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基础知识·预习
问题1 一元二次方程的根的判别式是什么？
问题2 不解方程，怎么用判别式判断一元二次方程根的情况？
问题1 一元二次方程的根的判别式是什么？
问题2 不解方程，怎么用判别式判断一元二次方程根的情况？
答案
问题1. 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，b²-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ = b² - 4ac。
问题2. 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)：
① 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
② 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③ 当Δ＜0时，方程没有实数根。
问题2. 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)：
① 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
② 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③ 当Δ＜0时，方程没有实数根。
解析
【分析】
这两个问题属于一元二次方程根的判别式的基础概念题，解题思路如下：
1. 回答判别式定义时，首先要明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$这个前提，再明确判别式对应的代数式、符号表示即可；
2. 回答用判别式判断根的情况时，按照判别式$\Delta$与0的三种大小关系，分别对应写出对应的根的情况即可，注意不要遗漏“$a\ne0$”的前提条件。
【解析】
问题1：我们约定一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，在这个形式下，代数式$b^2-4ac$就是用来判断方程根的情况的核心式子，叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”来表示，因此可以记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：针对标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，根据判别式的取值可以分三类判断根的情况：
① 当$\Delta＞0$时，方程开方后会得到两个不同的结果，因此有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程开方后得到两个相同的结果，因此有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，负数在实数范围内没有平方根，因此方程没有实数根。
【答案】
问题1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“$\Delta$”表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
① 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【知识点】
1. 根的判别式定义
2. 判别式判断根的情况
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础识记类题目，是后续利用判别式解决方程求解、参数求解等问题的核心基础，需要准确记忆判别式的表达式以及三种取值对应的根的情况，尤其要注意相关结论的适用前提是一元二次方程。
【难度系数】
0.9
这两个问题属于一元二次方程根的判别式的基础概念题，解题思路如下：
1. 回答判别式定义时，首先要明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$这个前提，再明确判别式对应的代数式、符号表示即可；
2. 回答用判别式判断根的情况时，按照判别式$\Delta$与0的三种大小关系，分别对应写出对应的根的情况即可，注意不要遗漏“$a\ne0$”的前提条件。
【解析】
问题1：我们约定一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，在这个形式下，代数式$b^2-4ac$就是用来判断方程根的情况的核心式子，叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”来表示，因此可以记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：针对标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，根据判别式的取值可以分三类判断根的情况：
① 当$\Delta＞0$时，方程开方后会得到两个不同的结果，因此有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程开方后得到两个相同的结果，因此有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，负数在实数范围内没有平方根，因此方程没有实数根。
【答案】
问题1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“$\Delta$”表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
① 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【知识点】
1. 根的判别式定义
2. 判别式判断根的情况
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础识记类题目，是后续利用判别式解决方程求解、参数求解等问题的核心基础，需要准确记忆判别式的表达式以及三种取值对应的根的情况，尤其要注意相关结论的适用前提是一元二次方程。
【难度系数】
0.9
【典型例题】当$m$为何值时，关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^2-(2m-3)x=-m-1$：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
【解】原方程可化为$(m+1)x^2-(2m-3)x+m+1=0$，$\Delta = b^2 -4ac = [-(2m-3)]^2 -4×(m+1)^2 = -20m +5$，易知$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
(1)当$-20m +5＞0$，且$m≠-1$，即$m＜\frac{1}{4}$，且$m≠-1$时，原方程有两个不相等的实数根。
(2)当$-20m +5=0$，且$m≠-1$，即$m=\frac{1}{4}$时，原方程有两个相等的实数根。
(3)当$-20m +5＜0$，且$m≠-1$，即$m＞\frac{1}{4}$时，原方程没有实数根。
规律方法 解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于参数的不等式(或方程)，进而求解。
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
【解】原方程可化为$(m+1)x^2-(2m-3)x+m+1=0$，$\Delta = b^2 -4ac = [-(2m-3)]^2 -4×(m+1)^2 = -20m +5$，易知$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
(1)当$-20m +5＞0$，且$m≠-1$，即$m＜\frac{1}{4}$，且$m≠-1$时，原方程有两个不相等的实数根。
(2)当$-20m +5=0$，且$m≠-1$，即$m=\frac{1}{4}$时，原方程有两个相等的实数根。
(3)当$-20m +5＜0$，且$m≠-1$，即$m＞\frac{1}{4}$时，原方程没有实数根。
规律方法 解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于参数的不等式(或方程)，进而求解。
答案
原方程可化为$(m+1)x^2-(2m-3)x+m+1=0$，$\Delta = b^2 -4ac = [-(2m-3)]^2 -4×(m+1)^2 = -20m +5$，易知$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
(1) 当$-20m +5＞0$，且$m≠-1$，即$m＜\frac{1}{4}$，且$m≠-1$时，原方程有两个不相等的实数根。
(2) 当$-20m +5=0$，且$m≠-1$，即$m=\frac{1}{4}$时，原方程有两个相等的实数根。
