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【例1】 甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步.6秒钟后,一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒6米的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇,那么小狗共跑了
解析: 设甲、乙同学跑了$x$秒,则小狗跑了$(x-6)$秒.
根据题意,得$2x+3x=400$,解得$x=80$.
$80-6=74$(秒),$74×6=444$(米).
答案: 444
444
米.解析: 设甲、乙同学跑了$x$秒,则小狗跑了$(x-6)$秒.
根据题意,得$2x+3x=400$,解得$x=80$.
$80-6=74$(秒),$74×6=444$(米).
答案: 444
答案
设甲、乙同学跑了$x$秒,则小狗跑了$(x-6)$秒.
根据题意,得$2x+3x=400$,解得$x=80$.
$80-6=74$(秒),$74×6=444$(米).
答案: 444
根据题意,得$2x+3x=400$,解得$x=80$.
$80-6=74$(秒),$74×6=444$(米).
答案: 444
解析
【分析】
这是一道环形跑道的行程相遇问题，核心是巧算小狗的总路程，无需计算小狗每次往返的路程。解题思路为：1. 先求甲、乙第一次相遇的总时间，两人背向跑步，相对速度为两人速度之和，根据总路程=速度和×时间列方程；2. 小狗在6秒后才开始跑，其运动时间等于甲乙相遇总时间减去6秒；3. 用小狗的速度乘其运动时间，即可得到小狗跑的总路程。
【解析】
设甲、乙同学跑了$ x $秒，则小狗跑了$ (x - 6) $秒。
根据甲、乙背向跑总路程为400米，列方程：
$ 2x + 3x = 400 $
合并同类项得：$ 5x = 400 $
解得：$ x = 80 $
小狗跑的时间为：$ 80 - 6 = 74 $（秒）
小狗跑的总路程为：$ 74 × 6 = 444 $（米）
【答案】
444
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题（相遇）
【点评】
本题通过抓住小狗运动时间与甲乙相遇时间的关系，避免了计算小狗往返的复杂分段路程，简化了解题过程，是行程问题中常用的巧解方法，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.7
这是一道环形跑道的行程相遇问题，核心是巧算小狗的总路程，无需计算小狗每次往返的路程。解题思路为：1. 先求甲、乙第一次相遇的总时间，两人背向跑步，相对速度为两人速度之和，根据总路程=速度和×时间列方程；2. 小狗在6秒后才开始跑，其运动时间等于甲乙相遇总时间减去6秒；3. 用小狗的速度乘其运动时间，即可得到小狗跑的总路程。
【解析】
设甲、乙同学跑了$ x $秒，则小狗跑了$ (x - 6) $秒。
根据甲、乙背向跑总路程为400米，列方程：
$ 2x + 3x = 400 $
合并同类项得：$ 5x = 400 $
解得：$ x = 80 $
小狗跑的时间为：$ 80 - 6 = 74 $（秒）
小狗跑的总路程为：$ 74 × 6 = 444 $（米）
【答案】
444
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题（相遇）
【点评】
本题通过抓住小狗运动时间与甲乙相遇时间的关系，避免了计算小狗往返的复杂分段路程，简化了解题过程，是行程问题中常用的巧解方法，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.7
【例2】 某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的大正方形. 请问该同学的想法能实现吗？如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由.
解析：此类“是否可行”的问题，通常假设所述的想法能实现，然后列出方程，检验方程的解是否符合题意，如果方程的解符合题意，那么假设成立，即该想法能实现；如果方程没有解或者方程的解不符合题意，那么假设不成立，即该想法不能实现.
答案：不能实现. 理由如下：
假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$.
所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
高手 擂台
解析：此类“是否可行”的问题，通常假设所述的想法能实现，然后列出方程，检验方程的解是否符合题意，如果方程的解符合题意，那么假设成立，即该想法能实现；如果方程没有解或者方程的解不符合题意，那么假设不成立，即该想法不能实现.
答案：不能实现. 理由如下：
假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$.
