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8.如图,一个含有$30°$角的三角板如图放置,已知直线$a// b,∠1=65°$,则$∠2$的度数是（
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
B
）A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先利用已知条件直线$a// b$，联想到平行线的性质（同位角相等、内错角相等），再结合含30°角的直角三角板的角度特征（存在直角90°），找到已知角$∠1$和未知角$∠2$的关联关系，即可推导求解。
【解析】
解：过直角三角板的直角顶点作直线$c// a$。
因为$a// b$，根据平行公理的推论，可得$c// a// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠3=65°$，$∠2=∠4$。
又因为三角板的角为直角，所以$∠3+∠4=90°$，代入$∠3=65°$，可得$∠4=90°-65°=25°$，即$∠2=25°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角板特征，角度计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的实际应用，解题的关键是结合图形构造辅助线或直接识别角的位置关系，将已知角和未知角建立关联，整体属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用已知条件直线$a// b$，联想到平行线的性质（同位角相等、内错角相等），再结合含30°角的直角三角板的角度特征（存在直角90°），找到已知角$∠1$和未知角$∠2$的关联关系，即可推导求解。
【解析】
解：过直角三角板的直角顶点作直线$c// a$。
因为$a// b$，根据平行公理的推论，可得$c// a// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠3=65°$，$∠2=∠4$。
又因为三角板的角为直角，所以$∠3+∠4=90°$，代入$∠3=65°$，可得$∠4=90°-65°=25°$，即$∠2=25°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角板特征，角度计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的实际应用，解题的关键是结合图形构造辅助线或直接识别角的位置关系，将已知角和未知角建立关联，整体属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知$AB// DE,∠ 1=30°,∠ 2=35°$,则$∠ BCE$的度数为 （
A.$70°$
B.$65°$
C.$35°$
D.$45°$
B
）A.$70°$
B.$65°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
9.B
解析
【分析】
这是平行线间的拐点类问题，解题的核心思路是过拐点作平行线构造内错角。首先观察图形，AB平行于DE，点C是两条平行线之间的拐点，我们可以过点C作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也会和DE平行，再利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将∠BCE拆分为两个分别与∠1、∠2相等的角，求和即可得到∠BCE的度数。
【解析】
过点C作$CF// AB$。
$\because AB// DE$（已知），
$\therefore CF// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\therefore ∠ 1=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），$∠ 2=∠ ECF$（两直线平行，内错角相等）。
已知$∠ 1=30°$，$∠ 2=35°$，
$\therefore ∠ BCF=30°$，$∠ ECF=35°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BCF+∠ ECF=30°+35°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型基础题型，重点考察平行线间拐点问题的辅助线构造方法，熟练掌握过拐点作平行线的技巧，即可快速结合平行线性质求解这类问题。
【难度系数】
0.7
这是平行线间的拐点类问题，解题的核心思路是过拐点作平行线构造内错角。首先观察图形，AB平行于DE，点C是两条平行线之间的拐点，我们可以过点C作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也会和DE平行，再利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将∠BCE拆分为两个分别与∠1、∠2相等的角，求和即可得到∠BCE的度数。
【解析】
过点C作$CF// AB$。
$\because AB// DE$（已知），
$\therefore CF// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\therefore ∠ 1=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），$∠ 2=∠ ECF$（两直线平行，内错角相等）。
已知$∠ 1=30°$，$∠ 2=35°$，
$\therefore ∠ BCF=30°$，$∠ ECF=35°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BCF+∠ ECF=30°+35°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型基础题型，重点考察平行线间拐点问题的辅助线构造方法，熟练掌握过拐点作平行线的技巧，即可快速结合平行线性质求解这类问题。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x=5, \\ mx+ny=2\end{cases}$与$\begin{cases}y=2, \\ nx+my=-9\end{cases}$有相同的解，则$3m-3n$的值为（ ）
A.11
B.－11
C.－3
D.3
A.11
B.－11
C.－3
D.3
答案
10.A
解析
【分析】
首先明确“两个方程组有相同的解”的含义：这个公共解同时满足四个方程。已知第一个方程组给出x=5，第二个方程组给出y=2，因此公共解就是$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$。接下来将公共解代入两个含参数m、n的方程，得到关于m、n的二元一次方程组，观察所求代数式3m-3n的形式，可通过两个方程直接作差简化计算，无需分别求出m、n的值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解，
