如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，D是BC边延长线上的一点，并且$CD = CA$，$∠ ADC = 15°$，试说明AB与CD的数量关系。

$AB=\frac{1}{2}CD$.理由如下：
因为$CD=CA,∠ADC=15°$,
所以$∠CAD=∠ADC=15°$,
所以$∠ACB=∠CAD+∠ADC=30°$.
在$Rt△ABC$中,$∠B=90°,∠ACB=30°$,
所以$AB=\frac{1}{2}AC$,所以$AB=\frac{1}{2}CD$.

1. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°,∠C＝90°,AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）


A.2 km
B.3 km
C.$2\sqrt{3}$ km
D.4 km

1.D 【解析】因为$∠C=90°,∠A=60°$,
所以$∠B=30°$,所以$AB=2AC$.因为$AC=2\ \mathrm{km}$,所以$AB=4\ \mathrm{km}$.

2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC＜AC$.点$D$,$E$分别在边$AB$,$BC$上,连接$DE$,将$△ BDE$沿$DE$折叠,点$B$的对应点为点$B'$,若点$B'$刚好落在边$AC$上,$∠ CB'E=30°$,$CE=3$,则$BC$的长为.

2.9 【解析】由折叠知,$B'E=BE$.
在$Rt△B'EC$中,$∠CB'E=30°,CE=3$,
所以$B'E=2CE=6$,所以$BE=6$,
所以$BC=CE+BE=3+6=9$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,分别以$B$,$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧交于点$D$,连接$BD$,$CD$,$AD$,$AD$与$BC$交于点$E$.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACD$;
(2)若$BD=2$,$∠ BDC=120°$,求$DE$的长.

3.(1)【证明】由作图知$BD=CD$.
在$△ABD$和$△ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△ACD(\mathrm{SSS})$.
(2)【解】因为$△ABD≌△ACD,∠BDC=120°$,所以$∠BDA=∠CDA=\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×120°=60°$.
因为$BD=CD$,所以$DA⊥BC,∠DBE=30°$.
因为$BD=2$,所以$DE=1$.