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基础知识·预习
问题1 用因式分解法解一元二次方程的依据是什么？
问题2 分解因式后，为什么要让每个因式分别等于0？
问题3 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
问题1 用因式分解法解一元二次方程的依据是什么？
问题2 分解因式后，为什么要让每个因式分别等于0？
问题3 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案
1. 因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若a·b=0，则a=0或b=0。
2. 分解因式后方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，依据“两数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，让每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为可直接求解的一元一次方程，进而得到原方程的解。
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边整理为0；② 把方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④ 求解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
2. 分解因式后方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，依据“两数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，让每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为可直接求解的一元一次方程，进而得到原方程的解。
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边整理为0；② 把方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④ 求解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
解析
【分析】
这三个问题围绕因式分解法解一元二次方程的核心逻辑展开，可按如下思路思考：
1. 思考依据时，抓住因式分解法的核心是将方程变形为两个因式乘积为0的形式，对应数学中“乘积为0的若干因式中至少有一个因式为0”的基本性质即可推导答案；
2. 思考令各因式为0的原因时，结合一元二次方程求解的核心目标是“降次”，利用上述乘积为0的性质，可将二次方程转化为两个一次方程，实现降次求解的目的；
3. 思考解题步骤时，遵循解方程的逻辑顺序：首先要满足“乘积为0”的应用前提，因此先将方程右侧整理为0，再将左侧分解为两个一次因式的乘积，之后令各因式分别为0得到两个一元一次方程，最后求解一次方程即可得到原二次方程的解。
【解析】
问题1：因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为两个因式乘积为0的形式，其依据为“如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0”，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：一元二次方程含有二次项，无法直接求解，分解因式后方程变为两个一次因式乘积为0的形式，依据乘积为0的性质，令每个因式分别为0，就能把二次方程降次转化为两个一元一次方程，从而实现求解。
问题3：按照“满足性质应用前提→分解因式→降次→求解”的逻辑，步骤如下：① 先将方程右边整理为0，符合乘积为0的应用条件；② 把方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，完成降次；④ 求解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
【答案】
1. 因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
2. 分解因式后方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，依据“两数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，让每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为可直接求解的一元一次方程，进而得到原方程的解。
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边整理为0；② 把方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④ 求解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、因式分解、降次转化
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对因式分解法解方程的底层逻辑和操作流程的掌握，吃透这些内容能大幅提升用因式分解法解方程的熟练度和准确率。
【难度系数】
0.8
这三个问题围绕因式分解法解一元二次方程的核心逻辑展开，可按如下思路思考：
1. 思考依据时，抓住因式分解法的核心是将方程变形为两个因式乘积为0的形式，对应数学中“乘积为0的若干因式中至少有一个因式为0”的基本性质即可推导答案；
2. 思考令各因式为0的原因时，结合一元二次方程求解的核心目标是“降次”，利用上述乘积为0的性质，可将二次方程转化为两个一次方程，实现降次求解的目的；
3. 思考解题步骤时，遵循解方程的逻辑顺序：首先要满足“乘积为0”的应用前提，因此先将方程右侧整理为0，再将左侧分解为两个一次因式的乘积，之后令各因式分别为0得到两个一元一次方程，最后求解一次方程即可得到原二次方程的解。
【解析】
问题1：因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为两个因式乘积为0的形式，其依据为“如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0”，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：一元二次方程含有二次项，无法直接求解，分解因式后方程变为两个一次因式乘积为0的形式，依据乘积为0的性质，令每个因式分别为0，就能把二次方程降次转化为两个一元一次方程，从而实现求解。
问题3：按照“满足性质应用前提→分解因式→降次→求解”的逻辑，步骤如下：① 先将方程右边整理为0，符合乘积为0的应用条件；② 把方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，完成降次；④ 求解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
【答案】
1. 因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
2. 分解因式后方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，依据“两数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，让每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为可直接求解的一元一次方程，进而得到原方程的解。
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：① 将方程的右边整理为0；② 把方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④ 求解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、因式分解、降次转化
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对因式分解法解方程的底层逻辑和操作流程的掌握，吃透这些内容能大幅提升用因式分解法解方程的熟练度和准确率。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】用因式分解法解下列方程.
(1)$x^2 -7x=-12$.
(2)$(x-3)^2=7x-21$.
(3)$(3x-1)^2=4(2x+3)^2$.
【解】(1)移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2)整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3)整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
(1)$x^2 -7x=-12$.
(2)$(x-3)^2=7x-21$.
(3)$(3x-1)^2=4(2x+3)^2$.
【解】(1)移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2)整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3)整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
答案
(1) 移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2) 整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3) 整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2) 整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3) 整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。解题时先将方程调整为右侧为0的形式，再根据左侧式子的特征选择对应因式分解方法：
(1) 先移项把常数项移到左侧，得到标准二次三项式，观察系数可采用十字相乘法分解因式；
(2) 先将右侧的$7x-21$变形为$7(x-3)$，移项到左侧后将$(x-3)$看作整体，用提公因式法分解；
(3) 把右侧的项移到左侧后，式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2) 整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3) 整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=4$；(2)$x_1=3,x_2=10$；(3)$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，覆盖了十字相乘法、整体提公因式法、平方差公式三种常见的因式分解应用场景。解题时注意不要随意约去含有未知数的公因式，避免出现漏根的情况，熟练掌握各类因式分解方法可大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。解题时先将方程调整为右侧为0的形式，再根据左侧式子的特征选择对应因式分解方法：
(1) 先移项把常数项移到左侧，得到标准二次三项式，观察系数可采用十字相乘法分解因式；
(2) 先将右侧的$7x-21$变形为$7(x-3)$，移项到左侧后将$(x-3)$看作整体，用提公因式法分解；
(3) 把右侧的项移到左侧后，式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2) 整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3) 整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$.
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=4$；(2)$x_1=3,x_2=10$；(3)$x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，覆盖了十字相乘法、整体提公因式法、平方差公式三种常见的因式分解应用场景。解题时注意不要随意约去含有未知数的公因式，避免出现漏根的情况，熟练掌握各类因式分解方法可大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.8