∴ 公共解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$分别代入$mx+ny=2$和$nx+my=-9$，可得：
$\begin{cases}5m + 2n = 2 \quad ①\\2m + 5n = -9 \quad ②\end{cases}$
用①减去②，左边：$5m+2n - (2m+5n) = 3m - 3n$，右边：$2 - (-9) = 11$，
因此$3m - 3n = 11$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的概念，先确定公共解是解题的突破口，计算时可观察所求式子的结构，通过方程作差直接得到结果，能减少运算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确“两个方程组有相同的解”的含义：这个公共解同时满足四个方程。已知第一个方程组给出x=5，第二个方程组给出y=2，因此公共解就是$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$。接下来将公共解代入两个含参数m、n的方程，得到关于m、n的二元一次方程组，观察所求代数式3m-3n的形式，可通过两个方程直接作差简化计算，无需分别求出m、n的值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解，
∴ 公共解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$分别代入$mx+ny=2$和$nx+my=-9$，可得：
$\begin{cases}5m + 2n = 2 \quad ①\\2m + 5n = -9 \quad ②\end{cases}$
用①减去②，左边：$5m+2n - (2m+5n) = 3m - 3n$，右边：$2 - (-9) = 11$，
因此$3m - 3n = 11$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的概念，先确定公共解是解题的突破口，计算时可观察所求式子的结构，通过方程作差直接得到结果，能减少运算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.计算$\sqrt[3]{-125}+\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$的结果为
11.计算$\sqrt[3]{-125}+\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$的结果为
$-\dfrac{11}{3}$
。答案
11.$-\dfrac{11}{3}$
解析
【分析】
这道题考查立方根的计算与有理数的加法运算，解题思路是先分别化简两个立方根，再将化简后的结果相加。首先回忆立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；接下来分别找到立方等于-125和$\frac{64}{27}$的数，得到两个立方根的化简结果；最后将两个结果通分后相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算第一个立方根：
因为$(-5)^3=-125$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{-125}=-5$；
2. 计算第二个立方根：
因为$(\frac{4}{3})^3=\frac{4^3}{3^3}=\frac{64}{27}$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$；
3. 计算两个结果的和：
将$-5$通分为$-\frac{15}{3}$，则原式$=-5+\frac{4}{3}=-\frac{15}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{11}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{3}$
【知识点】
立方根的化简；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根定义的掌握程度，解题时要注意负数立方根的符号，熟记常见整数、分数的立方值可以有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这道题考查立方根的计算与有理数的加法运算，解题思路是先分别化简两个立方根，再将化简后的结果相加。首先回忆立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；接下来分别找到立方等于-125和$\frac{64}{27}$的数，得到两个立方根的化简结果；最后将两个结果通分后相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算第一个立方根：
因为$(-5)^3=-125$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{-125}=-5$；
2. 计算第二个立方根：
因为$(\frac{4}{3})^3=\frac{4^3}{3^3}=\frac{64}{27}$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$；
3. 计算两个结果的和：
将$-5$通分为$-\frac{15}{3}$，则原式$=-5+\frac{4}{3}=-\frac{15}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{11}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{3}$
【知识点】
立方根的化简；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根定义的掌握程度，解题时要注意负数立方根的符号，熟记常见整数、分数的立方值可以有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
12.若点$A(a-4,2a+2)$在$y$轴上，则$a$的值是
4
。答案
12.4
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都等于0。已知点A在y轴上，因此它的横坐标a-4的取值为0，接下来只需要解这个关于a的一元一次方程，就能求出a的值。
【解析】
解：
∵点$A(a-4,2a+2)$在$y$轴上
根据y轴上点的横坐标为0的性质，可得：
$a-4=0$
移项计算得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