所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
高手 擂台
答案
不能实现. 理由如下：
假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$.
所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$.
所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
解析
【分析】
要判断用5个边长不等的正方形能否拼成大正方形，可采用假设法：先假设能实现，再根据图形中各正方形的边长关系，用未知数表示各正方形的边长，建立等式，若等式会推出与实际（边长为正）矛盾的结果，则假设不成立，想法不能实现。
【解析】
假设该同学的想法能实现，设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角正方形的边长为$y(y＞0)$。根据图形的边长对应关系：
左上角正方形的边长为$y - x$；
右上角正方形的边长为$y - 2x$；
右下角正方形的边长从左侧看为$y - 3x$，从上方看为$y + x$。
由于右下角正方形的边长是唯一的，因此可得等式：$y - 3x = y + x$，化简得$4x = 0$，解得$x = 0$，这与$x＞0$矛盾，所以假设不成立，该想法不能实现。
【答案】
不能实现. 理由如下：假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$，所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
【知识点】
图形拼接、一元一次方程
【点评】
本题通过假设法结合几何边长关系建立方程，利用矛盾推导结论，体现了代数与几何的结合，考查逻辑推理能力，是典型的几何可行性判断问题。
【难度系数】
0.4
要判断用5个边长不等的正方形能否拼成大正方形，可采用假设法：先假设能实现，再根据图形中各正方形的边长关系，用未知数表示各正方形的边长，建立等式，若等式会推出与实际（边长为正）矛盾的结果，则假设不成立，想法不能实现。
【解析】
假设该同学的想法能实现，设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角正方形的边长为$y(y＞0)$。根据图形的边长对应关系：
左上角正方形的边长为$y - x$；
右上角正方形的边长为$y - 2x$；
右下角正方形的边长从左侧看为$y - 3x$，从上方看为$y + x$。
由于右下角正方形的边长是唯一的，因此可得等式：$y - 3x = y + x$，化简得$4x = 0$，解得$x = 0$，这与$x＞0$矛盾，所以假设不成立，该想法不能实现。
【答案】
不能实现. 理由如下：假设能够实现，不妨设中间小正方形的边长为$x(x＞0)$，左下角的正方形的边长为$y(y＞0)$，则左上角的正方形的边长为$(y-x)$，右上角的正方形的边长为$(y-2x)$，于是有右下角的正方形的边长为$(y-3x)$或$(y+x)$，所以$y-3x=y+x$，于是$4x=0$，得$x=0$，与$x＞0$矛盾，所以该同学的想法不能实现.
【知识点】
图形拼接、一元一次方程
【点评】
本题通过假设法结合几何边长关系建立方程，利用矛盾推导结论，体现了代数与几何的结合，考查逻辑推理能力，是典型的几何可行性判断问题。
【难度系数】
0.4
1. 关于 $x$ 的方程 $ax+b=0$ 的解的情况如下：
当 $a ≠ 0$ 时,方程有唯一解 $x=-\dfrac{b}{a}$; 当 $a=0$,
$b ≠ 0$ 时,方程无解; 当 $a=0,b=0$ 时,方程有
无数解. 若关于 $x$ 的方程 $mx+\dfrac{2}{3}=\dfrac{n}{3}-x$ 有
无数解, 则 $m+n$ 的值为(
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.以上答案都不对
当 $a ≠ 0$ 时,方程有唯一解 $x=-\dfrac{b}{a}$; 当 $a=0$,
$b ≠ 0$ 时,方程无解; 当 $a=0,b=0$ 时,方程有
无数解. 若关于 $x$ 的方程 $mx+\dfrac{2}{3}=\dfrac{n}{3}-x$ 有
无数解, 则 $m+n$ 的值为(
B
).A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.以上答案都不对
答案
方程整理,得$(m+1)x+\dfrac{2}{3}-\dfrac{n}{3}=0$,
因为关于 $x$ 的方程有无数解,
所以 $m+1=0,\dfrac{2}{3}-\dfrac{n}{3}=0$,
解得 $m=-1,n=2$,
所以 $m+n=-1+2=1$.
