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6. 如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,连接点 B 与图中的格点 D,则满足直线BD 与该圆弧相切的点 D有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第6题图
第7题图
第8题图
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第6题图
第7题图
第8题图
答案
6.C
解析
【分析】
我们的解题思路分两步走：第一步先确定过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，因为不在同一直线的三点确定一个圆，通过作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心；第二步利用圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径，可知过B点的切线必然和圆心与B的连线互相垂直，据此在网格中找出所有满足该垂直关系的格点D，统计数量即可得到结果。首先标注三点坐标A(1,2)、B(3,2)、C(4,1)，先求AB的垂直平分线，AB是水平线段，它的垂直平分线是x=2，再求BC的垂直平分线，联立两条垂直平分线就能得到圆心坐标，再根据垂直直线的斜率关系，筛选所有符合条件的格点即可。
【解析】
解：1. 求圆弧所在圆的圆心：
由网格坐标可得A(1,2)，B(3,2)，C(4,1)
弦AB为水平线段，中点为(2,2)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$；
弦BC的中点为$(\frac{3+4}{2},\frac{2+1}{2})=(3.5,1.5)$，BC的斜率$k_{BC}=\frac{1-2}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，方程为$y-1.5=x-3.5$，整理得$y=x-2$；
联立方程$\begin{cases}x=2\\y=x-2\end{cases}$，解得圆心坐标为$O'(2,0)$。
2. 结合切线性质筛选格点：
根据圆的切线性质，若BD是圆弧的切线，则$BD⊥ O'B$。
计算$O'B$的斜率：$k_{O'B}=\frac{2-0}{3-2}=2$，因此直线BD的斜率必须为$-\frac{1}{2}$（两垂直直线斜率乘积为-1）。
遍历网格所有格点，满足过点B(3,2)且斜率为$-\frac{1}{2}$的格点D共有3个，分别为(1,1)、(5,1)、(7,3)，全部符合要求。
因此满足条件的点D有3个。
【答案】C
【知识点】
三点定圆，切线性质，坐标与图形
【点评】
本题需要先确定圆弧的圆心，再结合切线的垂直性质筛选格点，易错点是容易漏数符合条件的格点，需要结合网格逐一验证所有满足垂直关系的格点，整体考察对圆的基本性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
我们的解题思路分两步走：第一步先确定过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，因为不在同一直线的三点确定一个圆，通过作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心；第二步利用圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径，可知过B点的切线必然和圆心与B的连线互相垂直，据此在网格中找出所有满足该垂直关系的格点D，统计数量即可得到结果。首先标注三点坐标A(1,2)、B(3,2)、C(4,1)，先求AB的垂直平分线，AB是水平线段，它的垂直平分线是x=2，再求BC的垂直平分线，联立两条垂直平分线就能得到圆心坐标，再根据垂直直线的斜率关系，筛选所有符合条件的格点即可。
【解析】
解：1. 求圆弧所在圆的圆心：
由网格坐标可得A(1,2)，B(3,2)，C(4,1)
弦AB为水平线段，中点为(2,2)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$；
弦BC的中点为$(\frac{3+4}{2},\frac{2+1}{2})=(3.5,1.5)$，BC的斜率$k_{BC}=\frac{1-2}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，方程为$y-1.5=x-3.5$，整理得$y=x-2$；
联立方程$\begin{cases}x=2\\y=x-2\end{cases}$，解得圆心坐标为$O'(2,0)$。
2. 结合切线性质筛选格点：
根据圆的切线性质，若BD是圆弧的切线，则$BD⊥ O'B$。
计算$O'B$的斜率：$k_{O'B}=\frac{2-0}{3-2}=2$，因此直线BD的斜率必须为$-\frac{1}{2}$（两垂直直线斜率乘积为-1）。
遍历网格所有格点，满足过点B(3,2)且斜率为$-\frac{1}{2}$的格点D共有3个，分别为(1,1)、(5,1)、(7,3)，全部符合要求。
因此满足条件的点D有3个。
【答案】C
【知识点】
三点定圆，切线性质，坐标与图形
【点评】
本题需要先确定圆弧的圆心，再结合切线的垂直性质筛选格点，易错点是容易漏数符合条件的格点，需要结合网格逐一验证所有满足垂直关系的格点，整体考察对圆的基本性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