y轴上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考察坐标轴上点的坐标规律，牢记y轴上点的横坐标为0是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都等于0。已知点A在y轴上，因此它的横坐标a-4的取值为0，接下来只需要解这个关于a的一元一次方程，就能求出a的值。
【解析】
解：
∵点$A(a-4,2a+2)$在$y$轴上
根据y轴上点的横坐标为0的性质，可得：
$a-4=0$
移项计算得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
y轴上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考察坐标轴上点的坐标规律，牢记y轴上点的横坐标为0是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
13.如果不等式组
无解，则m的取值范围是
无解，则m的取值范围是$m≥5$
。答案
13.$m≥5$
解析
【分析】
首先明确不等式组无解的定义：两个不等式的解集没有公共部分。对于本题给出的不等式组$\begin{cases}x＜5 \\ x＞m\end{cases}$，我们可以结合数轴或者七年级所学的不等式组解集判定口诀来分析：要让两个解集没有公共部分，代表大于m的数无法同时满足小于5，由此推导m的取值范围，尤其要注意验证端点值m=5是否符合要求。
【解析】
已知不等式组为$\begin{cases}x＜5 \\ x＞m\end{cases}$。
根据不等式组解集的判断规律“大大小小找不到（即无解）”：当“大于的数”大于等于“小于的数”时，不等式组不存在公共解集。
本题中，x需要同时满足小于5、大于m，若不等式组无解，则$m≥5$：
当$m＞5$时，大于m的数必然大于5，不可能同时小于5，无公共解集；
当$m=5$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜5 \\ x＞5\end{cases}$，不存在既大于5又小于5的数，也无公共解集。
综上，m的取值范围是$m≥5$。
【答案】
$m≥5$
【知识点】
1. 不等式组解集判定
2. 不等式组无解的条件
【点评】
本题是不等式组解集的基础题型，解题核心是掌握不等式组解集的判断方法，解题时建议结合数轴分析解集的重叠情况，尤其要注意验证端点值是否符合题意，避免遗漏等于的情况导致失分。
【难度系数】
0.7
首先明确不等式组无解的定义：两个不等式的解集没有公共部分。对于本题给出的不等式组$\begin{cases}x＜5 \\ x＞m\end{cases}$，我们可以结合数轴或者七年级所学的不等式组解集判定口诀来分析：要让两个解集没有公共部分，代表大于m的数无法同时满足小于5，由此推导m的取值范围，尤其要注意验证端点值m=5是否符合要求。
【解析】
已知不等式组为$\begin{cases}x＜5 \\ x＞m\end{cases}$。
根据不等式组解集的判断规律“大大小小找不到（即无解）”：当“大于的数”大于等于“小于的数”时，不等式组不存在公共解集。
本题中，x需要同时满足小于5、大于m，若不等式组无解，则$m≥5$：
当$m＞5$时，大于m的数必然大于5，不可能同时小于5，无公共解集；
当$m=5$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜5 \\ x＞5\end{cases}$，不存在既大于5又小于5的数，也无公共解集。
综上，m的取值范围是$m≥5$。
【答案】
$m≥5$
【知识点】
1. 不等式组解集判定
2. 不等式组无解的条件
【点评】
本题是不等式组解集的基础题型，解题核心是掌握不等式组解集的判断方法，解题时建议结合数轴分析解集的重叠情况，尤其要注意验证端点值是否符合题意，避免遗漏等于的情况导致失分。
【难度系数】
0.7
14. 如图
，已知$AB// DF$，且$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 232°$，则$∠ 2=$
，已知$AB// DF$，且$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 232°$，则$∠ 2=$52
°答案
14.52
解析
【分析】
解题时先观察已知条件AB//DF，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠1与∠3的和为180°。再结合题目给出的∠1+∠2+∠3=232°，将∠1+∠3看作整体代入，就能直接求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//DF（已知）
∴∠1 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 232°（已知）
∴∠2 = 232° - (∠1 + ∠3) = 232° - 180° = 52°
【答案】
52
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平行线的性质得到相关角的数量关系，再通过整体代入的方法计算未知角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件AB//DF，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠1与∠3的和为180°。再结合题目给出的∠1+∠2+∠3=232°，将∠1+∠3看作整体代入，就能直接求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//DF（已知）
∴∠1 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 232°（已知）
∴∠2 = 232° - (∠1 + ∠3) = 232° - 180° = 52°
【答案】
52
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平行线的性质得到相关角的数量关系，再通过整体代入的方法计算未知角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
15.已知$a^2=9,b^2=25$.若$b-a＜0$,则$ab$的值为
$\pm15$
.答案
15.$\pm15$
解析
【分析】
解题时先根据平方的性质求出a、b的所有可能取值，再结合条件b-a＜0即b＜a筛选出符合要求的a、b的组合，最后分别计算每组对应的ab的值即可。思考时要注意正数的平方对应两个互为相反数的根，不要漏解，筛选条件时要逐一验证所有可能的组合。
【解析】
解：
∵$a^2=9$，
∴$a=3$或$a=-3$，
∵$b^2=25$，
∴$b=5$或$b=-5$，
又
∵$b-a＜0$，即$b＜a$，
分情况讨论：
①当$a=3$时，满足$b＜a$的$b$只能是$-5$，此时$ab=3×(-5)=-15$；
②当$a=-3$时，满足$b＜a$的$b$只能是$-5$，此时$ab=(-3)×(-5)=15$；
综上，$ab$的值为$\pm15$。
