【学以致用2】解下列方程：
(1)$3x+5=4x+1$；
(2)$x-3=-\dfrac{1}{2}x-4$。

(1)移项,得$3x-4x=1-5$.
合并同类项,得$-x=-4$.
系数化为1,得$x=4$.
(2)移项,得$x+\frac{1}{2}x=-4+3$.
合并同类项,得$\frac{3}{2}x=-1$.
系数化为1,得$x=-\frac{2}{3}$.

【分析】
这两道是不含括号、分母的基础一元一次方程，解题思路分三步：第一步移项，把含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项要改变符号；第二步合并同类项，将等号左右两边的同类项分别合并，化简为“ax=b（a≠0）”的形式；第三步系数化为1，等式两边同时除以x的系数a，即可求出x的值。
【解析】
(1) 移项，得$3x-4x=1-5$。
合并同类项，得$-x=-4$。
系数化为1，得$x=4$。
(2) 移项，得$x+\frac{1}{2}x=-4+3$。
合并同类项，得$\frac{3}{2}x=-1$。
系数化为1，得$x=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x=4$；(2)$x=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、合并同类项
【点评】
本题是解一元一次方程的入门题型，重点考查移项的变号规则和基础运算能力，解题时要注意避免移项忘变号、系数化为1时分数计算错误的问题，熟练掌握该题型的步骤是后续解复杂一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8

【典例】把若干图书分给某班学生,若每名学生分3本,则剩余20本;若每名学生分4本,则还缺25本.这个班共有名学生.
[思路导引]题目中班级学生数和图书的总数量是一定的,存在等量关系:学生数×每名学生分得的图书的数量+剩余图书的数量(一缺少图书的数量)=图书的总数量.
[解析]设这个班级有x名学生,按照两种不同的分法分别用x表示出图书的总数量.
由题意可得,$3x+20=4x-25$,解得$x=45$.
[答案]45

[解析]设这个班级有x名学生,按照两种不同的分法分别用x表示出图书的总数量.
由题意可得,$3x+20=4x-25$,解得$x=45$.
[答案]45

【分析】
解决这道题首先要找到题目中的不变量：班级学生人数和图书总数量均固定不变，其中图书总数量是建立等量关系的核心。我们可以设要求的学生人数为未知数x，再用x分别表示两种分法下的图书总数量，因为总图书数相等，就可以列出方程求解。第一步：设学生人数为x名；第二步：根据第一种分法，总图书数=分出去的本数+剩余本数，即3x+20；第三步：根据第二种分法，总图书数=需要的总本数-缺少的本数，即4x-25；第四步：两个式子都表示总图书数，列等式解方程即可得到学生人数。
【解析】
解：设这个班共有x名学生。
由图书总数量不变可得方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
移项计算：
$20 + 25 = 4x - 3x$
$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用，解一元一次方程
【点评】
本题是分配类方程应用的基础题型，解题关键是抓住分配过程中的不变量建立等量关系，掌握该思路可快速解决同类盈亏分配问题。
【难度系数】
0.8

【变式】《孙子算经》中记载了一道数学题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺（尺：古代长度单位）；将绳子对折再量长木，长木剩余1尺，问：长木多少尺？若设长木x尺，则所列方程为。

[解析]绳子的总长度是固定不变的,长木的长度也是固定不变的.由题意可得,$x+4.5=2(x-1)$.

【分析】
解决这类列方程的应用题，首先要找到题目中固定不变的量，本题中绳子的总长度始终相等，这就是列方程的核心等量关系。题目已经设长木为x尺，我们只需要分别用x表示出两种测量方式下的绳子总长度，再让两个式子相等即可得到方程。第一步先想直接测量的情况：绳子量长木剩4.5尺，说明绳子比长木长4.5尺，绳长就是x加4.5；第二步想对折测量的情况：对折后的绳子量长木，长木剩1尺，说明对折后的绳子比长木短1尺，对折后的绳长是x减1，原绳长就是它的2倍，也就是2(x-1)；最后根据绳长相等列等式即可。
【解析】
已知设长木的长度为x尺：
1. 用绳子直接测量长木时，绳子剩余4.5尺，因此绳子总长度为：$x + 4.5$ 尺；
2. 将绳子对折后测量长木时，长木剩余1尺，说明对折后的绳子长度为$x - 1$尺，因此绳子总长度为：$2(x - 1)$ 尺；
3. 由于绳子总长度固定不变，因此可列等式：$x + 4.5 = 2(x - 1)$。
【答案】
$x+4.5=2(x-1)$
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系
【点评】
本题是传统数学名题，解题关键是挖掘出“绳子总长度不变”这一隐含等量关系，通过两种测量场景分别表示出绳长即可列出方程，考查学生分析实际问题中数量关系的能力。
【难度系数】
0.7

