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17. (8分)计算:
(1)$( 2 \sqrt { 8 } - \sqrt { 6 } ) \div \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { \frac { 1 } { 3 } }$;
(2)$\sqrt { 48 } \div \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \times \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 }$;
(3)$\sqrt { 2 } \times ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 10 } ) + ( 1 + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$;
(4)$( 2 \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 2 ) ( \sqrt { 3 } - 2 )$.
(1)$( 2 \sqrt { 8 } - \sqrt { 6 } ) \div \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { \frac { 1 } { 3 } }$;
(2)$\sqrt { 48 } \div \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \times \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 }$;
(3)$\sqrt { 2 } \times ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 10 } ) + ( 1 + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$;
(4)$( 2 \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 2 ) ( \sqrt { 3 } - 2 )$.
答案
【解析】：
(1)
$\begin{aligned}&(2\sqrt{8}-\sqrt{6})\div\sqrt{2}+3\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{8}\div\sqrt{2}-\sqrt{6}\div\sqrt{2}+3\times\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&2\sqrt{8\div2}-\sqrt{6\div2}+\sqrt{3}\\=&2\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}\\=&2\times2-\sqrt{3}+\sqrt{3}\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}\\=&\sqrt{48\div3}-\sqrt{\frac{1}{2}\times12}+2\sqrt{6}\\=&\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\=&4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\=&4 + \sqrt{6}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{2}\times(\sqrt{3}-\sqrt{10})+(1 + \sqrt{5})^2\\=&\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{2}\times\sqrt{10}+1 + 2\sqrt{5}+5\\=&\sqrt{6}-\sqrt{20}+6 + 2\sqrt{5}\\=&\sqrt{6}-2\sqrt{5}+6 + 2\sqrt{5}\\=&6+\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)\\=&(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times1 + 1^2+(\sqrt{3})^2-2^2\\=&12-4\sqrt{3}+1 + 3 - 4\\=&(12 + 1+3 - 4)-4\sqrt{3}\\=&12-4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】：(1)4；(2)$4 + \sqrt{6}$；(3)$6+\sqrt{6}$；(4)$12-4\sqrt{3}$
(1)
$\begin{aligned}&(2\sqrt{8}-\sqrt{6})\div\sqrt{2}+3\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{8}\div\sqrt{2}-\sqrt{6}\div\sqrt{2}+3\times\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&2\sqrt{8\div2}-\sqrt{6\div2}+\sqrt{3}\\=&2\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}\\=&2\times2-\sqrt{3}+\sqrt{3}\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}\\=&\sqrt{48\div3}-\sqrt{\frac{1}{2}\times12}+2\sqrt{6}\\=&\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\=&4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\=&4 + \sqrt{6}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{2}\times(\sqrt{3}-\sqrt{10})+(1 + \sqrt{5})^2\\=&\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{2}\times\sqrt{10}+1 + 2\sqrt{5}+5\\=&\sqrt{6}-\sqrt{20}+6 + 2\sqrt{5}\\=&\sqrt{6}-2\sqrt{5}+6 + 2\sqrt{5}\\=&6+\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)\\=&(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times1 + 1^2+(\sqrt{3})^2-2^2\\=&12-4\sqrt{3}+1 + 3 - 4\\=&(12 + 1+3 - 4)-4\sqrt{3}\\=&12-4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】：(1)4；(2)$4 + \sqrt{6}$；(3)$6+\sqrt{6}$；(4)$12-4\sqrt{3}$
18. (6分)如图,在直角三角形$O A B$中,$\angle A O B = 90 ^ { \circ }$,$O A = 1$,$O B = 2$,折叠$\triangle O A B$,使点$B$与点$A$重合,折痕与边$O B$交于点$C$,与边$A B$交于点$D$.
(1)求$A B$的长
(2)求$O C$的长
(1)求$A B$的长
$\sqrt{5}$
;(2)求$O C$的长
$\frac{3}{4}$
.答案
【解析】：
### $(1)$求$AB$的长
在$Rt\triangle OAB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OA = 1$，$OB = 2$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。
将$OA = 1$，$OB = 2$代入可得：$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
### $(2)$求$OC$的长
由折叠性质可知$AC = BC$。
设$OC=x$，则$BC = AC=2 - x$。
在$Rt\triangle AOC$中，$\angle AOC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$OA^{2}+OC^{2}=AC^{2}$。
已知$OA = 1$，$OC=x$，$AC = 2 - x$，代入可得：
$1^{2}+x^{2}=(2 - x)^{2}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$展开$(2 - x)^{2}$得：
$1+x^{2}=4-4x+x^{2}$
移项可得：$4x=4 - 1$
即$4x=3$，解得$x=\frac{3}{4}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
### $(1)$求$AB$的长
在$Rt\triangle OAB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OA = 1$，$OB = 2$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。
将$OA = 1$，$OB = 2$代入可得：$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
### $(2)$求$OC$的长
由折叠性质可知$AC = BC$。
设$OC=x$，则$BC = AC=2 - x$。
在$Rt\triangle AOC$中，$\angle AOC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$OA^{2}+OC^{2}=AC^{2}$。
已知$OA = 1$，$OC=x$，$AC = 2 - x$，代入可得：
$1^{2}+x^{2}=(2 - x)^{2}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$展开$(2 - x)^{2}$得：
$1+x^{2}=4-4x+x^{2}$
移项可得：$4x=4 - 1$
即$4x=3$，解得$x=\frac{3}{4}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