【答案】
$\pm15$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 有理数大小比较
3. 有理数乘法运算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想求解，易错点是忽略正数有两个互为相反数的平方根，导致漏算其中一种情况，解题时要先列出所有可能的取值，再结合限制条件筛选，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先根据平方的性质求出a、b的所有可能取值，再结合条件b-a＜0即b＜a筛选出符合要求的a、b的组合，最后分别计算每组对应的ab的值即可。思考时要注意正数的平方对应两个互为相反数的根，不要漏解，筛选条件时要逐一验证所有可能的组合。
【解析】
解：
∵$a^2=9$，
∴$a=3$或$a=-3$，
∵$b^2=25$，
∴$b=5$或$b=-5$，
又
∵$b-a＜0$，即$b＜a$，
分情况讨论：
①当$a=3$时，满足$b＜a$的$b$只能是$-5$，此时$ab=3×(-5)=-15$；
②当$a=-3$时，满足$b＜a$的$b$只能是$-5$，此时$ab=(-3)×(-5)=15$；
综上，$ab$的值为$\pm15$。
【答案】
$\pm15$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 有理数大小比较
3. 有理数乘法运算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想求解，易错点是忽略正数有两个互为相反数的平方根，导致漏算其中一种情况，解题时要先列出所有可能的取值，再结合限制条件筛选，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16.计算：
(1) $\sqrt[3]{27} + |\sqrt{2} - 3| - \sqrt{49}$；
(2) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{4} - |1 - \sqrt{2}|$。
16.计算：
(1) $\sqrt[3]{27} + |\sqrt{2} - 3| - \sqrt{49}$；
(2) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{4} - |1 - \sqrt{2}|$。
答案
(1)$-1-\sqrt{2}$。
(2)$-\sqrt{2}+1$。
(2)$-\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
这两道题都属于实数混合运算题，解题思路分三步：第一步先分别计算立方根、算术平方根；第二步处理绝对值，先判断绝对值内式子的正负，再根据“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身”去掉绝对值符号；第三步把化简后的所有项合并，进行加减运算即可。
【解析】
(1) 分步化简各部分：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，可得$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
因为$7^2=49$，算术平方根为非负数，所以$\sqrt{49}=7$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3 + (3 - \sqrt{2}) -7\\&=3+3-7 - \sqrt{2}\\&=-1 - \sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 分步化简各部分：
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$；
因为$1＜\sqrt{2}$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，可得$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + 2 - (\sqrt{2} - 1)\\&=0 - \sqrt{2} +1\\&=-\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $-1-\sqrt{2}$
(2) $-\sqrt{2}+1$
【知识点】
立方根化简、绝对值的性质、算术平方根运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考查对立方根、算术平方根化简规则的掌握，去绝对值时要先判断符号，计算时注意去括号的符号变化，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于实数混合运算题，解题思路分三步：第一步先分别计算立方根、算术平方根；第二步处理绝对值，先判断绝对值内式子的正负，再根据“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身”去掉绝对值符号；第三步把化简后的所有项合并，进行加减运算即可。
【解析】
(1) 分步化简各部分：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，可得$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
因为$7^2=49$，算术平方根为非负数，所以$\sqrt{49}=7$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3 + (3 - \sqrt{2}) -7\\&=3+3-7 - \sqrt{2}\\&=-1 - \sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 分步化简各部分：
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$；
因为$1＜\sqrt{2}$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，可得$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + 2 - (\sqrt{2} - 1)\\&=0 - \sqrt{2} +1\\&=-\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
(1) $-1-\sqrt{2}$
(2) $-\sqrt{2}+1$
【知识点】
立方根化简、绝对值的性质、算术平方根运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心考查对立方根、算术平方根化简规则的掌握，去绝对值时要先判断符号，计算时注意去括号的符号变化，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