故选 B.
因为关于 $x$ 的方程有无数解,
所以 $m+1=0,\dfrac{2}{3}-\dfrac{n}{3}=0$,
解得 $m=-1,n=2$,
所以 $m+n=-1+2=1$.
故选 B.
解析
【分析】首先将给定方程整理为$ax+b=0$的标准形式，再根据题目中“方程有无数解”的条件（当$a=0$且$b=0$时，方程有无数解），列出关于$m$、$n$的方程，求解后计算$m+n$的值，进而选出正确选项。
【解析】对原方程整理：
原方程为 $mx+\dfrac{2}{3}=\dfrac{n}{3}-x$，移项得 $mx + x + \dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3} = 0$，合并同类项得 $(m+1)x + (\dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3}) = 0$。
因为方程有无数解，根据题意，当方程$ax+b=0$有无数解时，需满足$a=0$且$b=0$，因此：
$\begin{cases} m+1=0 \\ \dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3}=0 \end{cases}$
解得 $m=-1$，$n=2$，则 $m+n=-1+2=1$。
【答案】B
【知识点】一元一次方程解的情况，合并同类项
【点评】本题考查一元一次方程解的分类应用，核心是将方程整理为标准形式后，利用“无数解”的条件（系数与常数项均为0）求解参数，属于基础题型，需注意移项和合并同类项的准确性。
【难度系数】0.5
【解析】对原方程整理：
原方程为 $mx+\dfrac{2}{3}=\dfrac{n}{3}-x$，移项得 $mx + x + \dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3} = 0$，合并同类项得 $(m+1)x + (\dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3}) = 0$。
因为方程有无数解，根据题意，当方程$ax+b=0$有无数解时，需满足$a=0$且$b=0$，因此：
$\begin{cases} m+1=0 \\ \dfrac{2}{3} - \dfrac{n}{3}=0 \end{cases}$
解得 $m=-1$，$n=2$，则 $m+n=-1+2=1$。
【答案】B
【知识点】一元一次方程解的情况，合并同类项
【点评】本题考查一元一次方程解的分类应用，核心是将方程整理为标准形式后，利用“无数解”的条件（系数与常数项均为0）求解参数，属于基础题型，需注意移项和合并同类项的准确性。
【难度系数】0.5
2. 某列从永川到重庆的火车,包括起始和终点在内共有5个停靠站,小王乘坐这趟列车从永川到重庆,一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况:①在起始站(第一站)以后每一站都有车厢内人数(包括小王)的一半人下车;②又有下车人数的一半人上这节车厢;③到第五站(终点站)包括小王在内还有27人.那么起始站上车的人数是
64
.答案
设起始站上车的人数是 $x$ 人. 根据题意得
$(\dfrac{3}{4})^3 x=27$,解得 $x=64$. 则起始站上车的人数是 64.
$(\dfrac{3}{4})^3 x=27$,解得 $x=64$. 则起始站上车的人数是 64.
