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[典例3]计算：
(1)$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2)$(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
(1)$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2)$(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
答案
1. $(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$
$= b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab$
$= b^2 - 4ab + 4a^2.$
2. $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$
$= 15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)$
$= 15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2$
$= -6xy.$
$= b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab$
$= b^2 - 4ab + 4a^2.$
2. $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$
$= 15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)$
$= 15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2$
$= -6xy.$
解析
【分析】
这两道题均为整式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：1. 先计算乘除部分：多项式除以单项式时，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；单项式乘多项式、多项式乘多项式按照乘法分配律展开，注意不要漏乘任何一项。2. 再计算加减部分：先去括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算除法和乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)\\=&4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab + 2a·2a - 2a·b\\=&b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab\\=&b^2 - 4ab + 4a^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和多项式乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)\\=&15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 - (15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2\\=&-6xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$；(2) $-6xy$
【知识点】
整式的混合运算；多项式除以单项式；多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式运算法则的掌握程度，解题的易错点为去括号时的符号处理和乘法展开时漏乘项，熟练掌握运算法则、养成细心运算的习惯即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
这两道题均为整式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：1. 先计算乘除部分：多项式除以单项式时，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；单项式乘多项式、多项式乘多项式按照乘法分配律展开，注意不要漏乘任何一项。2. 再计算加减部分：先去括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算除法和乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)\\=&4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab + 2a·2a - 2a·b\\=&b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab\\=&b^2 - 4ab + 4a^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和多项式乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)\\=&15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 - (15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2\\=&-6xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$；(2) $-6xy$
【知识点】
整式的混合运算；多项式除以单项式；多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式运算法则的掌握程度，解题的易错点为去括号时的符号处理和乘法展开时漏乘项，熟练掌握运算法则、养成细心运算的习惯即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
[典例4]先化简，再求值：
(1)$(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)^2$，其中$x = 3, y = -1$；
(2)$(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$，其中$m^2 + m - 2 = 0$；
(3)$[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$，其中$x = -\frac{1}{3}$，$y = -1$。
(1)$(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)^2$，其中$x = 3, y = -1$；
(2)$(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$，其中$m^2 + m - 2 = 0$；
(3)$[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$，其中$x = -\frac{1}{3}$，$y = -1$。
答案
1. $(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)^2$
$= x^2 - 4y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2)$
$= x^2 - 4y^2 - x^2 + 4xy - 8y^2$
$= 4xy - 8y^2.$
当 $x=3, y=-1$ 时，
原式 $=4 × 3 × (-1) - 8 × (-1)^2 = -20.$
2. $(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$
$= 4m^2 - 1 - (m^2 - 2m + 1) + (8m^3) ÷ (-8m)$
$= 4m^2 - 1 - m^2 + 2m - 1 - m^2$
$= 2m^2 + 2m - 2.$
当 $m^2 + m - 2 = 0$，即 $m^2 + m = 2$ 时，
原式 $=2(m^2 + m) - 2 = 2 × 2 - 2 = 2.$
3. $[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$
$= [x^2 - 16y^2 - (x^2 - 6xy + 9y^2) - 3xy] ÷ (3y)$
