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1[2026安徽安庆期末,中]如图,A,B,C是数轴上的三点,且A,B两点之间的距离为8,以C为折点,将此数轴向右转折,此时点A和点B恰好重合.
(1)若点C表示的数为1,则点A表示的数为
(2)若点C表示的数为-2,则点A表示的数与点B表示的数之和为
(1)若点C表示的数为1,则点A表示的数为
-3
;(2)若点C表示的数为-2,则点A表示的数与点B表示的数之和为
-4
.答案
(1) -3；(2) -4
【解析】(1)由题意可知,C为AB的中点,所以AC=CB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4.
若点C表示的数为1,则点A表示的数为1-4=-3,故答案为-3.
(2)若点C表示的数为-2,则点A表示的数为-2-4=-6,点B表示的数为-2+4=2,则点A表示的数与点B表示的数之和为-6+2=-4.故答案为-4.
【解析】(1)由题意可知,C为AB的中点,所以AC=CB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4.
若点C表示的数为1,则点A表示的数为1-4=-3,故答案为-3.
(2)若点C表示的数为-2,则点A表示的数为-2-4=-6,点B表示的数为-2+4=2,则点A表示的数与点B表示的数之和为-6+2=-4.故答案为-4.
2[2026安徽阜阳期中,较难]数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,是“数形结合”的基础.如果点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B之间的距离AB可表示为|a−b|,即AB=|a−b|.如图(1),在数轴上,点A,B,C表示的数分别为−1,1,4.
(1)A,B之间的距离为
(2)已知P为图(1)数轴上一动点,点P在点A的右侧,点P表示有理数p,现以P为折点,将图(1)的数轴向右转折,如图(2).
①若对折后点A与点C重合,求此时p的值;
②若对折后A,B,C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等,请求出此时p的值.
(1)A,B之间的距离为
2
,B,C之间的距离为3
.(2)已知P为图(1)数轴上一动点,点P在点A的右侧,点P表示有理数p,现以P为折点,将图(1)的数轴向右转折,如图(2).
①若对折后点A与点C重合,求此时p的值;
②若对折后A,B,C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等,请求出此时p的值.
答案
(1) 2,3
(2) ① p的值为1.5；② p的值为0.75或2或3.5
【解】(1)因为点A,B,C表示的数分别为-1,1,4,所以A,B之间的距离为|-1-1|=2,B,C之间的距离为|1-4|=3,故答案为2,3.
(2)①因为对折后点A与点C重合,AC=|-1-4|=5,所以AP=CP=5÷2=2.5.
因为4-2.5=1.5,所以此时p的值为1.5.
②分三种情况讨论:
若对折后点A到点B,C的距离相等,则对折后点B,C不动,点A在点B,C之间.
因为BC=|1-4|=3,所以AB=AC=3÷2=1.5,所以对折后点A表示的数为1+1.5=2.5,所以对折前的点A到对折后的点A的距离为|-1-2.5|=3.5,所以AP=3.5÷2=1.75,所以点P表示的数p为-1+1.75=0.75,即此时p的值为0.75.
若对折后点C到点A,B的距离相等,则对折后点A,B动,点C不动,点C在点A,B之间.
因为AB=|-1-1|=2,所以BC=2÷2=1,所以对折后点B表示的数为4-1=3,所以对折前的点B到对折后的点B的距离为|1-3|=2,则BP=2÷2=1,所以点P表示的数p为1+1=2,即此时p的值为2.
若对折后点B到点C,A的距离相等,则对折后点A,B动,点C不动,点B在点A,C之间.
因为AB=|-1-1|=2,所以BC=AB=2,所以对折后点B表示的数为4+2=6,所以对折前的点B到对折后的点B的距离为|1-6|=5,则BP=5÷2=2.5,所以点P表示的数p为2.5+1=3.5,即此时p的值为3.5.
综上,p的值为0.75或2或3.5.
(2) ① p的值为1.5；② p的值为0.75或2或3.5
【解】(1)因为点A,B,C表示的数分别为-1,1,4,所以A,B之间的距离为|-1-1|=2,B,C之间的距离为|1-4|=3,故答案为2,3.
(2)①因为对折后点A与点C重合,AC=|-1-4|=5,所以AP=CP=5÷2=2.5.
因为4-2.5=1.5,所以此时p的值为1.5.
②分三种情况讨论:
若对折后点A到点B,C的距离相等,则对折后点B,C不动,点A在点B,C之间.
因为BC=|1-4|=3,所以AB=AC=3÷2=1.5,所以对折后点A表示的数为1+1.5=2.5,所以对折前的点A到对折后的点A的距离为|-1-2.5|=3.5,所以AP=3.5÷2=1.75,所以点P表示的数p为-1+1.75=0.75,即此时p的值为0.75.
若对折后点C到点A,B的距离相等,则对折后点A,B动,点C不动,点C在点A,B之间.
因为AB=|-1-1|=2,所以BC=2÷2=1,所以对折后点B表示的数为4-1=3,所以对折前的点B到对折后的点B的距离为|1-3|=2,则BP=2÷2=1,所以点P表示的数p为1+1=2,即此时p的值为2.
若对折后点B到点C,A的距离相等,则对折后点A,B动,点C不动,点B在点A,C之间.
因为AB=|-1-1|=2,所以BC=AB=2,所以对折后点B表示的数为4+2=6,所以对折前的点B到对折后的点B的距离为|1-6|=5,则BP=5÷2=2.5,所以点P表示的数p为2.5+1=3.5,即此时p的值为3.5.
综上,p的值为0.75或2或3.5.
