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1. 下列函数不属于二次函数的是(
A.$y=(x-1)(x+2)$
B.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$
C.$y=(x+3)^2 - x^2$
D.$y=1-\sqrt{3}x^2$
C
).A.$y=(x-1)(x+2)$
B.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$
C.$y=(x+3)^2 - x^2$
D.$y=1-\sqrt{3}x^2$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的整式函数为二次函数，核心判定要点是化简后最高次项次数为2，且二次项系数不为0。解题时需将每个选项的函数式展开化简，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一分析选项：
选项A：将式子展开得$y=(x-1)(x+2)=x^2+x-2$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=1≠0$，属于二次函数，不符合题意；
选项B：将式子展开得$y=\frac{1}{2}(x+1)^2=\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=\frac{1}{2}≠0$，属于二次函数，不符合题意；
选项C：将式子展开化简得$y=(x+3)^2-x^2=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，最高次项次数为1，属于一次函数，不属于二次函数，符合题意；
选项D：$y=1-\sqrt{3}x^2=-\sqrt{3}x^2+1$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是熟练掌握二次函数的判定标准，注意判断前需先将函数式化简为最简形式，不能仅凭原式的表面形式判断，避免忽略同类项抵消导致二次项消失的情况。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的整式函数为二次函数，核心判定要点是化简后最高次项次数为2，且二次项系数不为0。解题时需将每个选项的函数式展开化简，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一分析选项：
选项A：将式子展开得$y=(x-1)(x+2)=x^2+x-2$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=1≠0$，属于二次函数，不符合题意；
选项B：将式子展开得$y=\frac{1}{2}(x+1)^2=\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=\frac{1}{2}≠0$，属于二次函数，不符合题意；
选项C：将式子展开化简得$y=(x+3)^2-x^2=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，最高次项次数为1，属于一次函数，不属于二次函数，符合题意；
选项D：$y=1-\sqrt{3}x^2=-\sqrt{3}x^2+1$，最高次项为$x^2$，二次项系数$a=-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是熟练掌握二次函数的判定标准，注意判断前需先将函数式化简为最简形式，不能仅凭原式的表面形式判断，避免忽略同类项抵消导致二次项消失的情况。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=3(x+2)^2$的图象上有三点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
B
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
2. B
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，计算出对应的y值后直接比较；二是利用二次函数的性质判断：先确定二次函数的开口方向与对称轴，开口向上时，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，计算各点横坐标到对称轴的距离后即可比较函数值大小，这种方法解题效率更高。
【解析】
方法一：代入求值法
分别将三点横坐标代入函数解析式计算：
$y_1=3×(1+2)^2=3×9=27$
$y_2=3×(2+2)^2=3×16=48$
$y_3=3×(-3+2)^2=3×1=3$
可得$48＞27＞3$，即$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=3(x+2)^2$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴$x=-2$的距离：
A点距离：$|1-(-2)|=3$
B点距离：$|2-(-2)|=4$
C点距离：$|-3-(-2)|=1$
因为$4＞3＞1$，所以对应的函数值$y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法中，利用开口方向、对称轴与点到对称轴距离的规律判断，比直接代入计算更高效，熟练掌握二次函数的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，计算出对应的y值后直接比较；二是利用二次函数的性质判断：先确定二次函数的开口方向与对称轴，开口向上时，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，计算各点横坐标到对称轴的距离后即可比较函数值大小，这种方法解题效率更高。
【解析】
方法一：代入求值法
分别将三点横坐标代入函数解析式计算：
$y_1=3×(1+2)^2=3×9=27$
$y_2=3×(2+2)^2=3×16=48$
