4. [2025 天津]小明从废弃的电热锅中拆下了一个加热盘,其阻值为 28～32 Ω。为测量其电阻,他找来了一个电源(电压$U_0$为 35 V),一个电流表(量程为 0～0.6 A),两个滑动变阻器$R_1$(最大阻值约为 50 Ω)和$R_2$(最大阻值约为 100 Ω),开关和导线若干。请你合理选择上述器材设计实验,测出加热盘电阻$R_x$的阻值。要求：
(1) 画出实验电路图。
(2) 写出实验步骤及所需测量的物理量。
(3) 写出加热盘电阻$R_x$的数学表达式(用已知量和测量量表示)。
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解：
(1) 实验电路图如下：

(2) 实验步骤：
① 按照电路图连接电路；
② 闭合开关$S_1$、$S_2$，调节滑动变阻器滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；
③ 断开开关$S_2$，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$。
(3) 推导：
闭合$S_1$、$S_2$时，R_x被短路，滑动变阻器接入电路的阻值$R_2=\frac{U_0}{I_1}$；
断开$S_2$后，R_x与滑动变阻器$R_2$串联，电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=\frac{U_0}{I_2}$；
因此待测电阻的表达式为：
$ R_x = R_{\mathrm{总}} - R_2 = \frac{U_0}{I_2} - \frac{U_0}{I_1} = \frac{I_1-I_2}{I_1I_2}U_0$

【分析】
本题需测量阻值较大的加热盘电阻$R_x$，已知电源电压$U_0$但电流表量程较小，若直接接入$R_x$会导致电流超量程，因此设计利用开关控制$R_x$是否接入电路，通过两次测量电流，结合滑动变阻器阻值不变的特点，利用欧姆定律和串联电阻规律计算$R_x$。核心思路：① 闭合$S_1$、$S_2$时，$R_x$被短路，仅滑动变阻器工作，可算出滑动变阻器阻值；② 断开$S_2$后，$R_x$与滑动变阻器串联，保持滑片不动（滑动变阻器阻值不变），算出总电阻；③ 总电阻减去滑动变阻器阻值即为$R_x$，既规避了电流表量程问题，又能准确计算待测电阻。
【解析】
(1) 实验电路图：
(2) 实验步骤：
① 按照电路图连接电路；
② 闭合开关$S_1$、$S_2$，调节滑动变阻器滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；
③ 断开开关$S_2$，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$。
(3) 推导：
闭合$S_1$、$S_2$时，$R_x$被短路，电路为滑动变阻器$R_2$的简单电路，根据欧姆定律得：$R_2=\frac{U_0}{I_1}$；
断开$S_2$后，$R_x$与$R_2$串联，电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=\frac{U_0}{I_2}$；
根据串联电阻规律，待测电阻$R_x=R_{\mathrm{总}}-R_2=\frac{U_0}{I_2}-\frac{U_0}{I_1}=\frac{U_0(I_1-I_2)}{I_1I_2}$。
【答案】
(1) 实验电路图：；
(2) 实验步骤：① 按照电路图连接电路；② 闭合开关$S_1$、$S_2$，调节滑动变阻器滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；③ 断开开关$S_2$，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$；
(3) $R_x=\frac{U_0(I_1-I_2)}{I_1I_2}$
【知识点】
欧姆定律、串联电路电阻规律、伏安法测电阻
【点评】
本题通过开关切换电路状态，结合已知电源电压实现待测电阻测量，巧妙解决了电流表量程不足的问题，设计思路清晰，考查了学生对欧姆定律和串联电路规律的应用能力。
【难度系数】
0.5

5. 某同学要比较精确地测出一个约 10 Ω 的未知电阻$R_{x}$的阻值,现有电压约为 18 V 的电源(电压保持不变),量程为 0～0.6 A 的电流表,三个阻值一定的电阻$R_{1}(20\ \Omega )$、$R_{2}(30\ \Omega )$、$R_{3}(100\ \Omega )$,开关及导线若干。请合理选择器材并设计实验。要求：
(1) 画出实验电路图。
(2) 写出实验步骤及所要测量的物理量。
(3) 写出未知电阻的数学表达式(用已知量和测量量表示)。

解：
(1) 实验电路图如下：
(2) 实验步骤：
① 按电路图连接电路；
② 只闭合开关S、$S_1$，断开开关$S_2$，读出电流表示数为$I_1$；
③ 只闭合开关S、$S_2$，断开开关$S_1$，读出电流表示数为$I_2$。
(3) 推导：
只闭合S、$S_1$时，电源电压$U=I_1(R_1+R_2)$；
只闭合S、$S_2$时，电路总电阻为$R_x+R_2$，因此$U=I_2(R_x+R_2)$；
联立两式可得未知电阻的数学表达式：
$ R_x=\frac{I_1}{I_2}(R_1+R_2)-R_2（$或$R_x=50\ \Omega×\frac{I_1}{I_2}-30\ \Omega）$

【分析】
要测量未知电阻$R_x$，需利用电源电压恒定的特点，设计两次仅接入不同定值电阻（$R_1$、$R_x$）且串联相同定值电阻$R_2$的电路，通过电流表测出两次对应的电流，根据欧姆定律分别表示出电源电压，联立两式即可求出$R_x$。需注意选择定值电阻时，要保证电路电流不超过电流表0~0.6A的量程，经计算$R_1$与$R_2$串联时电流为0.36A，$R_x$与$R_2$串联时电流为0.45A，均符合量程要求，故选择$R_1$和$R_2$进行实验。
【解析】
(1) 实验电路图：如题图所示；
(2) 实验步骤：
① 按照电路图连接电路，确保开关断开；
② 闭合开关$S$、$S_1$，断开$S_2$，记录此时电流表的示数为$I_1$；
③ 闭合开关$S$、$S_2$，断开$S_1$，记录此时电流表的示数为$I_2$；
(3) 推导过程：
当只闭合$S$、$S_1$时，$R_1$与$R_2$串联，根据欧姆定律，电源电压$U = I_1(R_1 + R_2)$；
当只闭合$S$、$S_2$时，$R_x$与$R_2$串联，同理电源电压$U = I_2(R_x + R_2)$；
由于电源电压不变，联立两式得：$I_1(R_1 + R_2) = I_2(R_x + R_2)$，
整理可得：$R_x = \frac{I_1}{I_2}(R_1 + R_2) - R_2$，代入$R_1=20\ \Omega$、$R_2=30\ \Omega$，也可写为$R_x = 50\ \Omega × \frac{I_1}{I_2} - 30\ \Omega$。
【答案】
(1) 实验电路图：
(2) 实验步骤：
① 按电路图连接电路；
② 只闭合开关$S$、$S_1$，断开开关$S_2$，读出电流表示数为$I_1$；
③ 只闭合开关$S$、$S_2$，断开开关$S_1$，读出电流表示数为$I_2$；
(3) 未知电阻的数学表达式：$R_x = \frac{I_1}{I_2}(R_1 + R_2) - R_2$（或$R_x = 50\ \Omega × \frac{I_1}{I_2} - 30\ \Omega$）
【知识点】
欧姆定律、串联电路特点、电阻测量
【点评】
本题考查利用欧姆定律设计实验测量未知电阻，核心是利用电源电压恒定，通过两次不同串联电路的电流测量联立求解，需合理选择定值电阻以保证电流表量程合适，体现了对电学实验设计和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.5