7. (2025·连云港一模)如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,以点$A$为圆心,$3$为半径的圆与边$BC$相切于点$D$,与$AC$,$AB$分别交于点$E$和点$G$,$F$是优弧$GE$上一点,$∠ CDE=18^{ \circ }$,则$∠ GFE$的度数是 （
A.$50°$
B.$48°$
C.$45°$
D.$36°$
B
）A.$50°$
B.$48°$
C.$45°$
D.$36°$
答案
7.B
解析
【分析】
这道题的核心是利用圆的相关性质逐步推导：首先看到圆与BC相切，第一时间连接过切点的半径AD，根据切线性质得到AD⊥BC；已知AD=3、AB=6，在Rt△ABD中可直接推出∠BAD的度数；再结合已知∠CDE=18°，利用等腰三角形性质算出∠DAE的度数，相加得到弧GE对应的圆心角∠GAE的度数，最后根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求出∠GFE的大小。
【解析】
1. 连接辅助线AD：
因为⊙A与边BC相切于点D，根据切线的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
2. 在Rt△ABD中，AD=3，AB=6，满足AD=1/2 AB，因此∠B=30°，进而计算得∠BAD=90°-30°=60°。
3. 已知∠CDE=18°，因此∠ADE=∠ADC - ∠CDE=90°-18°=72°。
又因为AD和AE都是⊙A的半径，即AD=AE，△ADE为等腰三角形，所以∠AED=∠ADE=72°，由三角形内角和得∠DAE=180°-72°×2=36°。
4. 计算弧GE对应的圆心角：∠GAE=∠BAD + ∠DAE=60°+36°=96°。
5. 根据圆周角定理，∠GFE是弧GE对应的圆周角，因此∠GFE=1/2 ∠GAE=1/2×96°=48°。
【答案】B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的突破口是主动连接切点与圆心的辅助线AD，将切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理串联起来推导，侧重考查学生对圆核心性质的综合运用能力，步骤逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用圆的相关性质逐步推导：首先看到圆与BC相切，第一时间连接过切点的半径AD，根据切线性质得到AD⊥BC；已知AD=3、AB=6，在Rt△ABD中可直接推出∠BAD的度数；再结合已知∠CDE=18°，利用等腰三角形性质算出∠DAE的度数，相加得到弧GE对应的圆心角∠GAE的度数，最后根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求出∠GFE的大小。
【解析】
1. 连接辅助线AD：
因为⊙A与边BC相切于点D，根据切线的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
2. 在Rt△ABD中，AD=3，AB=6，满足AD=1/2 AB，因此∠B=30°，进而计算得∠BAD=90°-30°=60°。
3. 已知∠CDE=18°，因此∠ADE=∠ADC - ∠CDE=90°-18°=72°。
又因为AD和AE都是⊙A的半径，即AD=AE，△ADE为等腰三角形，所以∠AED=∠ADE=72°，由三角形内角和得∠DAE=180°-72°×2=36°。
4. 计算弧GE对应的圆心角：∠GAE=∠BAD + ∠DAE=60°+36°=96°。
5. 根据圆周角定理，∠GFE是弧GE对应的圆周角，因此∠GFE=1/2 ∠GAE=1/2×96°=48°。
【答案】B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的突破口是主动连接切点与圆心的辅助线AD，将切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理串联起来推导，侧重考查学生对圆核心性质的综合运用能力，步骤逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.6
8.(2025·东海县期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,点$O$在$AC$上,以点$O$为圆心,$OC$的长为半径的圆与$AB$相切于点$D$,与$BC$相交于点$E$,若$D$是$AB$的中点,则点$E$到$AB$的距离为
$\frac {15}{4}$
.答案
8.$\frac {15}{4}$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以按以下步骤推进：
1. 首先看到圆和AB相切于D，立刻联想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，因此OD⊥AB。
2. 已知D是AB中点，AB长度为10，可直接得到AD=5。我们设圆的半径为r，那么OD=OC=r，AO的长度就可以表示为AC-OC=10-r，在直角三角形AOD中用勾股定理列方程，就能解出半径r的值。
3. 接下来观察等腰三角形的角的关系：AB=AC可得∠B=∠ACB，同时OE=OC可得∠OEC=∠ACB，等量代换后得到∠B=∠OEC，同位角相等即可推出OE平行于AB。
4. 利用平行线的性质：平行线上任意两点到同一直线的距离相等，因此点E到AB的距离就等于点O到AB的距离，也就是OD的长度，直接得到最终结果。
【解析】
解：
1. 连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，根据切线的性质可得：$OD⊥ AB$。
2.