$y_3=3×(-3+2)^2=3×1=3$
可得$48＞27＞3$，即$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=3(x+2)^2$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴$x=-2$的距离：
A点距离：$|1-(-2)|=3$
B点距离：$|2-(-2)|=4$
C点距离：$|-3-(-2)|=1$
因为$4＞3＞1$，所以对应的函数值$y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法中，利用开口方向、对称轴与点到对称轴距离的规律判断，比直接代入计算更高效，熟练掌握二次函数的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.将二次函数$y=-x^2 -2x +3$的图象沿$x$轴对折，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线必经过点(
A.$(-1,-3)$
B.$(1,3)$
C.$(2,-0.5)$
D.$(-2,0.5)$
A
).A.$(-1,-3)$
B.$(1,3)$
C.$(2,-0.5)$
D.$(-2,0.5)$
答案
3. A
解析
【分析】
解决这道题的思路是先求出原二次函数经过两次变换后的解析式，再逐一验证各选项的点是否在新抛物线上。首先要明确函数图像变换的规则：沿x轴对折时，相同x对应的函数值变为原来的相反数；图像左右平移遵循“左加右减”的规律，即向右平移n个单位，解析式中所有的x替换为(x-n)。按规则逐步推导得到新解析式后，代入各选项的横坐标计算纵坐标，对比即可得出答案。
【解析】
步骤1：求沿x轴对折后的函数解析式
沿x轴对折时，原函数上任意一点$(x,y)$对折后对应点为$(x,-y)$，因此对折后的函数满足：
$-y = -x^2 -2x +3$
整理得对折后的解析式：$y = x^2 + 2x -3$
步骤2：求向右平移1个单位后的解析式
根据“左加右减”的平移规律，将对折后解析式中的$x$替换为$x-1$，得：
$y=(x-1)^2 + 2(x-1) -3$
展开化简：
$y=x^2 -2x +1 +2x -2 -3 = x^2 -4$
步骤3：逐一验证选项
A选项：当$x=-1$时，$y=(-1)^2 -4 = -3$，点$(-1,-3)$在新抛物线上，符合要求；
B选项：当$x=1$时，$y=1^2 -4=-3≠3$，不符合；
C选项：当$x=2$时，$y=2^2 -4=0≠-0.5$，不符合；
D选项：当$x=-2$时，$y=(-2)^2 -4=0≠0.5$，不符合。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像变换；函数平移规律；二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握图像对折、平移对应的解析式变化规律，按步骤推导后代入验证即可得分，属于该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路是先求出原二次函数经过两次变换后的解析式，再逐一验证各选项的点是否在新抛物线上。首先要明确函数图像变换的规则：沿x轴对折时，相同x对应的函数值变为原来的相反数；图像左右平移遵循“左加右减”的规律，即向右平移n个单位，解析式中所有的x替换为(x-n)。按规则逐步推导得到新解析式后，代入各选项的横坐标计算纵坐标，对比即可得出答案。
【解析】
步骤1：求沿x轴对折后的函数解析式
沿x轴对折时，原函数上任意一点$(x,y)$对折后对应点为$(x,-y)$，因此对折后的函数满足：
$-y = -x^2 -2x +3$
整理得对折后的解析式：$y = x^2 + 2x -3$
步骤2：求向右平移1个单位后的解析式
根据“左加右减”的平移规律，将对折后解析式中的$x$替换为$x-1$，得：
$y=(x-1)^2 + 2(x-1) -3$
展开化简：
$y=x^2 -2x +1 +2x -2 -3 = x^2 -4$
步骤3：逐一验证选项
A选项：当$x=-1$时，$y=(-1)^2 -4 = -3$，点$(-1,-3)$在新抛物线上，符合要求；
B选项：当$x=1$时，$y=1^2 -4=-3≠3$，不符合；
C选项：当$x=2$时，$y=2^2 -4=0≠-0.5$，不符合；
D选项：当$x=-2$时，$y=(-2)^2 -4=0≠0.5$，不符合。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像变换；函数平移规律；二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握图像对折、平移对应的解析式变化规律，按步骤推导后代入验证即可得分，属于该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4.如图，铅球运动员掷铅球的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的函数解析式是$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，则该运动员此次掷铅球的成绩是(
A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
C
).A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
答案
4. C
解析
【分析】
要确定掷铅球的成绩，首先需理解成绩的实际意义：铅球落地时对应的水平距离，也就是函数中高度$y=0$时$x$的正数值（水平距离不能为负）。因此解题思路为：令函数解析式中$y=0$，求解所得一元二次方程，舍去负根后得到的正根即为所求成绩。
【解析】
掷铅球的成绩是铅球落地（高度为0）时对应的水平距离，因此令$y=0$，代入函数解析式：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