1.方程$2x+6=5x$的解是 （）

A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$

1.C

【分析】
这道题是求一元一次方程的解，我们可以用两种思路解题：第一种是利用等式的性质，对等式逐步变形，求出x的取值；第二种是代入验证法，把每个选项的x值分别代入方程左右两边，若两边计算结果相等，对应的选项就是方程的解。
【解析】
方法一：利用等式的性质求解
等式两边同时减去2x，等式仍然成立，可得：
$2x + 6 - 2x = 5x - 2x$
化简得：$6 = 3x$
等式两边同时除以3，可得：
$6 ÷ 3 = 3x ÷ 3$
解得$x=2$
方法二：代入验证法
将各选项的x值分别代入方程左右两边计算：
A. 当$x=-1$时，左边$=2×(-1)+6=4$，右边$=5×(-1)=-5$，左边≠右边，不是方程的解；
B. 当$x=1$时，左边$=2×1+6=8$，右边$=5×1=5$，左边≠右边，不是方程的解；
C. 当$x=2$时，左边$=2×2+6=10$，右边$=5×2=10$，左边=右边，是方程的解；
D. 当$x=3$时，左边$=2×3+6=12$，右边$=5×3=15$，左边≠右边，不是方程的解。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程求解，方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都不难掌握，代入验证法计算量小、不容易出错，是做这类选择题的常用技巧。
【难度系数】
0.9

2.已知$2x - 6$与$3 + 4x$的值互为相反数，那么x的值为（）

A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$

2.B [解析]根据题意,得 $2x-6+3+4x=0$.
移项、合并同类项,得 $6x=3$.
系数化为 1,得 $x=\frac{1}{2}$.

【分析】
解题的突破口是牢记互为相反数的两个数的和为0。首先根据题干给出的两个代数式互为相反数的条件，列出关于x的方程，再按照解简易方程的步骤，先合并同类项，再将系数化为1，就能求出x的取值。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$2x - 6 + 3 + 4x = 0$
合并同类项得：$6x - 3 = 0$
移项得：$6x = 3$
两边同时除以6，系数化为1得：$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查相反数的基础性质和简易方程的求解能力，熟练掌握“互为相反数的两数和为0”是正确列方程的关键，需牢记一元一次方程的常规求解步骤。
【难度系数】
0.8

3.下列移项错误的是 （）

A.由$x+2=2x-7$,得$x-2x=-7-2$
B.由$y+3=2-4y$,得$y+4y=2-3$
C.由$2t-3+t=2t-4$,得$2t+t+2t=-4+3$
D.由$1-2m=3$,得$2m=1-3$

3.C [解析]把 $2t-3+t=2t-4$ 移项,得 $2t+t-2t=-4+3$.故 C 选项变形错误,符合题意.

【分析】
解决本题的核心是掌握移项的规则：将方程中的项从等号的一侧移动到另一侧时，移动的项必须改变符号，未移动的项符号保持不变。我们只需逐个验证每个选项的移项操作是否符合该规则，即可找出错误选项。
【解析】
我们根据移项规则逐一分析选项：
A. 对$x+2=2x-7$移项，将右边的$2x$移到左边变为$-2x$，左边的$+2$移到右边变为$-2$，可得$x-2x=-7-2$，变形正确，不符合题意。
B. 对$y+3=2-4y$移项，将右边的$-4y$移到左边变为$+4y$，左边的$+3$移到右边变为$-3$，可得$y+4y=2-3$，变形正确，不符合题意。
C. 对$2t-3+t=2t-4$移项，将右边的$2t$移到左边应变为$-2t$，左边的$-3$移到右边变为$+3$，正确变形应为$2t+t-2t=-4+3$，选项中写成了$+2t$，变形错误，符合题意。
D. 对$1-2m=3$移项，将左边的$-2m$移到右边变为$+2m$，右边的$3$移到左边变为$-3$，可得$1-3=2m$，即$2m=1-3$，变形正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
移项法则；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查移项的操作规则，易错点是移项时忽略符号变化，或误改未移动项的符号，牢记“移项要变号”的核心要求即可准确解题。
【难度系数】
0.8