解析
【分析】
首先明确人数变化规则：设起始站上车人数为$x$，从起始站（第一站）以后的每一站，车厢内人数的一半下车，下车人数的一半上车，因此每一站的人数是前一站人数的$\frac{3}{4}$（推导：原有人数 - 下车人数 + 上车人数 = $x - \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3}{4}x$）。从第一站到第五站共经过3次这样的人数变化，最终第五站人数为27人，据此建立方程求解起始站人数。
【解析】
设起始站上车的人数是$x$人。
根据题意，从第二站到第五站共经过3次人数变化，每次变化后人数为前一站的$\frac{3}{4}$，因此第五站人数可表示为：
$(\frac{3}{4})^3 x = 27$
计算$(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$，代入方程得：
$\frac{27}{64}x = 27$
两边同时除以27，解得：
$x = 64$
【答案】
64
【知识点】
一元一次方程的应用，规律探究
【点评】
本题结合火车停靠站的人数变化场景，考查一元一次方程的实际应用，核心是梳理出每一站人数的变化规律，进而建立方程求解，需要学生具备基础的逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确人数变化规则：设起始站上车人数为$x$，从起始站（第一站）以后的每一站，车厢内人数的一半下车，下车人数的一半上车，因此每一站的人数是前一站人数的$\frac{3}{4}$（推导：原有人数 - 下车人数 + 上车人数 = $x - \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3}{4}x$）。从第一站到第五站共经过3次这样的人数变化，最终第五站人数为27人，据此建立方程求解起始站人数。
【解析】
设起始站上车的人数是$x$人。
根据题意，从第二站到第五站共经过3次人数变化，每次变化后人数为前一站的$\frac{3}{4}$，因此第五站人数可表示为：
$(\frac{3}{4})^3 x = 27$
计算$(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$，代入方程得：
$\frac{27}{64}x = 27$
两边同时除以27，解得：
$x = 64$
【答案】
64
【知识点】
一元一次方程的应用，规律探究
【点评】
本题结合火车停靠站的人数变化场景，考查一元一次方程的实际应用，核心是梳理出每一站人数的变化规律，进而建立方程求解，需要学生具备基础的逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 老师带着两个学生到离学校 33 千米的博物馆参观. 老师骑一辆摩托车,速度为 25 千米/时,这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为 20 千米/时,如果学生步行,那么速度为5 千米/时. 请你设计一种方案,使得师生 3 人同时出发后用 3 个小时同时到达博物馆.
答案
设计方案:学生乙先步行,老师骑摩托车带学生甲行驶一定路程,再让学生甲步行,老师返回接学生乙,然后老师带上学生乙,与学生甲同时到达博物馆即可. 关键在确定摩托车中途接乙的返回点.
如图,设两个学生为甲、乙两人. 学生乙先步行,老师带学生甲骑摩托车行了 $x$ 千米,共用了 $\dfrac{x}{20}$ 小时. 他们比乙多行了 $\dfrac{x}{20}(20-5)=\dfrac{3}{4}x$(千米). 这时老师让甲步行前进,而自己返回接乙,中途遇到学生乙时,用了 $\dfrac{3}{4}x÷(25+5)=\dfrac{x}{40}$(小时). 当乙遇到老师时,已经步行了 $(\dfrac{x}{20}+\dfrac{x}{40})×5=\dfrac{3}{8}x$(千米),离博物馆还有 $(33-\dfrac{3}{8}x)$ 千米. 若甲、乙两人搭乘摩托车的路程相同,则 $x=33-\dfrac{3}{8}x$,解得 $x=24$. 这样,在路上学生甲共计用的时间为 $\dfrac{x}{20}+\dfrac{33-x}{5}=\dfrac{24}{20}+\dfrac{9}{5}=3$(小时),学生乙共计用的时间为 $\dfrac{x}{20}+\dfrac{x}{40}+\dfrac{x}{20}=\dfrac{24}{8}=3$(小时).
因此,上述方案可使师生 3 人同时出发后用 3 小时同时到达博物馆.