方程两边同时乘以12消去分母，得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
由于水平距离$x$不能为负数，故舍去$x=-2$，即该运动员此次掷铅球的成绩是10m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的求解；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合体育运动实际考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为函数问题，明确铅球落地时高度为0的特点，求解方程后注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
要确定掷铅球的成绩，首先需理解成绩的实际意义：铅球落地时对应的水平距离，也就是函数中高度$y=0$时$x$的正数值（水平距离不能为负）。因此解题思路为：令函数解析式中$y=0$，求解所得一元二次方程，舍去负根后得到的正根即为所求成绩。
【解析】
掷铅球的成绩是铅球落地（高度为0）时对应的水平距离，因此令$y=0$，代入函数解析式：
$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$
方程两边同时乘以12消去分母，得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
由于水平距离$x$不能为负数，故舍去$x=-2$，即该运动员此次掷铅球的成绩是10m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的求解；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合体育运动实际考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为函数问题，明确铅球落地时高度为0的特点，求解方程后注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
5.一次函数 $y=ax+b(a≠0)$ 与二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
B
).答案
5. B
解析
【分析】
本题可通过判断参数a、b的符号一致性来排除错误选项：首先，两个函数的参数a是同一个值，可先由二次函数开口方向确定a的正负，再验证一次函数的斜率（增减性）是否匹配；再根据一次函数的纵截距判断b的正负，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否匹配，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数开口向上，故$a＞0$，对应一次函数斜率为正（图象上升），a的符号符合；一次函数与y轴交于正半轴，故$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（应在y轴左侧），但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：二次函数开口向上，故$a＞0$，对应一次函数斜率为正（图象上升），a的符号符合；二次函数对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，b的符号匹配，该选项符合要求。
3. 分析选项C：二次函数开口向下，故$a＜0$，对应一次函数斜率为负（图象下降），a的符号符合；一次函数与y轴交于负半轴，故$b＜0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（应在y轴左侧），但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：二次函数开口向下，故$a＜0$，但一次函数斜率为正（图象上升）即$a＞0$，a的符号矛盾，排除D。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心是抓住同一参数在不同函数中的符号保持一致，优先通过二次项系数a排除部分选项，再结合截距、对称轴等信息进一步验证，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
本题可通过判断参数a、b的符号一致性来排除错误选项：首先，两个函数的参数a是同一个值，可先由二次函数开口方向确定a的正负，再验证一次函数的斜率（增减性）是否匹配；再根据一次函数的纵截距判断b的正负，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否匹配，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数开口向上，故$a＞0$，对应一次函数斜率为正（图象上升），a的符号符合；一次函数与y轴交于正半轴，故$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（应在y轴左侧），但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：二次函数开口向上，故$a＞0$，对应一次函数斜率为正（图象上升），a的符号符合；二次函数对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，b的符号匹配，该选项符合要求。
3. 分析选项C：二次函数开口向下，故$a＜0$，对应一次函数斜率为负（图象下降），a的符号符合；一次函数与y轴交于负半轴，故$b＜0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（应在y轴左侧），但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：二次函数开口向下，故$a＜0$，但一次函数斜率为正（图象上升）即$a＞0$，a的符号矛盾，排除D。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心是抓住同一参数在不同函数中的符号保持一致，优先通过二次项系数a排除部分选项，再结合截距、对称轴等信息进一步验证，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