∵D是AB的中点，$AB=10$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 设⊙O的半径为r，则$OD=OC=r$，又
∵$AC=10$，
∴$AO=AC-OC=10-r$。
4. 在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + OD^2 = AO^2$
代入数值：
$5^2 + r^2 = (10-r)^2$
展开化简：$25 + r^2 = 100 - 20r + r^2$，消去$r^2$后解得$r=\frac{15}{4}$，即$OD=\frac{15}{4}$。
5.
∵$AB=AC$，
∴$∠ B = ∠ ACB$；又
∵$OE=OC$，
∴$∠ OEC = ∠ ACB$，等量代换得$∠ B = ∠ OEC$，因此$OE// AB$（同位角相等，两直线平行）。
6. 由$OE// AB$可知，点E到AB的距离等于点O到AB的距离，而$OD⊥ AB$，OD就是点O到AB的距离，因此点E到AB的距离为$\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，平行线判定与性质
【点评】
本题的核心技巧是转化思想的运用，不需要额外作垂线计算点E到AB的距离，而是通过等腰三角形角的关系推导出OE与AB平行，把所求距离转化为已经求出的OD的长度，大幅简化了计算流程，同时也考察了切线性质和勾股定理的基础应用。
【难度系数】
0.5
这道题的解题思路可以按以下步骤推进：
1. 首先看到圆和AB相切于D，立刻联想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，因此OD⊥AB。
2. 已知D是AB中点，AB长度为10，可直接得到AD=5。我们设圆的半径为r，那么OD=OC=r，AO的长度就可以表示为AC-OC=10-r，在直角三角形AOD中用勾股定理列方程，就能解出半径r的值。
3. 接下来观察等腰三角形的角的关系：AB=AC可得∠B=∠ACB，同时OE=OC可得∠OEC=∠ACB，等量代换后得到∠B=∠OEC，同位角相等即可推出OE平行于AB。
4. 利用平行线的性质：平行线上任意两点到同一直线的距离相等，因此点E到AB的距离就等于点O到AB的距离，也就是OD的长度，直接得到最终结果。
【解析】
解：
1. 连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，根据切线的性质可得：$OD⊥ AB$。
2.
∵D是AB的中点，$AB=10$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 设⊙O的半径为r，则$OD=OC=r$，又
∵$AC=10$，
∴$AO=AC-OC=10-r$。
4. 在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + OD^2 = AO^2$
代入数值：
$5^2 + r^2 = (10-r)^2$
展开化简：$25 + r^2 = 100 - 20r + r^2$，消去$r^2$后解得$r=\frac{15}{4}$，即$OD=\frac{15}{4}$。
5.
∵$AB=AC$，
∴$∠ B = ∠ ACB$；又
∵$OE=OC$，
∴$∠ OEC = ∠ ACB$，等量代换得$∠ B = ∠ OEC$，因此$OE// AB$（同位角相等，两直线平行）。
6. 由$OE// AB$可知，点E到AB的距离等于点O到AB的距离，而$OD⊥ AB$，OD就是点O到AB的距离，因此点E到AB的距离为$\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，平行线判定与性质
【点评】
本题的核心技巧是转化思想的运用，不需要额外作垂线计算点E到AB的距离，而是通过等腰三角形角的关系推导出OE与AB平行，把所求距离转化为已经求出的OD的长度，大幅简化了计算流程，同时也考察了切线性质和勾股定理的基础应用。
【难度系数】
0.5
9. (2025·海州区月考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$是$AB$延长线上的一点,$AD⊥ CD$,$CD$与$\odot O$相交于点$F$,且$F$是$\overset{\frown}{BE}$的中点.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=5$,$CF=5\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=5$,$CF=5\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径.