(3) 当$-20m +5＜0$，且$m≠-1$，即$m＞\frac{1}{4}$时，原方程没有实数根。
规律方法 解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于参数的不等式(或方程)，进而求解。
(1) 当$-20m +5＞0$，且$m≠-1$，即$m＜\frac{1}{4}$，且$m≠-1$时，原方程有两个不相等的实数根。
(2) 当$-20m +5=0$，且$m≠-1$，即$m=\frac{1}{4}$时，原方程有两个相等的实数根。
(3) 当$-20m +5＜0$，且$m≠-1$，即$m＞\frac{1}{4}$时，原方程没有实数根。
规律方法 解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于参数的不等式(或方程)，进而求解。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确题干指明是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，得到m的取值前提。第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，第二步代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出判别式的表达式。接下来根据不同根的情况对应判别式的取值规则：有两个不相等的实数根对应$\Delta＞0$，有两个相等的实数根对应$\Delta=0$，没有实数根对应$\Delta＜0$，分别列出关于m的不等式或方程，求解后结合二次项系数不为0的前提，即可得到最终结果。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：$(m+1)x^2-(2m-3)x+m+1=0$，
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m+1≠0$，解得$m≠-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = [-(2m-3)]^2 -4×(m+1)^2 = 4m^2-12m+9 - 4(m^2+2m+1) = -20m +5$。
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$且$m≠-1$，
即$-20m+5＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$，
所以此时m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠-1$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$且$m≠-1$，
即$-20m+5=0$，解得$m=\frac{1}{4}$，符合$m≠-1$的要求；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$且$m≠-1$，
即$-20m+5＜0$，解得$m＞\frac{1}{4}$，符合$m≠-1$的要求。
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{4}$且$m≠-1$；
(2) $m=\frac{1}{4}$；
(3) $m＞\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，掌握根的情况与判别式正负的对应关系，结合限制条件求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确题干指明是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，得到m的取值前提。第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，第二步代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出判别式的表达式。接下来根据不同根的情况对应判别式的取值规则：有两个不相等的实数根对应$\Delta＞0$，有两个相等的实数根对应$\Delta=0$，没有实数根对应$\Delta＜0$，分别列出关于m的不等式或方程，求解后结合二次项系数不为0的前提，即可得到最终结果。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：$(m+1)x^2-(2m-3)x+m+1=0$，
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m+1≠0$，解得$m≠-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = [-(2m-3)]^2 -4×(m+1)^2 = 4m^2-12m+9 - 4(m^2+2m+1) = -20m +5$。
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$且$m≠-1$，
即$-20m+5＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$，
所以此时m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠-1$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$且$m≠-1$，
即$-20m+5=0$，解得$m=\frac{1}{4}$，符合$m≠-1$的要求；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$且$m≠-1$，
即$-20m+5＜0$，解得$m＞\frac{1}{4}$，符合$m≠-1$的要求。
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{4}$且$m≠-1$；
(2) $m=\frac{1}{4}$；
(3) $m＞\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，掌握根的情况与判别式正负的对应关系，结合限制条件求解即可。
【难度系数】
0.7
一元二次方程$2x^2 -5x -1=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式Δ求解，解题思路分三步：第一步从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中确定各项系数$a、b、c$，注意要带上系数的符号；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算数值；第三步根据Δ的正负性对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x -1=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$可得：
$a=2$，$b=-5$，$c=-1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-1)=25+8=33$
因为$\Delta=33＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用考题，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记判别式取值和根的情况的对应规则，计算时注意负号的处理即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式Δ求解，解题思路分三步：第一步从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中确定各项系数$a、b、c$，注意要带上系数的符号；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算数值；第三步根据Δ的正负性对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x -1=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$可得：
$a=2$，$b=-5$，$c=-1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-1)=25+8=33$
因为$\Delta=33＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用考题，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记判别式取值和根的情况的对应规则，计算时注意负号的处理即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