6.函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - x(-2≤ x≤ 2)$的最大值和最小值分别为(
A.$\dfrac{1}{2}$和$-4$
B.$0$和$-4$
C.$\dfrac{1}{2}$和$0$
D.$\dfrac{1}{2}$和$-6$
A
).A.$\dfrac{1}{2}$和$-4$
B.$0$和$-4$
C.$\dfrac{1}{2}$和$0$
D.$\dfrac{1}{2}$和$-6$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是二次函数在给定闭区间内求最值的问题，解题思路如下：①先确定二次函数的开口方向：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处取得函数最大值；②计算抛物线的对称轴，判断对称轴是否在给定区间$[-2,2]$内：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a$、$b$值可得到对称轴位置，若对称轴在区间内，则最大值在顶点处取得，最小值需比较区间两个端点的函数值，取较小的为最小值；③分别计算顶点和两个端点的函数值，比较大小即可得到结果。
【解析】
先将函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2 - x\\&=-\frac{1}{2}(x^2 + 2x)\\&=-\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 -1)\\&=-\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2}\end{aligned}$
由顶点式可知：抛物线开口向下，顶点坐标为$(-1,\frac{1}{2})$，且$-1\in[-2,2]$，所以当$x=-1$时，函数取得最大值$\frac{1}{2}$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)^2 - (-2) = -2 + 2 = 0$；
当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×2^2 - 2 = -2 - 2 = -4$。
比较$0$和$-4$，可得函数最小值为$-4$。
综上，函数最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算
【点评】
本题核心是结合二次函数开口方向、对称轴位置和给定区间范围求解最值，易错点是忽略定义域限制，直接默认顶点为唯一最值点，解题时需注意比较区间端点的函数值。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在给定闭区间内求最值的问题，解题思路如下：①先确定二次函数的开口方向：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处取得函数最大值；②计算抛物线的对称轴，判断对称轴是否在给定区间$[-2,2]$内：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a$、$b$值可得到对称轴位置，若对称轴在区间内，则最大值在顶点处取得，最小值需比较区间两个端点的函数值，取较小的为最小值；③分别计算顶点和两个端点的函数值，比较大小即可得到结果。
【解析】
先将函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2 - x\\&=-\frac{1}{2}(x^2 + 2x)\\&=-\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 -1)\\&=-\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2}\end{aligned}$
由顶点式可知：抛物线开口向下，顶点坐标为$(-1,\frac{1}{2})$，且$-1\in[-2,2]$，所以当$x=-1$时，函数取得最大值$\frac{1}{2}$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)^2 - (-2) = -2 + 2 = 0$；
当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×2^2 - 2 = -2 - 2 = -4$。
比较$0$和$-4$，可得函数最小值为$-4$。
综上，函数最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算
【点评】
本题核心是结合二次函数开口方向、对称轴位置和给定区间范围求解最值，易错点是忽略定义域限制，直接默认顶点为唯一最值点，解题时需注意比较区间端点的函数值。
【难度系数】
0.7
7. 如图,等腰直角三角形ABC与矩形DEFG在同一水平线上,AB=DE=2,DG=3,现将等腰直角三角形ABC沿箭头所指方向水平平移,平移距离x是自点C到达DE上开始计算,至AB离开GF为止.等腰直角三角形ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y,则能大致反映y与x的函数关系的图象为(
B
).答案
7. B
解析
【分析】
解题时需根据等腰直角三角形的平移过程，分3个阶段分析重合面积y随平移距离x的变化规律：
1. 先确定等腰直角三角形的基本参数：AB=2是斜边，因此斜边上的高为斜边的一半即1，三角形总面积为$\frac{1}{2} × 2 × 1=1$；矩形水平长度DG=3，竖直高度DE=2，足够容纳整个三角形。
2. 第一阶段：平移距离$0≤ x≤1$，三角形从点C接触DE开始到完全进入矩形，重合部分是高为x的等腰直角三角形，面积随x的增大呈二次函数增长，开口向上。
