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14. 传统文化 干支纪年法 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥. 将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯……
在上面的天干排列中，丙第$n$($n$是正整数)次出现，位于从左向右的第
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯……
在上面的天干排列中，丙第$n$($n$是正整数)次出现，位于从左向右的第
$(10n-7)$
列(用含$n$的式子表示).答案
14.$(10n-7)$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先从简单的情况入手找规律：首先确定丙第1次出现的列数，再结合天干的循环周期推导第n次出现的通用表达式。第一步先数出丙首次出现的位置：天干从甲开始排，甲是第1列，乙第2列，因此丙第1次出现在第3列；第二步明确循环规律：天干共10个，每10列就会重复一次，即每多出现1次丙，列数就增加10；最后根据前几次的规律推导第n次的列数表达式，再化简即可。
【解析】
解：首先观察天干的排列规律，10个天干为一个循环周期，即每过10列，天干会重复出现。
1. 丙第1次出现时，从左向右数：甲（1）、乙（2）、丙（3），对应列数为3；
2. 丙第2次出现时，经过了1个天干周期，列数为$ 3 + 10×1 = 13 $；
3. 丙第3次出现时，经过了2个天干周期，列数为$ 3 + 10×2 = 23 $；
……
以此类推，丙第n次出现时，经过了$ (n-1) $个天干周期，对应列数为：
$ 3 + 10(n-1) = 3 + 10n -10 = 10n -7 $
【答案】
$ 10n-7 $
【知识点】
周期循环问题，数字规律探究，整式化简
【点评】
本题结合传统干支纪年法设置情境，考查了规律探究类问题的解题方法，解题核心是先找到首个目标的位置，再结合循环周期推导通式，只要细心列举前几个特例就能顺利总结规律。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先从简单的情况入手找规律：首先确定丙第1次出现的列数，再结合天干的循环周期推导第n次出现的通用表达式。第一步先数出丙首次出现的位置：天干从甲开始排，甲是第1列，乙第2列，因此丙第1次出现在第3列；第二步明确循环规律：天干共10个，每10列就会重复一次，即每多出现1次丙，列数就增加10；最后根据前几次的规律推导第n次的列数表达式，再化简即可。
【解析】
解：首先观察天干的排列规律，10个天干为一个循环周期，即每过10列，天干会重复出现。
1. 丙第1次出现时，从左向右数：甲（1）、乙（2）、丙（3），对应列数为3；
2. 丙第2次出现时，经过了1个天干周期，列数为$ 3 + 10×1 = 13 $；
3. 丙第3次出现时，经过了2个天干周期，列数为$ 3 + 10×2 = 23 $；
……
以此类推，丙第n次出现时，经过了$ (n-1) $个天干周期，对应列数为：
$ 3 + 10(n-1) = 3 + 10n -10 = 10n -7 $
【答案】
$ 10n-7 $
【知识点】
周期循环问题，数字规律探究，整式化简
【点评】
本题结合传统干支纪年法设置情境，考查了规律探究类问题的解题方法，解题核心是先找到首个目标的位置，再结合循环周期推导通式，只要细心列举前几个特例就能顺利总结规律。
【难度系数】
0.7
15. 跨学科 温标转换 华氏温度$f(° F)$与摄氏温度$c(° C)$之间存在着如下的关系：$f=\frac{9}{5}c+32$.若某地某天早晨的摄氏温度为$5° C$，则此地这天早晨的华氏温度是
41
$° F$.答案
15.41
解析
【分析】
这是一道代数式代入求值的实际应用题，解题思路清晰：首先明确题目给出的华氏温度与摄氏温度的换算公式，以及已知的摄氏温度数值，我们只需要将已知的摄氏温度c的值代入公式，按照有理数的运算规则计算，就能得到对应的华氏温度f的值。
【解析】
已知华氏温度和摄氏温度的换算公式为$f=\frac{9}{5}c+32$，题目给出早晨的摄氏温度$c=5℃$，将$c=5$代入公式：
$\begin{aligned}f&=\frac{9}{5}×5 + 32\\&=9+32\\&=41\end{aligned}$
【答案】
41
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的温标转换场景设计题目，核心考查代数式的代入计算，解题时需注意运算顺序，先算乘法再算加法，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.9
这是一道代数式代入求值的实际应用题，解题思路清晰：首先明确题目给出的华氏温度与摄氏温度的换算公式，以及已知的摄氏温度数值，我们只需要将已知的摄氏温度c的值代入公式，按照有理数的运算规则计算，就能得到对应的华氏温度f的值。
