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1[中]比较2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$的大小，正确的是（
A.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
C
）A.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
答案
1. C 【解析】因为 $2^2 = 4, (\sqrt{5})^2 = 5,4＜5,$ 所以 $2＜\sqrt{5}$. 因为 $2^3 = 8, (\sqrt[3]{7})^3 = 7,7＜8,$ 所以 $\sqrt[3]{7}＜2$, 所以 $\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$. 故选 C.
2[中]比较大小(填“＞”“＜”或“=”):
(1)$-\dfrac{1}{2}\_\_\_\_\_\_-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)3
(1)$-\dfrac{1}{2}\_\_\_\_\_\_-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)3
＞
$\sqrt[3]{9}$.答案
2. (1)＞ (2)＞ 【解析】(1) 因为 1＜3, 所以 1＜$\sqrt{3}$, 所以 $\dfrac{1}{2}＜\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, 所以 $-\dfrac{1}{2}＞-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, 故答案为＞.
(2) 因为 $3 = \sqrt[3]{27},27＞9$, 所以 $\sqrt[3]{27}＞\sqrt[3]{9}$, 所以 $3＞\sqrt[3]{9}$, 故答案为＞.
(2) 因为 $3 = \sqrt[3]{27},27＞9$, 所以 $\sqrt[3]{27}＞\sqrt[3]{9}$, 所以 $3＞\sqrt[3]{9}$, 故答案为＞.
3[中]如图,点A是数轴上表示实数a的点.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点P.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小,并说明理由.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点P.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小,并说明理由.
答案
3. 【解】(1)如图(1)、图(2)所示,点P即为所求。
(2)$a＞\sqrt{2}$. 理由如下:如图(2)所示,由(1)知点P表示的数为$\sqrt{2}$,因为点A在点P右侧,所以$a＞\sqrt{2}$.
4[2026江苏南京调研,中]课堂上,数学老师出了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.小明的解法如下:
$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
因为$19＞16$,所以$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-4＞0$,
所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.请你
仿照上述方法,比较下列各组数的大小:
(1)$1-\sqrt{5}$和$1-\sqrt{3}$;
(2)$\frac{6-\sqrt{7}}{5}$和$\frac{3}{5}$.
$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
因为$19＞16$,所以$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-4＞0$,
所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$,所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.请你
仿照上述方法,比较下列各组数的大小:
(1)$1-\sqrt{5}$和$1-\sqrt{3}$;
(2)$\frac{6-\sqrt{7}}{5}$和$\frac{3}{5}$.
答案
4. 【解】(1)$1-\sqrt{5}-(1-\sqrt{3})=1-\sqrt{5}-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{5}$. $\because \sqrt{3}＜\sqrt{5},\therefore \sqrt{3}-\sqrt{5}＜0,\therefore 1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$.
(2)$\dfrac{6-\sqrt{7}}{5}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{6-\sqrt{7}-3}{5}=\dfrac{3-\sqrt{7}}{5}$. $\because \sqrt{7}＜3$, $\therefore 3-\sqrt{7}＞0,\therefore \dfrac{3-\sqrt{7}}{5}＞0,\therefore \dfrac{6-\sqrt{7}}{5}＞\dfrac{3}{5}$.
(2)$\dfrac{6-\sqrt{7}}{5}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{6-\sqrt{7}-3}{5}=\dfrac{3-\sqrt{7}}{5}$. $\because \sqrt{7}＜3$, $\therefore 3-\sqrt{7}＞0,\therefore \dfrac{3-\sqrt{7}}{5}＞0,\therefore \dfrac{6-\sqrt{7}}{5}＞\dfrac{3}{5}$.
5[中]已知$a=5+\sqrt{5}$，$b=3+\sqrt{10}$，$c=\sqrt{30}$，通过估算，比较$a,b,c$的大小。
答案
5. 【解】$\because 4＜5＜9,\therefore 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore 7＜5+\sqrt{5}＜8$,即$7＜a＜8$. $\because 9＜10＜16,\therefore 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore 6＜3+\sqrt{10}＜7$,即$6＜b＜7$. $\because 25＜30＜36,\therefore 5＜\sqrt{30}＜6$,即$5＜c＜6$. $\therefore a,b,c$的大小关系为$c＜b＜a$.
6[难]观察下列一组等式,再解答问题:
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1, (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,$
$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1, (\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1,···.$
(1)利用上面的规律,计算下面式子的值.
× $(\sqrt{2022}+1).$
(2)利用上面的规律,比较$\sqrt{11}-\sqrt{10}$与$\sqrt{12}-\sqrt{11}$的大小.
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1, (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1,$
$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1, (\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1,···.$
(1)利用上面的规律,计算下面式子的值.
× $(\sqrt{2022}+1).$(2)利用上面的规律,比较$\sqrt{11}-\sqrt{10}$与$\sqrt{12}-\sqrt{11}$的大小.
答案
6. 【解】(1)由规律易知$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$($n$为正整数).
原式$=[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2022}-\sqrt{2021})]×(\sqrt{2022}+1)$
$=(\sqrt{2022}-1)×(\sqrt{2022}+1)$
$=2021$.
(2)因为$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\sqrt{11}+\sqrt{10},\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$,且$\sqrt{11}+\sqrt{10}＜\sqrt{12}+\sqrt{11}$,
所以$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}＜\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$,
所以$\sqrt{11}-\sqrt{10}＞\sqrt{12}-\sqrt{11}$.
原式$=[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2022}-\sqrt{2021})]×(\sqrt{2022}+1)$
$=(\sqrt{2022}-1)×(\sqrt{2022}+1)$
$=2021$.
(2)因为$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\sqrt{11}+\sqrt{10},\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$,且$\sqrt{11}+\sqrt{10}＜\sqrt{12}+\sqrt{11}$,
所以$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}＜\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$,
所以$\sqrt{11}-\sqrt{10}＞\sqrt{12}-\sqrt{11}$.