3. 第二阶段：平移距离$1＜ x≤3$，三角形完全位于矩形内部，重合面积等于三角形的固定面积1，保持不变。
4. 第三阶段：平移距离$3＜ x≤4$，三角形从AB接触GF开始到完全离开矩形，重合部分是高为$(4-x)$的等腰直角三角形，面积随x的增大呈二次函数减小，开口向上。
结合三个阶段的函数特征匹配图像即可。
【解析】
首先计算等腰直角$△ ABC$的参数：斜边$AB=2$，则斜边上的高为$\frac{1}{2}AB=1$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 2 ×1=1$。
分三个阶段分析y与x的关系：
1. 当$0≤ x≤1$时，重合部分为等腰直角三角形，斜边长为$2x$，对应高为$x$，因此$y=\frac{1}{2} × 2x × x=x^2$，是开口向上的抛物线的一段，y随x增大而增大，当x=1时，y=1。
2. 当$1＜ x≤3$时，整个$△ ABC$都在矩形DEFG内部，重合面积等于三角形面积，即$y=1$，图像为水平线段。
3. 当$3＜ x≤4$时，重合部分为等腰直角三角形，高为$(4-x)$，斜边长为$2(4-x)$，因此$y=\frac{1}{2} × 2(4-x) × (4-x)=(4-x)^2$，是开口向上的抛物线的一段，y随x增大而减小，当x=4时，y=0。
综上，符合该变化规律的图像为选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；等腰直角三角形的性质；平移的性质
【点评】
本题考查动态问题的函数图像判断，解题关键是将平移过程分段，结合几何图形的性质分别求出每段的函数解析式，再根据函数的性质判断图像特征，注意区分不同阶段的变化趋势。
【难度系数】
0.7
解题时需根据等腰直角三角形的平移过程，分3个阶段分析重合面积y随平移距离x的变化规律：
1. 先确定等腰直角三角形的基本参数：AB=2是斜边，因此斜边上的高为斜边的一半即1，三角形总面积为$\frac{1}{2} × 2 × 1=1$；矩形水平长度DG=3，竖直高度DE=2，足够容纳整个三角形。
2. 第一阶段：平移距离$0≤ x≤1$，三角形从点C接触DE开始到完全进入矩形，重合部分是高为x的等腰直角三角形，面积随x的增大呈二次函数增长，开口向上。
3. 第二阶段：平移距离$1＜ x≤3$，三角形完全位于矩形内部，重合面积等于三角形的固定面积1，保持不变。
4. 第三阶段：平移距离$3＜ x≤4$，三角形从AB接触GF开始到完全离开矩形，重合部分是高为$(4-x)$的等腰直角三角形，面积随x的增大呈二次函数减小，开口向上。
结合三个阶段的函数特征匹配图像即可。
【解析】
首先计算等腰直角$△ ABC$的参数：斜边$AB=2$，则斜边上的高为$\frac{1}{2}AB=1$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 2 ×1=1$。
分三个阶段分析y与x的关系：
1. 当$0≤ x≤1$时，重合部分为等腰直角三角形，斜边长为$2x$，对应高为$x$，因此$y=\frac{1}{2} × 2x × x=x^2$，是开口向上的抛物线的一段，y随x增大而增大，当x=1时，y=1。
2. 当$1＜ x≤3$时，整个$△ ABC$都在矩形DEFG内部，重合面积等于三角形面积，即$y=1$，图像为水平线段。
3. 当$3＜ x≤4$时，重合部分为等腰直角三角形，高为$(4-x)$，斜边长为$2(4-x)$，因此$y=\frac{1}{2} × 2(4-x) × (4-x)=(4-x)^2$，是开口向上的抛物线的一段，y随x增大而减小，当x=4时，y=0。
综上，符合该变化规律的图像为选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；等腰直角三角形的性质；平移的性质
【点评】
本题考查动态问题的函数图像判断，解题关键是将平移过程分段，结合几何图形的性质分别求出每段的函数解析式，再根据函数的性质判断图像特征，注意区分不同阶段的变化趋势。
【难度系数】
0.7
8.已知函数$y=(m-3)x^{m^2 -7}$是二次函数，则$m$的值为
-3
.答案
8. -3
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义思考。二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，式子会退化为常数函数，不再是二次函数）。因此我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \quad \mathrm{①} \\m - 3 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2 = 9$，开平方解得$m = 3$或$m = -3$。
解②式：移项得$m ≠ 3$。
结合两个条件，m只能取$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一元二次方程的解法
3.不等式的基本性质
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接由$m^2=9$得到$m=\pm3$的错误结论，解题时需注意检验二次项系数是否符合要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义思考。二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，式子会退化为常数函数，不再是二次函数）。因此我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \quad \mathrm{①} \\m - 3 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2 = 9$，开平方解得$m = 3$或$m = -3$。
解②式：移项得$m ≠ 3$。
结合两个条件，m只能取$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一元二次方程的解法
3.不等式的基本性质