答案
9. (1) 证明:如答图,连接 OF.
$\because OF=OA,\therefore ∠ OAF=∠ OFA$(等边对等角).
$\because F$为$\overset{\frown}{BE}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF},$
$\therefore ∠ BAF=∠ DAF$(等弧所对的圆周角相等),
$\therefore ∠ DAF=∠ OFA,\therefore OF// AD.$
$\because AD⊥ CD,\therefore OF⊥ CD$,即 CD 为$\odot O$的切线.
(2) 解:由(1)得$△ COF$为直角三角形,设半径$OF=x,$
$\because OC^{2}=OF^{2}+CF^{2},BC=5,CF=5\sqrt {2},$
$\therefore (5+x)^{2}=x^{2}+(5\sqrt {2})^{2}$,解得$x=2.5,$
$\therefore \odot O$的半径为 2.5.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知点F在圆上，优先连接半径OF，只需要证明OF⊥CD即可。首先利用F是弧BE的中点，得到等弧对应的圆周角相等，推出∠BAF=∠DAF，再结合OA=OF的等边对等角性质，得到内错角相等，证明OF平行于AD，结合已知AD⊥CD，就可以推导出OF⊥CD，完成切线的证明。第二问在第一问已经得到△COF是直角三角形的基础上，设圆的半径为未知数，用勾股定理建立方程，代入已知的BC和CF的长度，解方程就能求出半径。
【解析】
(1) 证明：连接OF，
∵ OF=OA，
∴ ∠OAF=∠OFA（等边对等角），
∵ F是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF}$，
∴ ∠BAF=∠DAF（等弧所对的圆周角相等），
∴ ∠DAF=∠OFA，
∴ OF//AD，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OF⊥CD，
又
∵ OF是⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：由(1)可知OF⊥CD，即△COF是直角三角形，
设⊙O的半径为x，则OF=x，OC=OB+BC=x+5，
在Rt△COF中，由勾股定理得：$OC^2=OF^2+CF^2$，
将BC=5，CF=$5\sqrt{2}$代入得：
$(x+5)^2 = x^2 + (5\sqrt{2})^2$
展开整理得：$10x=25$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) 证明：连接OF.
∵ OF=OA,
∴ ∠ OAF=∠ OFA(等边对等角).
∵ F为$\overset{\frown}{BE}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF}$,
∴ ∠ BAF=∠ DAF(等弧所对的圆周角相等),
∴ ∠ DAF=∠ OFA,
∴ OF// AD.
∵ AD⊥ CD,
∴ OF⊥ CD,即 CD 为$\odot O$的切线.
(2) 解：由(1)得$△ COF$为直角三角形,设半径$OF=x$,
∵ $OC^{2}=OF^{2}+CF^{2}$,BC=5,CF=$5\sqrt{2}$,
∴ $(5+x)^{2}=x^{2}+(5\sqrt{2})^{2}$,解得$x=2.5$,
∴ $\odot O$的半径为 2.5.