【解析】
已知华氏温度和摄氏温度的换算公式为$f=\frac{9}{5}c+32$，题目给出早晨的摄氏温度$c=5℃$，将$c=5$代入公式：
$\begin{aligned}f&=\frac{9}{5}×5 + 32\\&=9+32\\&=41\end{aligned}$
【答案】
41
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的温标转换场景设计题目，核心考查代数式的代入计算，解题时需注意运算顺序，先算乘法再算加法，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.9
16. 如图，一串有灰有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分. 则这串珠子被盒子遮住的部分有
27
颗.答案
16.27
解析
【分析】首先观察珠子的排列规律：以白色珠子为分隔点，每相邻两个白色珠子之间的灰色珠子数量依次递增1，即第1段1颗灰珠、第2段2颗灰珠、第3段3颗灰珠……以此类推。先确定盒子左右两侧露出珠子对应的段数，再计算被遮挡部分各段的珠子数量，相加即可得到结果。
【解析】
1. 梳理排列规律：珠子以白珠为分隔，相邻两个白珠之间的灰珠数量依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9……
2. 确定对应段数：盒子左侧露出的白珠是第4段灰珠（4颗灰）后面的白珠，后续按规律依次为：第5段灰珠（5颗）、白珠、第6段灰珠（6颗）、白珠、第7段灰珠（7颗）、白珠、第8段灰珠（8颗）、白珠……
3. 统计遮挡部分：盒子右侧露出了第8段灰珠的2颗，因此第8段灰珠被遮挡的数量为$8-2=6$颗。
4. 求和计算：
被遮挡的珠子总数为$5+1+6+1+7+1+6=27$（颗）
【答案】27
【知识点】图形找规律，整数加减法
【点评】解题关键是先找到灰珠数量随白珠分隔递增的规律，再结合露出部分的珠子段数，排除未被遮挡的部分即可算出结果，注意不要漏算分隔用的白珠。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 梳理排列规律：珠子以白珠为分隔，相邻两个白珠之间的灰珠数量依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9……
2. 确定对应段数：盒子左侧露出的白珠是第4段灰珠（4颗灰）后面的白珠，后续按规律依次为：第5段灰珠（5颗）、白珠、第6段灰珠（6颗）、白珠、第7段灰珠（7颗）、白珠、第8段灰珠（8颗）、白珠……
3. 统计遮挡部分：盒子右侧露出了第8段灰珠的2颗，因此第8段灰珠被遮挡的数量为$8-2=6$颗。
4. 求和计算：
被遮挡的珠子总数为$5+1+6+1+7+1+6=27$（颗）
【答案】27
【知识点】图形找规律，整数加减法
【点评】解题关键是先找到灰珠数量随白珠分隔递增的规律，再结合露出部分的珠子段数，排除未被遮挡的部分即可算出结果，注意不要漏算分隔用的白珠。
【难度系数】0.6
17.小明读一本科普书，星期六读了20页，星期天读了剩下的一半后，还剩15页没有读。如果设这本书有x页，那么可以用方程
$x-20-\dfrac{1}{2}(x-20)=15$（答案不唯一）
来描述这个问题中数量之间的相等关系。(写出一个即可)答案
17.$x-20-\dfrac{1}{2}(x-20)=15$（答案不唯一）
解析
【分析】
要列方程首先需明确各个量的表达式及等量关系：首先已知设全书总页数为x，第一步先表示周六读完后剩余的页数：周六读了20页，剩余页数为(x-20)；第二步表示周日读的页数：周日读了剩余的一半，即周日读的页数为$\frac{1}{2}(x-20)$；最后找等量关系：总页数减去周六读的页数，再减去周日读的页数，等于最后剩余的15页，代入对应表达式即可列出方程。也可从剩余页数的角度推导：周日读完一半后剩15页，说明周六读完剩余的一半就是15页，也能列出其他形式的方程，答案不唯一。
【解析】
解：设这本书共有x页。
1. 周六读20页后，剩余页数为：$x-20$
2. 周日读了剩余页数的一半，即周日读的页数为：$\frac{1}{2}(x-20)$
3. 根据“总页数 - 周六读的页数 - 周日读的页数 = 剩余未读页数”的等量关系，代入得方程：
$x - 20 - \frac{1}{2}(x-20) = 15$
也可根据“周六读完剩余页数的一半等于15页”列方程$\frac{1}{2}(x-20)=15$，均符合要求，答案不唯一。
【答案】
$x-20-\dfrac{1}{2}(x-20)=15$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题是基础的方程列写题，解题关键是理清事件的先后顺序，将每个阶段的页数用含未知数的式子准确表示，找准剩余页数对应的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要列方程首先需明确各个量的表达式及等量关系：首先已知设全书总页数为x，第一步先表示周六读完后剩余的页数：周六读了20页，剩余页数为(x-20)；第二步表示周日读的页数：周日读了剩余的一半，即周日读的页数为$\frac{1}{2}(x-20)$；最后找等量关系：总页数减去周六读的页数，再减去周日读的页数，等于最后剩余的15页，代入对应表达式即可列出方程。也可从剩余页数的角度推导：周日读完一半后剩15页，说明周六读完剩余的一半就是15页，也能列出其他形式的方程，答案不唯一。