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接由$m^2=9$得到$m=\pm3$的错误结论，解题时需注意检验二次项系数是否符合要求。
【难度系数】
0.7
9.一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与y轴的交点坐标为(0，－4)，则这个二次函数的解析式是
$y=-\frac{1}{3}x^2+2x-4$
.答案
9. $y=-\frac{1}{3}x^2+2x-4$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解解析式，仅需计算1个未知系数，比设一般式更简便。首先将顶点坐标代入顶点式标准形式，再代入y轴交点坐标求出未知系数，最后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数的顶点坐标为(3, -1)
∴ 设二次函数解析式为顶点式：$ y=a(x-3)^2-1 $（$a ≠ 0$）
将y轴交点(0, -4)代入解析式，得：
$ -4 = a(0-3)^2 -1 $
化简计算：
$ -4 = 9a -1 $
$ 9a = -3 $
解得 $ a=-\frac{1}{3} $
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理为一般式：
$ y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 -1 $
$ = -\frac{1}{3}(x^2 -6x +9) -1 $
$ = -\frac{1}{3}x^2 +2x -3 -1 $
$ = -\frac{1}{3}x^2 +2x -4 $
【答案】
$ y=-\frac{1}{3}x^2+2x-4 $
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题，已知顶点坐标时选用顶点式可简化计算，要熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景，灵活选用最优形式解题。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解解析式，仅需计算1个未知系数，比设一般式更简便。首先将顶点坐标代入顶点式标准形式，再代入y轴交点坐标求出未知系数，最后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数的顶点坐标为(3, -1)
∴ 设二次函数解析式为顶点式：$ y=a(x-3)^2-1 $（$a ≠ 0$）
将y轴交点(0, -4)代入解析式，得：
$ -4 = a(0-3)^2 -1 $
化简计算：
$ -4 = 9a -1 $
$ 9a = -3 $
解得 $ a=-\frac{1}{3} $
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理为一般式：
$ y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 -1 $
$ = -\frac{1}{3}(x^2 -6x +9) -1 $
$ = -\frac{1}{3}x^2 +2x -3 -1 $
$ = -\frac{1}{3}x^2 +2x -4 $
【答案】
$ y=-\frac{1}{3}x^2+2x-4 $
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题，已知顶点坐标时选用顶点式可简化计算，要熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景，灵活选用最优形式解题。
【难度系数】
0.8
10.若二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，则实数$n=$
4
.答案
10. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程根的判别式Δ的关系：当二次函数与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0。接下来我们先确定二次函数各项系数a、b、c的值，代入Δ=0的公式求解n即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点
∴ 一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在二次函数$y=x^2 -4x +n$中，$a=1$，$b=-4$，$c=n$，代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
$16 - 4n = 0$
解得：$n=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握Δ＞0、Δ=0、Δ＜0分别对应的交点个数规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程根的判别式Δ的关系：当二次函数与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0。接下来我们先确定二次函数各项系数a、b、c的值，代入Δ=0的公式求解n即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点
∴ 一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在二次函数$y=x^2 -4x +n$中，$a=1$，$b=-4$，$c=n$，代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
$16 - 4n = 0$
解得：$n=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握Δ＞0、Δ=0、Δ＜0分别对应的交点个数规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
