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3.已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}), y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，求下列各式的值：
(1)$x^2 + y^2$；(2)$x^2 - y^2$；(3)$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。
(1)$x^2 + y^2$；(2)$x^2 - y^2$；(3)$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。
答案
$x+y=\sqrt{7}$,$x-y=\sqrt{5}$,$xy=\frac{1}{2}$.
(1)$x^2 + y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-1=6$;
(2)$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$;
(3)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=6÷\frac{1}{2}=12$.
(1)$x^2 + y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-1=6$;
(2)$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$;
(3)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=6÷\frac{1}{2}=12$.
解析
【分析】
遇到这类x、y为共轭二次根式的代数式求值问题，不要直接将x、y代入待求式计算，避免运算繁琐出错。首先先计算出x+y、x-y、xy三个整体的值，再利用乘法公式、通分等方法将待求的三个式子变形为用这三个整体表示的形式，最后整体代入数值计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})-\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{5}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})×\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
(1) 利用完全平方公式变形：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
代入得：原式$=(\sqrt{7})^2 - 2×\frac{1}{2}=7-1=6$
(2) 利用平方差公式变形：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
代入得：原式$=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3) 先通分化简：$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
将(1)中求得的$x^2+y^2=6$，$xy=\frac{1}{2}$代入得：原式$=6÷\frac{1}{2}=12$
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{35}$；(3)$12$
【知识点】
二次根式运算、乘法公式应用、整体代入求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心技巧是先计算共轭二次根式的和、差、积，再将待求式变形为含有上述整体的形式，通过整体代入简化计算，避免直接代入带来的繁琐运算，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
遇到这类x、y为共轭二次根式的代数式求值问题，不要直接将x、y代入待求式计算，避免运算繁琐出错。首先先计算出x+y、x-y、xy三个整体的值，再利用乘法公式、通分等方法将待求的三个式子变形为用这三个整体表示的形式，最后整体代入数值计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})-\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{5}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})×\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
(1) 利用完全平方公式变形：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
代入得：原式$=(\sqrt{7})^2 - 2×\frac{1}{2}=7-1=6$
(2) 利用平方差公式变形：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
代入得：原式$=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3) 先通分化简：$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
将(1)中求得的$x^2+y^2=6$，$xy=\frac{1}{2}$代入得：原式$=6÷\frac{1}{2}=12$
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{35}$；(3)$12$
【知识点】
二次根式运算、乘法公式应用、整体代入求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心技巧是先计算共轭二次根式的和、差、积，再将待求式变形为含有上述整体的形式，通过整体代入简化计算，避免直接代入带来的繁琐运算，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
4.阅读理解 在数学小组探究学习活动中,小明遇到这样一道解答题:
已知 $ a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} $, 求 $ 2a^2 -8a +1 $ 的值.
他是这样解答的: $ \because a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} =2-\sqrt{3} $,
$ \therefore a-2=-\sqrt{3}, \therefore (a-2)^2=3, $ 即 $ a^2 -4a +4=3, \therefore a^2 -4a=-1, $
$ \therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1. $
请根据小明的解题方法,解答下列问题:
(1)填空: $ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \_\_\_\_\_\_ $.
(2)若 $ a = \frac{1}{\sqrt{10}-3} $, 求 $ 2a^4 -12a^3 -12a +6 $ 的值.
已知 $ a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} $, 求 $ 2a^2 -8a +1 $ 的值.
他是这样解答的: $ \because a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} =2-\sqrt{3} $,
$ \therefore a-2=-\sqrt{3}, \therefore (a-2)^2=3, $ 即 $ a^2 -4a +4=3, \therefore a^2 -4a=-1, $
$ \therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1. $
请根据小明的解题方法,解答下列问题:
(1)填空: $ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \_\_\_\_\_\_ $.
(2)若 $ a = \frac{1}{\sqrt{10}-3} $, 求 $ 2a^4 -12a^3 -12a +6 $ 的值.
答案
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$;
(2)$\because a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}$,$\therefore a=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt{10}+3$,$\therefore a-3=\sqrt{10}$,$\therefore (a-3)^2=10$,即$a^2-6a+9=10$,$\therefore a^2-6a=1$,$\therefore 2a^4-12a^3-12a+6=2a^2(a^2-6a)-12a+6=2a^2-12a+6=2(a^2-6a)+6=2+6=8$.
(2)$\because a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}$,$\therefore a=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt{10}+3$,$\therefore a-3=\sqrt{10}$,$\therefore (a-3)^2=10$,即$a^2-6a+9=10$,$\therefore a^2-6a=1$,$\therefore 2a^4-12a^3-12a+6=2a^2(a^2-6a)-12a+6=2a^2-12a+6=2(a^2-6a)+6=2+6=8$.
解析
【分析】
(1) 遇到分母为两个二次根式和的形式时，可利用平方差公式进行分母有理化：给分子、分母同时乘分母的共轭根式（将分母中间的加号改为减号），消去分母中的根号即可得到化简结果。
(2) 参考示例的解题思路：首先对a进行分母有理化得到最简形式，再对a的表达式变形后平方，得到关于a的二次整式等式，整理出低次代数式的值；最后将所求的高次代数式拆项，通过整体代入法逐步降次计算，比直接代入数值计算更简便。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$。
(2) 先化简a：
$\because a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3$，
$\therefore a-3=\sqrt{10}$，两边平方得$(a-3)^2=10$，
展开整理得：$a^2-6a=1$。
将$a^2-6a=1$整体代入所求代数式：
$2a^4-12a^3-12a+6=2a^2(a^2-6a)-12a+6=2a^2×1-12a+6$
$=2(a^2-6a)+6=2×1+6=8$。
【答案】
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；(2)$8$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题解题关键是先对参数分母有理化，再通过变形得到低次关系式，用整体代入降次的方法计算高次代数式的值，能有效简化计算，避免直接代入高次运算容易出错的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到分母为两个二次根式和的形式时，可利用平方差公式进行分母有理化：给分子、分母同时乘分母的共轭根式（将分母中间的加号改为减号），消去分母中的根号即可得到化简结果。
(2) 参考示例的解题思路：首先对a进行分母有理化得到最简形式，再对a的表达式变形后平方，得到关于a的二次整式等式，整理出低次代数式的值；最后将所求的高次代数式拆项，通过整体代入法逐步降次计算，比直接代入数值计算更简便。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$。
(2) 先化简a：
$\because a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3$，
$\therefore a-3=\sqrt{10}$，两边平方得$(a-3)^2=10$，
展开整理得：$a^2-6a=1$。
将$a^2-6a=1$整体代入所求代数式：
$2a^4-12a^3-12a+6=2a^2(a^2-6a)-12a+6=2a^2×1-12a+6$
$=2(a^2-6a)+6=2×1+6=8$。
【答案】
(1)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；(2)$8$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题解题关键是先对参数分母有理化，再通过变形得到低次关系式，用整体代入降次的方法计算高次代数式的值，能有效简化计算，避免直接代入高次运算容易出错的问题。
【难度系数】
0.7