$= (x^2 - 16y^2 - x^2 + 6xy - 9y^2 - 3xy) ÷ (3y)$
$= (-25y^2 + 3xy) ÷ (3y)$
$= -\dfrac{25}{3}y + x,$
当 $x=-\dfrac{1}{3}, y=-1$ 时，
原式 $= -\dfrac{25}{3} × (-1) + (-\dfrac{1}{3}) = 8.$
$= x^2 - 4y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2)$
$= x^2 - 4y^2 - x^2 + 4xy - 8y^2$
$= 4xy - 8y^2.$
当 $x=3, y=-1$ 时，
原式 $=4 × 3 × (-1) - 8 × (-1)^2 = -20.$
2. $(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$
$= 4m^2 - 1 - (m^2 - 2m + 1) + (8m^3) ÷ (-8m)$
$= 4m^2 - 1 - m^2 + 2m - 1 - m^2$
$= 2m^2 + 2m - 2.$
当 $m^2 + m - 2 = 0$，即 $m^2 + m = 2$ 时，
原式 $=2(m^2 + m) - 2 = 2 × 2 - 2 = 2.$
3. $[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$
$= [x^2 - 16y^2 - (x^2 - 6xy + 9y^2) - 3xy] ÷ (3y)$
$= (x^2 - 16y^2 - x^2 + 6xy - 9y^2 - 3xy) ÷ (3y)$
$= (-25y^2 + 3xy) ÷ (3y)$
$= -\dfrac{25}{3}y + x,$
当 $x=-\dfrac{1}{3}, y=-1$ 时，
原式 $= -\dfrac{25}{3} × (-1) + (-\dfrac{1}{3}) = 8.$
解析
【分析】
这三道题均为整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的核心思路，避免直接代入计算导致的运算繁杂：
1. 第(1)题先分别利用平方差公式计算$(x-2y)(x+2y)$，利用完全平方公式计算$(x-2y)^2$，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$x、y$的数值计算即可；
2. 第(2)题依次用平方差公式、完全平方公式、积的乘方与单项式除法法则化简式子，化简后可发现式子含$m^2+m$的整体项，结合已知$m^2+m-2=0$，用整体代入法求值，无需单独求解$m$的取值；
3. 第(3)题先计算中括号内的运算：用平方差公式、完全平方公式展开，合并同类项后，再利用多项式除以单项式的法则得到最简式，最后代入$x、y$的数值计算。
【解析】
(1) 化简$(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= x^2 - 4y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= x^2 - 4y^2 - x^2 + 4xy - 4y^2 \\&= 4xy - 8y^2\end{aligned}$
当$x=3, y=-1$时，代入得：
$\mathrm{原式}=4 × 3 × (-1) - 8 × (-1)^2 = -12 - 8 = -20$
(2) 化简$(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 4m^2 - 1 - (m^2 - 2m + 1) + 8m^3 ÷ (-8m) \\&= 4m^2 - 1 - m^2 + 2m - 1 - m^2 \\&= 2m^2 + 2m - 2\end{aligned}$
已知$m^2 + m - 2 = 0$，即$m^2 + m = 2$，整体代入得：
$\mathrm{原式}=2(m^2 + m) - 2 = 2×2 - 2 = 2$
(3) 化简$[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= [x^2 - 16y^2 - (x^2 - 6xy + 9y^2) - 3xy] ÷ 3y \\&= (x^2 - 16y^2 - x^2 + 6xy - 9y^2 - 3xy) ÷ 3y \\&= (-25y^2 + 3xy) ÷ 3y \\&= -\frac{25}{3}y + x\end{aligned}$
当$x=-\frac{1}{3}, y=-1$时，代入得：
$\mathrm{原式}= -\frac{25}{3}×(-1) + (-\frac{1}{3}) = \frac{25}{3} - \frac{1}{3} = 8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差与完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
这三道题是整式化简求值的常规典型题，重点考查乘法公式的正确应用、整式运算法则的掌握，以及整体代入的数学思想。解题时需注意去括号时的符号变化，合理运用整体代入法可简化计算，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均为整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的核心思路，避免直接代入计算导致的运算繁杂：
1. 第(1)题先分别利用平方差公式计算$(x-2y)(x+2y)$，利用完全平方公式计算$(x-2y)^2$，再去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$x、y$的数值计算即可；
2. 第(2)题依次用平方差公式、完全平方公式、积的乘方与单项式除法法则化简式子，化简后可发现式子含$m^2+m$的整体项，结合已知$m^2+m-2=0$，用整体代入法求值，无需单独求解$m$的取值；
3. 第(3)题先计算中括号内的运算：用平方差公式、完全平方公式展开，合并同类项后，再利用多项式除以单项式的法则得到最简式，最后代入$x、y$的数值计算。
【解析】
(1) 化简$(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= x^2 - 4y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= x^2 - 4y^2 - x^2 + 4xy - 4y^2 \\&= 4xy - 8y^2\end{aligned}$
当$x=3, y=-1$时，代入得：
$\mathrm{原式}=4 × 3 × (-1) - 8 × (-1)^2 = -12 - 8 = -20$
(2) 化简$(2m + 1)(2m - 1) - (m - 1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 4m^2 - 1 - (m^2 - 2m + 1) + 8m^3 ÷ (-8m) \\&= 4m^2 - 1 - m^2 + 2m - 1 - m^2 \\&= 2m^2 + 2m - 2\end{aligned}$
已知$m^2 + m - 2 = 0$，即$m^2 + m = 2$，整体代入得：
$\mathrm{原式}=2(m^2 + m) - 2 = 2×2 - 2 = 2$
(3) 化简$[(x + 4y)(x - 4y) - (x - 3y)^2 - 3xy] ÷ (3y)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= [x^2 - 16y^2 - (x^2 - 6xy + 9y^2) - 3xy] ÷ 3y \\&= (x^2 - 16y^2 - x^2 + 6xy - 9y^2 - 3xy) ÷ 3y \\&= (-25y^2 + 3xy) ÷ 3y \\&= -\frac{25}{3}y + x\end{aligned}$
当$x=-\frac{1}{3}, y=-1$时，代入得：
$\mathrm{原式}= -\frac{25}{3}×(-1) + (-\frac{1}{3}) = \frac{25}{3} - \frac{1}{3} = 8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差与完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
这三道题是整式化简求值的常规典型题，重点考查乘法公式的正确应用、整式运算法则的掌握，以及整体代入的数学思想。解题时需注意去括号时的符号变化，合理运用整体代入法可简化计算，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