【知识点】
切线的判定，等弧的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考查切线判定的常规辅助线作法“连半径证垂直”，结合平行线的判定与性质完成推导，第二问直接利用直角三角形勾股定理列方程求解，难度不大，侧重考查学生对圆基础性质的掌握程度，是中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知点F在圆上，优先连接半径OF，只需要证明OF⊥CD即可。首先利用F是弧BE的中点，得到等弧对应的圆周角相等，推出∠BAF=∠DAF，再结合OA=OF的等边对等角性质，得到内错角相等，证明OF平行于AD，结合已知AD⊥CD，就可以推导出OF⊥CD，完成切线的证明。第二问在第一问已经得到△COF是直角三角形的基础上，设圆的半径为未知数，用勾股定理建立方程，代入已知的BC和CF的长度，解方程就能求出半径。
【解析】
(1) 证明：连接OF，
∵ OF=OA，
∴ ∠OAF=∠OFA（等边对等角），
∵ F是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF}$，
∴ ∠BAF=∠DAF（等弧所对的圆周角相等），
∴ ∠DAF=∠OFA，
∴ OF//AD，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OF⊥CD，
又
∵ OF是⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：由(1)可知OF⊥CD，即△COF是直角三角形，
设⊙O的半径为x，则OF=x，OC=OB+BC=x+5，
在Rt△COF中，由勾股定理得：$OC^2=OF^2+CF^2$，
将BC=5，CF=$5\sqrt{2}$代入得：
$(x+5)^2 = x^2 + (5\sqrt{2})^2$
展开整理得：$10x=25$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) 证明：连接OF.
∵ OF=OA,
∴ ∠ OAF=∠ OFA(等边对等角).
∵ F为$\overset{\frown}{BE}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF}$,
∴ ∠ BAF=∠ DAF(等弧所对的圆周角相等),
∴ ∠ DAF=∠ OFA,
∴ OF// AD.
∵ AD⊥ CD,
∴ OF⊥ CD,即 CD 为$\odot O$的切线.
(2) 解：由(1)得$△ COF$为直角三角形,设半径$OF=x$,
∵ $OC^{2}=OF^{2}+CF^{2}$,BC=5,CF=$5\sqrt{2}$,
∴ $(5+x)^{2}=x^{2}+(5\sqrt{2})^{2}$,解得$x=2.5$,
∴ $\odot O$的半径为 2.5.
【知识点】
切线的判定，等弧的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考查切线判定的常规辅助线作法“连半径证垂直”，结合平行线的判定与性质完成推导，第二问直接利用直角三角形勾股定理列方程求解，难度不大，侧重考查学生对圆基础性质的掌握程度，是中考常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
10.(2025·淮安模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,AF是$\odot O$的弦,AE平分$∠ BAF$,交$\odot O$于点E,过点E作直线$ED⊥ AF$,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$AB=10$,$AF=6$,求AE的长.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$AB=10$,$AF=6$,求AE的长.
答案
10. (1) 证明:$\because AE$平分$∠ DAC,\therefore ∠ CAE=∠ DAE.$
$\because OA=OE,\therefore ∠ OEA=∠ OAE,$
$\therefore ∠ DAE=∠ AEO,\therefore AD// OE.$
$\because AD⊥ CD,\therefore OE⊥ CD,\therefore CD$是$\odot O$的切线.
(2) 解:如答图,连接 BF 交 OE 于点 K.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AFB=90^{\circ }.$
$\because AB=10,AF=6,$
$\therefore BF=\sqrt {AB^{2}-AF^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8.$
$\because OE// AD,\therefore ∠ OKB=∠ AFB=90^{\circ },$
$\therefore OE⊥ BF,\therefore FK=BK=4.$
$\because OA=OB,KF=KB,\therefore OK=\frac {1}{2}AF=\frac {1}{2}×6=3.$
$\because AB=10,\therefore OA=OB=OE=5.$
$\therefore EK=OE-OK=5-3=2.$
$\because ∠ D=∠ DFK=∠ FKE=90^{\circ },$
$\therefore$四边形 DFKE 是矩形,
$\therefore DE=KF=4,DF=EK=2,$
