2026年思维新观察八年级数学上册人教版第80页答案
【例1】如图1，A，B为格点，在x轴作点D，使AD+BD最小。

答案


作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为所求点D。
练习1.如图2，A,B,C,E为格点，在AC上作点F，使BF+EF最小。

答案


作点E关于AC的对称点E'，连接BE'，与AC的交点即为所求点F。
练习2.如图3，A，B，C，D为格点，在AB上找点P，使∠APD=∠BPC.

答案


作点D关于AB的对称点，连接该对称点与点C，与AB的交点即为所求点P，此时∠APD=∠BPC。
【例2】如图4，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC上一点，AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为
30°
。


答案

30°
提示:连接 BE 交 AD 于点 F,连接 CF,知 CF 为角平分线.
练习1.如图5,在$△ ABC$中,$AB=3,AC=4$,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则$AP+BP$的最小值是
4
.

答案

4
提示:AP+BP 最小值为AC 的长.
练习2.如图6，△ABC中，AC=8，AB=10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为
6
。

答案

6
【例3】(教材P95任务1变式)如图7，$∠ AOB=30°$，点P为$∠ AOB$内一点，$OP=10$，点M，N分别在OA，OB上，求$△ PMN$周长的最小值。

答案


解:分别作点 P 关于OA,OB 的对称点$P_1,P_2$,连$P_1P_2$,交OA于M,交OB于N，
$△ PMN$的周长$=P_1P_2$，
$\therefore P_1P_2=OP_1=OP_2=OP=10.$
练习1.如图8，点P为∠AOB内一点，M，N在OA，OB上，∠AOB＝α，当△PMN周长最小时，则∠MPN＝
180°−2α
。

答案


$180°-2α$
解:作点 P 关于OA,OB 对称点$P_1,P_2$,连接$P_1P_2$交OA,OB于点M,N，
$\therefore OP_1=OP=OP_2$，
$PM=MP_1,PN=P_2N$，
$\therefore ∠ MPN =∠ OP_1M+∠ OP_2N$
$=180°-∠ P_1OP_2$
$=180°-2α.$