解析
【分析】
要使师生3人同时到达，需设计合理的接送方案：让一名学生先步行，老师骑摩托车带另一名学生行驶一段路程后，放下该学生让其步行前往博物馆，老师返回接先步行的学生，再接上该学生后骑摩托车前往博物馆，最终三人同时到达。解题核心是设老师带某名学生行驶的路程为未知数，利用总时间相等或行程中的路程关系建立方程求解。
【解析】
设老师带学生甲骑摩托车行驶了$ x $千米，共用时$ \frac{x}{20} $小时。
1. 计算老师与学生乙的距离差：这段时间内学生乙步行的距离为$ 5 × \frac{x}{20} = \frac{x}{4} $千米，因此老师与乙的距离差为$ x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} $千米。
2. 计算老师返回接乙的相遇时间：老师返回时与乙相向而行，速度和为$ 25 + 5 = 30 $千米/时，相遇时间为$ \frac{3x}{4} ÷ 30 = \frac{x}{40} $小时。
3. 计算学生乙步行的总路程：相遇时乙又步行了$ 5 × \frac{x}{40} = \frac{x}{8} $千米，因此乙一共步行了$ \frac{x}{4} + \frac{x}{8} = \frac{3x}{8} $千米，离博物馆还有$ 33 - \frac{3x}{8} $千米。
4. 利用总时间相等列方程：若甲、乙搭乘摩托车的路程相同，则学生甲总时间为$ \frac{x}{20} + \frac{33 - x}{5} $，学生乙总时间为$ \frac{\frac{3x}{8}}{5} + \frac{33 - \frac{3x}{8}}{20} $，结合总时间为3小时，得方程：
$ x = 33 - \frac{3x}{8} $
解得$ x = 24 $。
验证：学生甲总时间$ \frac{24}{20} + \frac{9}{5} = 3 $小时，学生乙总时间$ \frac{9}{5} + \frac{24}{20} = 3 $小时，符合要求。
【答案】
设计方案：学生乙先步行，老师骑摩托车带学生甲行驶24千米后，让学生甲步行，老师返回接学生乙，接上学生乙后骑摩托车前往博物馆，最终三人同时到达博物馆。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题
【点评】
本题为典型的接送类行程问题，需通过合理设计行程方案，利用时间、路程的等量关系建立方程求解，关键是理清各段行程的时间与路程关系，考查学生的逻辑分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.4
要使师生3人同时到达，需设计合理的接送方案：让一名学生先步行，老师骑摩托车带另一名学生行驶一段路程后，放下该学生让其步行前往博物馆，老师返回接先步行的学生，再接上该学生后骑摩托车前往博物馆，最终三人同时到达。解题核心是设老师带某名学生行驶的路程为未知数，利用总时间相等或行程中的路程关系建立方程求解。
【解析】
设老师带学生甲骑摩托车行驶了$ x $千米，共用时$ \frac{x}{20} $小时。
1. 计算老师与学生乙的距离差：这段时间内学生乙步行的距离为$ 5 × \frac{x}{20} = \frac{x}{4} $千米，因此老师与乙的距离差为$ x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} $千米。
2. 计算老师返回接乙的相遇时间：老师返回时与乙相向而行，速度和为$ 25 + 5 = 30 $千米/时，相遇时间为$ \frac{3x}{4} ÷ 30 = \frac{x}{40} $小时。
3. 计算学生乙步行的总路程：相遇时乙又步行了$ 5 × \frac{x}{40} = \frac{x}{8} $千米，因此乙一共步行了$ \frac{x}{4} + \frac{x}{8} = \frac{3x}{8} $千米，离博物馆还有$ 33 - \frac{3x}{8} $千米。
4. 利用总时间相等列方程：若甲、乙搭乘摩托车的路程相同，则学生甲总时间为$ \frac{x}{20} + \frac{33 - x}{5} $，学生乙总时间为$ \frac{\frac{3x}{8}}{5} + \frac{33 - \frac{3x}{8}}{20} $，结合总时间为3小时，得方程：
$ x = 33 - \frac{3x}{8} $
解得$ x = 24 $。
验证：学生甲总时间$ \frac{24}{20} + \frac{9}{5} = 3 $小时，学生乙总时间$ \frac{9}{5} + \frac{24}{20} = 3 $小时，符合要求。
【答案】
设计方案：学生乙先步行，老师骑摩托车带学生甲行驶24千米后，让学生甲步行，老师返回接学生乙，接上学生乙后骑摩托车前往博物馆，最终三人同时到达博物馆。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题
【点评】
本题为典型的接送类行程问题，需通过合理设计行程方案，利用时间、路程的等量关系建立方程求解，关键是理清各段行程的时间与路程关系，考查学生的逻辑分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.4
