ∠ AME=∠ CAD+∠ ACM=∠ ACD=60°$.
(2)解:$\because ∠ MAN=30°$,
$\therefore AM=2MN=6$,
$\therefore AD=AM+DM=7$,
由(1)知$CE=AD=7$.

(3)证明:方法一:
过点$C$作$CN⊥ CF$交$AD$的延长线于点$N$,
$\because ∠ CMD=60°$,$\therefore MN=2CM$,
$\therefore ∠ N=30°$,
在$△ ACN$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} ∠ N=∠ F, \\ ∠ CAM=∠ FCB, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACN≌△ CBF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CF=AN=AM+2CM$.
方法二:作$BH⊥ FB$交$CF$于$H$,
$△ ACM≌△ CBH$,
$CH=AM$,$\therefore CF=AM+2CM$.