登录
6. (2024·黑龙江中考)甲、乙两货车分别从相距225km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是______km/h,乙货车的速度是______km/h;
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
(1)甲货车到达配货站之前的速度是______km/h,乙货车的速度是______km/h;
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
答案
(1) 30 40 解析：由图象可知甲货车到达配货站路程为105 km，所用时间为3.5 h，$\therefore$ 甲货车到达配货站之前的速度是 $105\div3.5 = 30(km/h)$。$\because$ 乙货车到达配货站路程为 $225 - 105 = 120(km)$，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240 km，总时间是6 h，$\therefore$ 乙货车速度是 $240\div6 = 40(km/h)$。
(2) 甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知 $E(4, 105)$ 和 $F(5.5, 225)$，设 $y_{EF} = kx + b(4\leqslant x\leqslant5.5)$，$\therefore\begin{cases}4k + b = 105 \\ 5.5k + b = 225\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 80 \\ b = -215\end{cases}$，$\therefore$ 甲货车距A地的距离 $y(km)$ 与行驶时间 $x(h)$ 之间的函数表达式是 $y = 80x - 215(4\leqslant x\leqslant5.5)$。
(3) 经过1.5 h或 $\frac{45}{14}$ h或5 h，甲、乙两货车与配货站距离相等。
解析：设甲货车出发x h，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：$105 - 30x = 120 - 40x$，解得 $x = \frac{3}{2}$；②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：$105 - 30x = 40x - 120$，解得 $x = \frac{45}{14}$；③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：$80x - 215 - 105 = 40x - 120$，解得 $x = 5$。$\therefore$ 经过1.5 h或 $\frac{45}{14}$ h或5 h，甲、乙两货车与配货站的距离相等。
(2) 甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知 $E(4, 105)$ 和 $F(5.5, 225)$，设 $y_{EF} = kx + b(4\leqslant x\leqslant5.5)$，$\therefore\begin{cases}4k + b = 105 \\ 5.5k + b = 225\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 80 \\ b = -215\end{cases}$，$\therefore$ 甲货车距A地的距离 $y(km)$ 与行驶时间 $x(h)$ 之间的函数表达式是 $y = 80x - 215(4\leqslant x\leqslant5.5)$。
(3) 经过1.5 h或 $\frac{45}{14}$ h或5 h，甲、乙两货车与配货站距离相等。
解析：设甲货车出发x h，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：$105 - 30x = 120 - 40x$，解得 $x = \frac{3}{2}$；②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：$105 - 30x = 40x - 120$，解得 $x = \frac{45}{14}$；③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：$80x - 215 - 105 = 40x - 120$，解得 $x = 5$。$\therefore$ 经过1.5 h或 $\frac{45}{14}$ h或5 h，甲、乙两货车与配货站的距离相等。
7. (襄阳中考)为了振兴乡村经济,我市某镇鼓励广大农户种植山药,并精加工成甲、乙两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品,甲种产品进价为8元/千克;乙种产品的进货总金额y(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:千克)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/千克和18元/千克.
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时,y与x之间的函数关系式;
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000千克,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600千克,且不高于4000千克,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润= 销售额-成本),请求出w(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:千克)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案;
(3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低a元/千克和2a元/千克,全部售出后所获总利润不低于15000元,求a的最大值.
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时,y与x之间的函数关系式;
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000千克,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600千克,且不高于4000千克,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润= 销售额-成本),请求出w(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:千克)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案;
(3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低a元/千克和2a元/千克,全部售出后所获总利润不低于15000元,求a的最大值.
答案
(1) 当 $0\leqslant x\leqslant2000$ 时，设 $y = k'x$，根据题意可得，$2000k' = 30000$，解得 $k' = 15$，$\therefore y = 15x$。当 $x ＞ 2000$ 时，设 $y = kx + b$，根据题意可得 $\begin{cases}2000k + b = 30000 \\ 4000k + b = 56000\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 13 \\ b = 4000\end{cases}$，$\therefore y = 13x + 4000$。$\therefore y = \begin{cases}15x(0\leqslant x\leqslant2000) \\ 13x + 4000(x ＞ 2000)\end{cases}$。
(2) 根据题意可知，购进甲种产品 $(6000 - x)$ 千克，$\therefore1600\leqslant x\leqslant4000$，当 $1600\leqslant x\leqslant2000$ 时，$w = (12 - 8)\times(6000 - x) + (18 - 15)\cdot x = -x + 24000$，$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$ 当 $x = 1600$ 时，w的最大值为 $-1\times1600 + 24000 = 22400$（元）。当 $2000 ＜ x\leqslant4000$ 时，$w = (12 - 8)\times(6000 - x) + 18x - (13x + 4000) = x + 20000$。$\because1 ＞ 0$，$\therefore$ 当 $x = 4000$ 时，w的最大值为 $4000 + 20000 = 24000$（元）。综上，$w = \begin{cases}-x + 24000(1600\leqslant x\leqslant2000) \\ x + 20000(2000 ＜ x\leqslant4000)\end{cases}$，当购进甲种产品2000千克，乙种产品4000千克时，利润最大为24000元。
(3) 根据题意可知，降价后，$w = (12 - 8 - a)\times(6000 - x) + (18 - 2a)x - (13x + 4000) = (1 - a)x + 20000 - 6000a$，当 $x = 4000$ 时，w取得最大值。$\therefore(1 - a)\times4000 + 20000 - 6000a\geqslant15000$，解得 $a\leqslant0.9$。$\therefore a$ 的最大值为0.9。
(2) 根据题意可知，购进甲种产品 $(6000 - x)$ 千克，$\therefore1600\leqslant x\leqslant4000$，当 $1600\leqslant x\leqslant2000$ 时，$w = (12 - 8)\times(6000 - x) + (18 - 15)\cdot x = -x + 24000$，$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$ 当 $x = 1600$ 时，w的最大值为 $-1\times1600 + 24000 = 22400$（元）。当 $2000 ＜ x\leqslant4000$ 时，$w = (12 - 8)\times(6000 - x) + 18x - (13x + 4000) = x + 20000$。$\because1 ＞ 0$，$\therefore$ 当 $x = 4000$ 时，w的最大值为 $4000 + 20000 = 24000$（元）。综上，$w = \begin{cases}-x + 24000(1600\leqslant x\leqslant2000) \\ x + 20000(2000 ＜ x\leqslant4000)\end{cases}$，当购进甲种产品2000千克，乙种产品4000千克时，利润最大为24000元。
(3) 根据题意可知，降价后，$w = (12 - 8 - a)\times(6000 - x) + (18 - 2a)x - (13x + 4000) = (1 - a)x + 20000 - 6000a$，当 $x = 4000$ 时，w取得最大值。$\therefore(1 - a)\times4000 + 20000 - 6000a\geqslant15000$，解得 $a\leqslant0.9$。$\therefore a$ 的最大值为0.9。
