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24. 在分式中,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,假分式可以化成“带分式”,即整式与真分式的和的形式,如:$\frac{2x+3}{x+1}=\frac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$.
(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确(填写“是”或者“否”):
①$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$(
(2)若分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,求满足条件的所有正整数$a$的值.
(3)若分式$\frac{3x+6}{3-2x}$和$\frac{1}{x}$的值同时为整数,求满足条件的所有实数$x$的值.
(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确(填写“是”或者“否”):
①$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$(
是
);$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=a+2+\frac{2}{a+1}$(否
).(2)若分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,求满足条件的所有正整数$a$的值.
(3)若分式$\frac{3x+6}{3-2x}$和$\frac{1}{x}$的值同时为整数,求满足条件的所有实数$x$的值.
答案
24.解:(1)①由题意可得:$\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$,①正确,
故答案为:是;(2分)
②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{(a+1)^2+(a+1)+1}{a+1}=a+1+1+\frac{1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$,②错误,
故答案为:否.(4分)
(2)$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4(a-1)+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$,(6分)
$\because$该分式的值为整数,
$\therefore a-1$的值可为$\pm7,\pm1$.
又$\because a$为正整数,
$\therefore a$的值为2或8.(8分)
(3)设$\frac{1}{x}=m$($m$为整数),则$\frac{3x+6}{3-2x}=\frac{\frac{3}{m}+6}{3-\frac{2}{m}}=\frac{3+6m}{3m-2}=\frac{2(3m-2)+7}{3m-2}=2+\frac{7}{3m-2}$.(10分)
$\because m$为整数,$2+\frac{7}{3m-2}$为整数,
$\therefore 3m-2$为$\pm1,\pm7$,
$\therefore$当$3m-2=1$时,$m=1$,$x=1$;
当$3m-2=7$时,$m=3$,$x=\frac{1}{3}$;
当$3m-2=-1$时,$m=\frac{1}{3}$(舍去);
当$3m-2=-7$时,$m=-\frac{5}{3}$(舍去);
$\therefore$综上$x=\frac{1}{3}$或$x=1$.(12分)
(注:直接写答案给两分,错误答案不扣分)
故答案为:是;(2分)
②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{(a+1)^2+(a+1)+1}{a+1}=a+1+1+\frac{1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$,②错误,
故答案为:否.(4分)
(2)$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4(a-1)+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$,(6分)
$\because$该分式的值为整数,
$\therefore a-1$的值可为$\pm7,\pm1$.
又$\because a$为正整数,
$\therefore a$的值为2或8.(8分)
(3)设$\frac{1}{x}=m$($m$为整数),则$\frac{3x+6}{3-2x}=\frac{\frac{3}{m}+6}{3-\frac{2}{m}}=\frac{3+6m}{3m-2}=\frac{2(3m-2)+7}{3m-2}=2+\frac{7}{3m-2}$.(10分)
$\because m$为整数,$2+\frac{7}{3m-2}$为整数,
$\therefore 3m-2$为$\pm1,\pm7$,
$\therefore$当$3m-2=1$时,$m=1$,$x=1$;
当$3m-2=7$时,$m=3$,$x=\frac{1}{3}$;
当$3m-2=-1$时,$m=\frac{1}{3}$(舍去);
当$3m-2=-7$时,$m=-\frac{5}{3}$(舍去);
$\therefore$综上$x=\frac{1}{3}$或$x=1$.(12分)
(注:直接写答案给两分,错误答案不扣分)
解析
【分析】
