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13.【数学应用】已知平面上四点A,B,C,D(每三点都不在一条直线上)。
(1)经过这四点最多能确定
(2)如图,现用这四点表示公园里的四个地方,如果点B,C在公园里湖对岸两处,A,D在湖面上,要从B到C筑桥,从节省材料的角度考虑,应选择图中两条路中的哪一条?如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择哪一条?为什么?
(1)经过这四点最多能确定
6
条直线。(2)如图,现用这四点表示公园里的四个地方,如果点B,C在公园里湖对岸两处,A,D在湖面上,要从B到C筑桥,从节省材料的角度考虑,应选择图中两条路中的哪一条?如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择哪一条?为什么?
答案
13. (1)6
(2)从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②;如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。
因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料;而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
(答案合理即可)
(2)从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②;如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。
因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料;而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
(答案合理即可)
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，先回忆直线的基本性质：两点确定一条直线。题目明确每三点都不在同一直线上，说明任意两点组合得到的直线都不会重复，只需要计算四个点两两组合的总数量即可得到最多的直线数。
(2) 第二问是实际应用问题，节省材料对应路径长度更短，可结合线段的基本性质“两点之间线段最短”判断短路径；想要长时间观赏风光需要走更长的路径，选择更长的路线即可，再结合性质说明对应原因。
【解析】
(1) 根据“两点确定一条直线”，已知四点中任意三点都不在一条直线上，因此任意两个点都能确定1条不重复的直线。
可列举出所有直线：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，合计共6条。
(2) 根据线段的基本性质：两点之间，线段最短。
观察两条路线：路线②是直接连接B、C两点的线段，是B到C的最短路径，因此从节省材料的角度考虑，选择路线②；
路线①是从B出发经过A、D再到C的路径，长度大于路线②，走这条路径路程更长，能在桥上停留更久，因此想较长时间观赏湖面风光应选择路线①。
【答案】
(1) 6
(2) 从节省材料的角度考虑，应选择题图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短，所以路线②比路线①短，可以节省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何基本事实的应用，既需要掌握基础的几何概念，也需要学会将实际问题转化为数学问题，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一问时，先回忆直线的基本性质：两点确定一条直线。题目明确每三点都不在同一直线上，说明任意两点组合得到的直线都不会重复，只需要计算四个点两两组合的总数量即可得到最多的直线数。
(2) 第二问是实际应用问题，节省材料对应路径长度更短，可结合线段的基本性质“两点之间线段最短”判断短路径；想要长时间观赏风光需要走更长的路径，选择更长的路线即可，再结合性质说明对应原因。
【解析】
(1) 根据“两点确定一条直线”，已知四点中任意三点都不在一条直线上，因此任意两个点都能确定1条不重复的直线。
可列举出所有直线：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，合计共6条。
(2) 根据线段的基本性质：两点之间，线段最短。
观察两条路线：路线②是直接连接B、C两点的线段，是B到C的最短路径，因此从节省材料的角度考虑，选择路线②；
路线①是从B出发经过A、D再到C的路径，长度大于路线②，走这条路径路程更长，能在桥上停留更久，因此想较长时间观赏湖面风光应选择路线①。
【答案】
(1) 6
(2) 从节省材料的角度考虑，应选择题图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短，所以路线②比路线①短，可以节省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何基本事实的应用，既需要掌握基础的几何概念，也需要学会将实际问题转化为数学问题，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.9
14.【综合与实践】如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100 km，A，C间的路程为40 km。现计划在A，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为x km。
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。
(2)若路程之和为102 km，则车站应建在何处？
(3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小，则车站应建在何处？路程总和的最小值是多少？
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。
(2)若路程之和为102 km，则车站应建在何处？
(3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小，则车站应建在何处？路程总和的最小值是多少？
答案
(1) 路程之和为 PA + PB + PC = AB + PC = (100 + x)km。
(2) 因为 100 + x = 102，所以 x = 2，所以车站应建在 C 左侧或右侧 2 km 处。
(3) 当 x = 0 时，x + 100 = 100，所以要使车站到三个村庄的路程总和最小，车站应建在 C 处，且路程总和的最小值为 100 km。
(2) 因为 100 + x = 102，所以 x = 2，所以车站应建在 C 左侧或右侧 2 km 处。
(3) 当 x = 0 时，x + 100 = 100，所以要使车站到三个村庄的路程总和最小，车站应建在 C 处，且路程总和的最小值为 100 km。
解析
【分析】
解题的核心突破口是先明确P在A、B之间，因此P到A、B的路程和为固定值AB的长度。
(1) 求三个村庄的路程和时，无需单独计算PA和PB，直接用PA+PB的定值加上PC的长度x即可列出代数式；
(2) 将路程和102代入第一问的代数式，解一元一次方程求出x的值，就能确定车站的位置；
(3) 路程和为100+x，x表示P到C的距离，x最小为0，此时路程和取得最小值，对应即可得到车站的最优位置和最小路程。
【解析】
(1) 由于车站P建在A、B之间，因此$PA+PB=AB=100\ \mathrm{km}$，已知$PC=x\ \mathrm{km}$，因此路程之和为：
$PA+PB+PC=AB+PC=100+x$，单位为km。
(2) 令路程之和为102km，代入上述代数式得：
$100+x=102$
解得$x=2$，即车站到C的距离为2km，因此车站应建在C左侧或右侧2km处。
(3) 因为路程和为$100+x$，且P到C的距离$x≥0$，因此当$x=0$时，路程和取得最小值：
$100+0=100\ \mathrm{km}$，此时P与C点重合。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(100+x)\ \mathrm{km}}$
(2) 车站应建在C左侧或右侧2 km处
(3) 车站应建在C处，路程总和的最小值是$\boldsymbol{100\ \mathrm{km}}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；线段最值计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查线段和计算、代数式与方程的应用，解题关键是发现PA+PB为定值，简化计算过程，易错点是容易忽略P可在C点左右两侧两种位置情况。
【难度系数】
0.7
解题的核心突破口是先明确P在A、B之间，因此P到A、B的路程和为固定值AB的长度。
(1) 求三个村庄的路程和时，无需单独计算PA和PB，直接用PA+PB的定值加上PC的长度x即可列出代数式；
(2) 将路程和102代入第一问的代数式，解一元一次方程求出x的值，就能确定车站的位置；
(3) 路程和为100+x，x表示P到C的距离，x最小为0，此时路程和取得最小值，对应即可得到车站的最优位置和最小路程。
【解析】
(1) 由于车站P建在A、B之间，因此$PA+PB=AB=100\ \mathrm{km}$，已知$PC=x\ \mathrm{km}$，因此路程之和为：
$PA+PB+PC=AB+PC=100+x$，单位为km。
(2) 令路程之和为102km，代入上述代数式得：
$100+x=102$
解得$x=2$，即车站到C的距离为2km，因此车站应建在C左侧或右侧2km处。
(3) 因为路程和为$100+x$，且P到C的距离$x≥0$，因此当$x=0$时，路程和取得最小值：
$100+0=100\ \mathrm{km}$，此时P与C点重合。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(100+x)\ \mathrm{km}}$
(2) 车站应建在C左侧或右侧2 km处
(3) 车站应建在C处，路程总和的最小值是$\boldsymbol{100\ \mathrm{km}}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；线段最值计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查线段和计算、代数式与方程的应用，解题关键是发现PA+PB为定值，简化计算过程，易错点是容易忽略P可在C点左右两侧两种位置情况。
【难度系数】
0.7
