第2讲 二次根式(2)
问题情境
【生活情境】斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究的“斐波那契数列”(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)非常奇妙.后来,人们在研究它的过程中发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,许多植物(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n](n≥1)$表示.


斐波那契
【问题提出】通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【问题分析】分别把$n=1$和$n=2$代入上式进行计算,即可算出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【问题解决】

当n=1时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1]=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{1+\sqrt{5}-(1-\sqrt{5})}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{2\sqrt{5}}{2}=1$
即斐波那契数列第1个数为1；
当n=2时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{6+2\sqrt{5}-(6-2\sqrt{5})}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{4\sqrt{5}}{4}=1$
即斐波那契数列第2个数为1。

【分析】
本题给出了斐波那契数列第n个数的计算公式，要求第1、2个数，解题思路如下：首先分别将n=1、n=2代入公式，再按照二次根式的运算规则，先计算乘方，再计算括号内的加减运算（注意去括号的符号变化），最后计算乘法并化简，即可得到结果。
【解析】
解：计算第1个数时，将n=1代入公式：
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1]=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{1+\sqrt{5}-(1-\sqrt{5})}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{2\sqrt{5}}{2}=1$
即斐波那契数列第1个数为1；
计算第2个数时，将n=2代入公式，先利用完全平方公式计算乘方：$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$，$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$，代入得：
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{6+2\sqrt{5}-(6-2\sqrt{5})}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}·\frac{4\sqrt{5}}{4}=1$
即斐波那契数列第2个数为1。
【答案】
斐波那契数列中的第1个数为1，第2个数为1。
【知识点】
代数式求值，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题结合经典的斐波那契数列背景出题，趣味性较强，核心考查二次根式的混合运算能力，只要掌握代数式代入求值的方法，运算时足够细心，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8