【解析】
解：设这本书共有x页。
1. 周六读20页后，剩余页数为：$x-20$
2. 周日读了剩余页数的一半，即周日读的页数为：$\frac{1}{2}(x-20)$
3. 根据“总页数 - 周六读的页数 - 周日读的页数 = 剩余未读页数”的等量关系，代入得方程：
$x - 20 - \frac{1}{2}(x-20) = 15$
也可根据“周六读完剩余页数的一半等于15页”列方程$\frac{1}{2}(x-20)=15$，均符合要求，答案不唯一。
【答案】
$x-20-\dfrac{1}{2}(x-20)=15$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题是基础的方程列写题，解题关键是理清事件的先后顺序，将每个阶段的页数用含未知数的式子准确表示，找准剩余页数对应的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
18. 中考新考法 类比猜想 如图(1)，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图(2)，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图(3)，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，
原三角形可被分成
如图(2)，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图(3)，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，
原三角形可被分成
$(2n+1)$
个三角形.答案
18.$(2n+1)$
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先梳理已知条件：内部有1个点时对应3个三角形，内部有2个点时对应5个三角形，内部有3个点时对应7个三角形。观察数量变化可发现：每增加1个内部点，三角形的数量就增加2个。我们既可以通过数量递增的思路推导：初始n=1时数量为3，每多1个点加2，因此n个点时总数为3+2(n-1)，化简得到结果；也可以直接观察每组对应数值的关系，归纳出通用表达式。
【解析】
解：根据题意整理已知规律：
当原三角形内部有1个不同点时，分成的三角形个数为$3 = 2×1 + 1$；
当原三角形内部有2个不同点时，分成的三角形个数为$5 = 2×2 + 1$；
当原三角形内部有3个不同点时，分成的三角形个数为$7 = 2×3 + 1$；
……
由此可归纳出规律：原三角形内部有n个不同点时，分成的三角形个数为$2n+1$。
【答案】
$(2n+1)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，以三角形分割为载体，考查从特殊实例归纳通用规律的能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道图形规律探究题，解题时先梳理已知条件：内部有1个点时对应3个三角形，内部有2个点时对应5个三角形，内部有3个点时对应7个三角形。观察数量变化可发现：每增加1个内部点，三角形的数量就增加2个。我们既可以通过数量递增的思路推导：初始n=1时数量为3，每多1个点加2，因此n个点时总数为3+2(n-1)，化简得到结果；也可以直接观察每组对应数值的关系，归纳出通用表达式。
【解析】
解：根据题意整理已知规律：
当原三角形内部有1个不同点时，分成的三角形个数为$3 = 2×1 + 1$；
当原三角形内部有2个不同点时，分成的三角形个数为$5 = 2×2 + 1$；
当原三角形内部有3个不同点时，分成的三角形个数为$7 = 2×3 + 1$；
……
由此可归纳出规律：原三角形内部有n个不同点时，分成的三角形个数为$2n+1$。
【答案】
$(2n+1)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，以三角形分割为载体，考查从特殊实例归纳通用规律的能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题(第19～26题每题5分，其余每题8分，共64分)
19. 计算:
(1)$(\sqrt{3}+1)^0 + |-2| - 3^{-1}$；
(2)$3a + 2b - 2(a - b)$.
19. 计算:
(1)$(\sqrt{3}+1)^0 + |-2| - 3^{-1}$；
(2)$3a + 2b - 2(a - b)$.