$\therefore AD=AF+DF=6+2=8.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE=\sqrt {AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt {8^{2}+4^{2}}=4\sqrt {5}.$
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问为切线证明，思路为：已知点E在⊙O上，要证CD是切线，采用“连半径、证垂直”的切线判定常规思路。首先利用角平分线定义得到∠CAE=∠DAE，再结合OA=OE的等腰三角形等边对等角性质，推导得内错角相等，证明OE//AD，结合已知AD⊥CD，即可推出OE⊥CD，满足切线判定条件。
第二问求AE的长度，思路为：构造辅助线连接BF，利用AB是直径的性质得到∠AFB=90°，先通过勾股定理计算BF的长度；结合第一问得到的OE//AD，推出OE⊥BF，由垂径定理得到BF被OE垂直平分，得到FK、BK的长度；再利用三角形中位线性质算出OK的长度，进而得到EK的长度；随后证明四边形DFKE是矩形，得到DE、DF的长度，计算出AD的总长度，最后在Rt△ADE中通过勾股定理求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAF，
∴ ∠CAE=∠DAE，
∵ OA=OE，
∴ ∠OEA=∠OAE，
∴ ∠DAE=∠AEO，
∴ AD//OE，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OE⊥CD，
又
∵ E在⊙O上，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：连接BF，交OE于点K，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
已知AB=10，AF=6，在Rt△AFB中，
BF=√(AB²-AF²)=√(10²-6²)=8，
由(1)知OE//AD，
∴ ∠OKB=∠AFB=90°，即OE⊥BF，
由垂径定理得FK=BK=1/2 BF=4，
∵ OA=OB，KF=KB，
∴ OK是△ABF的中位线，
∴ OK=1/2 AF=1/2 ×6=3，
∵ AB=10，
∴ OA=OB=OE=5，
∴ EK=OE-OK=5-3=2，
∵ ∠D=∠DFK=∠FKE=90°，
∴ 四边形DFKE四个角均为直角，是矩形，
∴ DE=KF=4，DF=EK=2，
∴ AD=AF+DF=6+2=8，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=√(AD²+DE²)=√(8²+4²)=4√5。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) AE的长为$4\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考察切线判定的核心方法，属于常规基础考点；第二问综合了直径所对圆周角为直角、垂径定理、三角形中位线、矩形判定等多个知识点，引导学生掌握圆类问题的常用辅助线构造技巧，整体计算难度不高，侧重几何逻辑推导能力的考察。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问为切线证明，思路为：已知点E在⊙O上，要证CD是切线，采用“连半径、证垂直”的切线判定常规思路。首先利用角平分线定义得到∠CAE=∠DAE，再结合OA=OE的等腰三角形等边对等角性质，推导得内错角相等，证明OE//AD，结合已知AD⊥CD，即可推出OE⊥CD，满足切线判定条件。
第二问求AE的长度，思路为：构造辅助线连接BF，利用AB是直径的性质得到∠AFB=90°，先通过勾股定理计算BF的长度；结合第一问得到的OE//AD，推出OE⊥BF，由垂径定理得到BF被OE垂直平分，得到FK、BK的长度；再利用三角形中位线性质算出OK的长度，进而得到EK的长度；随后证明四边形DFKE是矩形，得到DE、DF的长度，计算出AD的总长度，最后在Rt△ADE中通过勾股定理求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAF，
∴ ∠CAE=∠DAE，
∵ OA=OE，
∴ ∠OEA=∠OAE，
∴ ∠DAE=∠AEO，
∴ AD//OE，
又
∵ AD⊥CD，
∴ OE⊥CD，
又
∵ E在⊙O上，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：连接BF，交OE于点K，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°，
已知AB=10，AF=6，在Rt△AFB中，
BF=√(AB²-AF²)=√(10²-6²)=8，
由(1)知OE//AD，
∴ ∠OKB=∠AFB=90°，即OE⊥BF，
由垂径定理得FK=BK=1/2 BF=4，
∵ OA=OB，KF=KB，
∴ OK是△ABF的中位线，
∴ OK=1/2 AF=1/2 ×6=3，
∵ AB=10，
∴ OA=OB=OE=5，
∴ EK=OE-OK=5-3=2，
∵ ∠D=∠DFK=∠FKE=90°，
∴ 四边形DFKE四个角均为直角，是矩形，
∴ DE=KF=4，DF=EK=2，
∴ AD=AF+DF=6+2=8，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=√(AD²+DE²)=√(8²+4²)=4√5。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) AE的长为$4\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问考察切线判定的核心方法，属于常规基础考点；第二问综合了直径所对圆周角为直角、垂径定理、三角形中位线、矩形判定等多个知识点，引导学生掌握圆类问题的常用辅助线构造技巧，整体计算难度不高，侧重几何逻辑推导能力的考察。