3[2026江苏扬州期末,中]如图,正方形的周长为8个单位长度.在该正方形的4个顶点处分别标上0,2,4,6,先让正方形上标有数字6的点与数轴上表示-3的点重合,再将数轴环绕在该正方形上,则数轴上表示2025的点对应正方形上的数字 (
A.0
B.2
C.4
D.6
B
)A.0
B.2
C.4
D.6
答案
B
【解析】因为正方形上标有数字0的点与数轴上表示-1的点对应,表示-1的点与表示2025的点之间的距离为|2 025 - (-1)| = 2 026(个)单位长度,正方形的周长为8个单位长度,2 026÷8 = 253……2,故数轴上表示2 025的点对应正方形上的数字2,故选B.
【解析】因为正方形上标有数字0的点与数轴上表示-1的点对应,表示-1的点与表示2025的点之间的距离为|2 025 - (-1)| = 2 026(个)单位长度,正方形的周长为8个单位长度,2 026÷8 = 253……2,故数轴上表示2 025的点对应正方形上的数字2,故选B.
4[2025安徽合肥期中，中]在数轴上，点P表示的数是a，点P'表示的数是$\frac{1}{1-a}$，我们称点P'是点P的“相关点”.已知数轴上A₁的“相关点”为A₂，A₂的“相关点”为A₃，A₃的“相关点”为A₄，…，这样依次得到点A₁,A₂,A₃,A₄,…,Aₙ.若点A₁在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$，则点A₂₀₂₄在数轴上表示的数是
2
.答案
2
【解析】因为点A₁在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$,点A₁的“相关点”为A₂,所以点A₂在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.由题意可得,点A₃在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-2}=-1$,点A₄在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$,点A₅在数轴上表示的数是2,点A₆在数轴上表示的数是-1,…,所以三个数$\frac{1}{2},2,-1$依次循环.因为2 024÷3=674……2,所以点A₂₀₂₄与点A₂在数轴上表示的数相同,是2.故答案为2.
【解析】因为点A₁在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$,点A₁的“相关点”为A₂,所以点A₂在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.由题意可得,点A₃在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-2}=-1$,点A₄在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$,点A₅在数轴上表示的数是2,点A₆在数轴上表示的数是-1,…,所以三个数$\frac{1}{2},2,-1$依次循环.因为2 024÷3=674……2,所以点A₂₀₂₄与点A₂在数轴上表示的数相同,是2.故答案为2.
5[中]已知点A,B在数轴上对应的数分别用a,b表示，且$(ab+150)^2 + |b+10| = 0$，P是数轴上的一个动点. 动点P从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，…，点P在移动过程中，第
15
次移动后与点A重合.答案
15
【解析】点P第一次移动所得的对应点P₁表示的数为0+1=1,第二次移动所得的对应点P₂表示的数为1-3=-2,第三次移动所得的对应点P₃表示的数为-2+5=3,第四次移动所得的对应点P₄表示的数为3-7=-4,第五次移动所得的对应点P₅表示的数为-4+9=5,第六次移动所得的对应点P₆表示的数为5-11=-6,…,由此可得,当n为奇数时,点P对应的数为n;当n为偶数时,点P对应的数为-n.因为$(ab+150)^2≥0,|b+10|≥0$,且$(ab+150)^2+|b+10|=0$,所以b+10=0,ab+150=0,即b=-10,a=15,所以点A表示的数是15,点B表示的数是-10.因为当n=15时,点P₁₅表示的数为15,所以第15次移动后点P所得的对应点与点A重合.
【解析】点P第一次移动所得的对应点P₁表示的数为0+1=1,第二次移动所得的对应点P₂表示的数为1-3=-2,第三次移动所得的对应点P₃表示的数为-2+5=3,第四次移动所得的对应点P₄表示的数为3-7=-4,第五次移动所得的对应点P₅表示的数为-4+9=5,第六次移动所得的对应点P₆表示的数为5-11=-6,…,由此可得,当n为奇数时,点P对应的数为n;当n为偶数时,点P对应的数为-n.因为$(ab+150)^2≥0,|b+10|≥0$,且$(ab+150)^2+|b+10|=0$,所以b+10=0,ab+150=0,即b=-10,a=15,所以点A表示的数是15,点B表示的数是-10.因为当n=15时,点P₁₅表示的数为15,所以第15次移动后点P所得的对应点与点A重合.
6[中]如图,在数轴所在的平面内,一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路线如图所示,第1次移动到$A_1$,第2次移动到$A_2$,第3次移动到$A_3$,…,第n次移动到$A_n$,则三角形$OA_2A_{2020}$的面积是 (
A.$\frac{1009}{2}$
B.505
C.$\frac{1011}{2}$
D.506
B
)A.$\frac{1009}{2}$
B.505
C.$\frac{1011}{2}$
D.506
答案
B
【解析】由题意知,$A_2A_3=1$.因为A₄表示的数为2,A₈表示的数为4,A₁₂表示的数为6,…,所以可推导一般性规律:$A_{4n}$表示的数为2n(n为正整数),所以$A_{2020}$表示的数为1 010,所以$OA_{2020}=1 010$,所以$S_{△ OA_2A_{2020}}=\frac{1}{2}× OA_{2020}× A_2A_3=\frac{1}{2}×1 010×1=505$,故选B.
【解析】由题意知,$A_2A_3=1$.因为A₄表示的数为2,A₈表示的数为4,A₁₂表示的数为6,…,所以可推导一般性规律:$A_{4n}$表示的数为2n(n为正整数),所以$A_{2020}$表示的数为1 010,所以$OA_{2020}=1 010$,所以$S_{△ OA_2A_{2020}}=\frac{1}{2}× OA_{2020}× A_2A_3=\frac{1}{2}×1 010×1=505$,故选B.