本题围绕假分式化带分式的规则展开，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：判断假分式化带分式是否正确，需将分子拆分为“分母的整式倍+常数”，再拆分分式对比结果；
2. 第(2)问：先将假分式化为带分式，要分式值为整数，需真分式部分的分母是分子的约数，结合a为正整数的条件求解；
3. 第(3)问：利用$\frac{1}{x}$为整数设其为m，将另一分式用m表示并化为带分式，根据分式值为整数的条件分析约数，求解后还原x，注意验证m为整数的限制。
【解析】
24.解:
(1)①对$\frac{x}{x-1}$变形：$\frac{x}{x-1}=\frac{(x-1)+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$，与题目结果一致，故正确；
②对$\frac{a^2+3a+3}{a+1}$变形：$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{(a+1)^2+(a+1)+1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$，与题目结果不符，故错误；
故答案依次为：是；否。
(2)对$\frac{4a+3}{a-1}$变形：$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4(a-1)+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$，
∵该分式的值为整数，
∴$\frac{7}{a-1}$为整数，即$a-1$是7的约数，
7的约数为$\pm1,\pm7$，又
∵a为正整数，
∴$a-1=1$时$a=2$，$a-1=7$时$a=8$，其余约数对应a非正整数，舍去；
故满足条件的正整数a为2和8。
(3)设$\frac{1}{x}=m$（m为整数），则$x=\frac{1}{m}$，代入$\frac{3x+6}{3-2x}$得：
$\frac{3·\frac{1}{m}+6}{3-2·\frac{1}{m}}=\frac{3+6m}{3m-2}=\frac{2(3m-2)+7}{3m-2}=2+\frac{7}{3m-2}$，
∵该分式的值为整数，
∴$3m-2$是7的约数，
7的约数为$\pm1,\pm7$，
当$3m-2=1$时$m=1$（整数），$x=1$；当$3m-2=7$时$m=3$（整数），$x=\frac{1}{3}$；其余约数对应m非整数，舍去；
故满足条件的实数x为$\frac{1}{3}$和1。
【答案】
(1)①是；②否；(2)a=2或8；(3)x=$\frac{1}{3}$或1
【知识点】
分式的拆分、分式的值为整数的条件
【点评】
本题考查假分式化带分式的方法，核心是利用分式拆分技巧和约数分析解决分式值为整数的问题，第三问需换元处理，对代数变形能力有一定要求，属于中档题。
【难度系数】
0.4
本题围绕假分式化带分式的规则展开，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：判断假分式化带分式是否正确，需将分子拆分为“分母的整式倍+常数”，再拆分分式对比结果；
2. 第(2)问：先将假分式化为带分式，要分式值为整数，需真分式部分的分母是分子的约数，结合a为正整数的条件求解；
3. 第(3)问：利用$\frac{1}{x}$为整数设其为m，将另一分式用m表示并化为带分式，根据分式值为整数的条件分析约数，求解后还原x，注意验证m为整数的限制。
【解析】
24.解:
(1)①对$\frac{x}{x-1}$变形：$\frac{x}{x-1}=\frac{(x-1)+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$，与题目结果一致，故正确；
②对$\frac{a^2+3a+3}{a+1}$变形：$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{(a+1)^2+(a+1)+1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$，与题目结果不符，故错误；
故答案依次为：是；否。
(2)对$\frac{4a+3}{a-1}$变形：$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4(a-1)+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$，
∵该分式的值为整数，
∴$\frac{7}{a-1}$为整数，即$a-1$是7的约数，
7的约数为$\pm1,\pm7$，又
∵a为正整数，
∴$a-1=1$时$a=2$，$a-1=7$时$a=8$，其余约数对应a非正整数，舍去；
故满足条件的正整数a为2和8。
(3)设$\frac{1}{x}=m$（m为整数），则$x=\frac{1}{m}$，代入$\frac{3x+6}{3-2x}$得：
$\frac{3·\frac{1}{m}+6}{3-2·\frac{1}{m}}=\frac{3+6m}{3m-2}=\frac{2(3m-2)+7}{3m-2}=2+\frac{7}{3m-2}$，
∵该分式的值为整数，
∴$3m-2$是7的约数，
7的约数为$\pm1,\pm7$，
当$3m-2=1$时$m=1$（整数），$x=1$；当$3m-2=7$时$m=3$（整数），$x=\frac{1}{3}$；其余约数对应m非整数，舍去；
故满足条件的实数x为$\frac{1}{3}$和1。
【答案】
(1)①是；②否；(2)a=2或8；(3)x=$\frac{1}{3}$或1
【知识点】
分式的拆分、分式的值为整数的条件
【点评】
本题考查假分式化带分式的方法，核心是利用分式拆分技巧和约数分析解决分式值为整数的问题，第三问需换元处理，对代数变形能力有一定要求，属于中档题。
【难度系数】
0.4