【难度系数】
0.6
［基础图形］
［已知条件］$AC$ 平分$∠ DAE$
［基本结论］$CD$ 是$\odot O$ 的切线
［已知条件］$AC$ 平分$∠ DAE$
［基本结论］$CD$ 是$\odot O$ 的切线
答案
证明：连接OC
∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA
∵ AC平分∠DAE
∴ ∠DAC=∠EAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC//AD
∵ CD⊥AD，即∠D=90°
∴ ∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
又∵ OC是⊙O的半径
∴ CD是⊙O的切线
∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA
∵ AC平分∠DAE
∴ ∠DAC=∠EAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC//AD
∵ CD⊥AD，即∠D=90°
∴ ∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
又∵ OC是⊙O的半径
∴ CD是⊙O的切线
解析
【分析】
要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需要证明CD垂直于过圆上点C的半径，因此首先想到连接辅助线OC。第一步利用同圆半径相等得到OA=OC，推出等腰三角形的两个底角∠OAC和∠OCA相等；再结合AC平分∠DAE的已知条件，得到∠DAC=∠EAC，通过等量代换得到内错角∠DAC=∠OCA，由此可推出OC和AD平行；已知CD⊥AD，根据平行线的性质就能得到OC⊥CD，最终结合OC是⊙O的半径，即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 作辅助线，连接OC
2. 因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，由等腰三角形性质可得∠OAC=∠OCA
3. 已知AC平分∠DAE，根据角平分线定义可得∠DAC=∠EAC
4. 进行等量代换得到∠DAC=∠OCA，由内错角相等两直线平行，推出OC//AD
5. 已知CD⊥AD，即∠D=90°，由两直线平行内错角相等可得∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
6. 又因为OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，根据切线判定定理即可得CD是⊙O的切线
【答案】
证明：连接OC
∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA
∵ AC平分∠DAE
∴ ∠DAC=∠EAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC//AD
∵ CD⊥AD，即∠D=90°
∴ ∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
又
∵ OC是⊙O的半径
∴ CD是⊙O的切线
【知识点】
切线的判定，平行线判定，角平分线定义
【点评】
本题是切线判定的经典基础题型，核心思路是“连半径，证垂直”，通过角的等量代换推导平行线，间接得到半径与待证直线的垂直关系，是圆几何证明模块必须熟练掌握的基础模型，为后续复杂切线证明题搭建了基础思路框架。
【难度系数】
0.8
要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需要证明CD垂直于过圆上点C的半径，因此首先想到连接辅助线OC。第一步利用同圆半径相等得到OA=OC，推出等腰三角形的两个底角∠OAC和∠OCA相等；再结合AC平分∠DAE的已知条件，得到∠DAC=∠EAC，通过等量代换得到内错角∠DAC=∠OCA，由此可推出OC和AD平行；已知CD⊥AD，根据平行线的性质就能得到OC⊥CD，最终结合OC是⊙O的半径，即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 作辅助线，连接OC
2. 因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，由等腰三角形性质可得∠OAC=∠OCA
3. 已知AC平分∠DAE，根据角平分线定义可得∠DAC=∠EAC
4. 进行等量代换得到∠DAC=∠OCA，由内错角相等两直线平行，推出OC//AD
5. 已知CD⊥AD，即∠D=90°，由两直线平行内错角相等可得∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
6. 又因为OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，根据切线判定定理即可得CD是⊙O的切线
【答案】
证明：连接OC
∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA
∵ AC平分∠DAE
∴ ∠DAC=∠EAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC//AD
∵ CD⊥AD，即∠D=90°
∴ ∠OCD=∠D=90°，即OC⊥CD
又
∵ OC是⊙O的半径
∴ CD是⊙O的切线
【知识点】
切线的判定，平行线判定，角平分线定义
【点评】
本题是切线判定的经典基础题型，核心思路是“连半径，证垂直”，通过角的等量代换推导平行线，间接得到半径与待证直线的垂直关系，是圆几何证明模块必须熟练掌握的基础模型，为后续复杂切线证明题搭建了基础思路框架。
【难度系数】
0.8