答案
19.(1)$\dfrac{8}{3}$ (2)$a+4b$
解析
【分析】
（1）本题为实数混合运算题，解题时先分别算出零指数幂、绝对值、负整数指数幂三个部分的结果，再按顺序做加减运算即可：依据“非零数的0次幂等于1”计算第一项，根据绝对值的性质化简第二项，按照“$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$）”计算第三项，最后合并得到结果。
（2）本题为整式加减运算题，先按照去括号法则去掉括号（括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
（1）分步计算各项后合并：
因为$\sqrt{3}+1≠0$，所以$(\sqrt{3}+1)^0=1$；
根据绝对值性质，$|-2|=2$；
根据负整数指数幂法则，$3^{-1}=\frac{1}{3}$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1+2-\frac{1}{3}\\&=3-\frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}\end{aligned}$
（2）去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3a+2b-2a+2b\\&=(3a-2a)+(2b+2b)\\&=a+4b\end{aligned}$
【答案】
（1）$\dfrac{8}{3}$；（2）$a+4b$
【知识点】
实数混合运算，整式的加减运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对基础运算法则的掌握程度，计算时注意去括号的符号变化、负指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
（1）本题为实数混合运算题，解题时先分别算出零指数幂、绝对值、负整数指数幂三个部分的结果，再按顺序做加减运算即可：依据“非零数的0次幂等于1”计算第一项，根据绝对值的性质化简第二项，按照“$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$）”计算第三项，最后合并得到结果。
（2）本题为整式加减运算题，先按照去括号法则去掉括号（括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
（1）分步计算各项后合并：
因为$\sqrt{3}+1≠0$，所以$(\sqrt{3}+1)^0=1$；
根据绝对值性质，$|-2|=2$；
根据负整数指数幂法则，$3^{-1}=\frac{1}{3}$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1+2-\frac{1}{3}\\&=3-\frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}\end{aligned}$
（2）去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3a+2b-2a+2b\\&=(3a-2a)+(2b+2b)\\&=a+4b\end{aligned}$
【答案】
（1）$\dfrac{8}{3}$；（2）$a+4b$
【知识点】
实数混合运算，整式的加减运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对基础运算法则的掌握程度，计算时注意去括号的符号变化、负指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
20. 先化简,再求值:$4(3m^2n - mn^2) -5(-mn^2 + 3m^2n)$,其中$m=\frac{1}{3},n=-\frac{1}{2}.$
答案
20.化简结果为$-3m^2n+mn^2$,代入$m=\dfrac{1}{3}$,$n=-\dfrac{1}{2}$,得原式$=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，第二步代值计算。化简时首先要去括号，注意括号前的系数和符号，括号外的系数要乘遍括号内每一项，括号前是负号时去括号后括号内每一项都要变号；去括号后再合并同类项，同类项合并时只把系数相加减，字母和字母的指数不变。先化简再代值能大幅减少计算量，降低出错概率，代值时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
解：第一步去括号：
原式$=12m^2n - 4mn^2 + 5mn^2 - 15m^2n$
第二步合并同类项：
$=(12m^2n - 15m^2n) + (-4mn^2 + 5mn^2)$
$=-3m^2n + mn^2$
第三步代值计算，将$m=\frac{1}{3},n=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(\frac{1}{3})^2×(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^2$
$=-3×\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}×\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{6} + \frac{1}{12}$
$=\frac{1}{4}$
【答案】
化简结果为$-3m^2n+mn^2$，原式的值为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，重点考察去括号、合并同类项的运算规则，计算时要注意符号变化，避免出现漏乘系数、错变符号这类常见错误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，第二步代值计算。化简时首先要去括号，注意括号前的系数和符号，括号外的系数要乘遍括号内每一项，括号前是负号时去括号后括号内每一项都要变号；去括号后再合并同类项，同类项合并时只把系数相加减，字母和字母的指数不变。先化简再代值能大幅减少计算量，降低出错概率，代值时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
解：第一步去括号：
原式$=12m^2n - 4mn^2 + 5mn^2 - 15m^2n$
第二步合并同类项：
$=(12m^2n - 15m^2n) + (-4mn^2 + 5mn^2)$
$=-3m^2n + mn^2$
第三步代值计算，将$m=\frac{1}{3},n=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(\frac{1}{3})^2×(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^2$
$=-3×\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}×\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{6} + \frac{1}{12}$
$=\frac{1}{4}$
【答案】
化简结果为$-3m^2n+mn^2$，原式的值为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，重点考察去括号、合并同类项的运算规则，计算时要注意符号变化，避免出现漏乘系数、错变符号这类常见错误。
【难度系数】
0.8
