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9. 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 + 10x - 11 = 0$.
(2)$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$.
(3)$2x^2 - 3x - 4 = 0$.
(1)$x^2 + 10x - 11 = 0$.
(2)$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$.
(3)$2x^2 - 3x - 4 = 0$.
答案
9.【解】(1)移项,得 $x^2+10x=11$.
配方,得 $x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得 $x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或 $x+5=-6$,
即 $x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为 1,得 $x^2-2x-2=0$.
移项,得 $x^2-2x=2$.
配方,得 $x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得 $x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或 $x-1=-\sqrt{3}$,
即 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得 $2x^2-3x=4$.
二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{3}{2}x=2$.
配方,得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$,
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$.
由此可得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4}$,或 $x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$,
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
配方,得 $x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得 $x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或 $x+5=-6$,
即 $x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为 1,得 $x^2-2x-2=0$.
移项,得 $x^2-2x=2$.
配方,得 $x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得 $x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或 $x-1=-\sqrt{3}$,
即 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得 $2x^2-3x=4$.
二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{3}{2}x=2$.
配方,得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$,
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$.
由此可得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4}$,或 $x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$,
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的通用解题思路为：第一步，若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；第二步，移项，把常数项移到等号右侧；第三步，配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；第四步，开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；第五步，求解一元一次方程得到原方程的根。我们按照该思路逐个求解3个方程即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2+10x=11$。
配方，得 $x^2+10x+5^2=11+5^2$，
即$(x+5)^2=36$。
由此可得 $x+5=\pm6$，
$x+5=6$，或 $x+5=-6$，
即 $x_1=1,x_2=-11$。
(2) 二次项系数化为 1，得 $x^2-2x-2=0$。
移项，得 $x^2-2x=2$。
配方，得 $x^2-2x+1^2=2+1^2$，
即$(x-1)^2=3$。
由此可得 $x-1=\pm\sqrt{3}$，
$x-1=\sqrt{3}$，或 $x-1=-\sqrt{3}$，
即 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
(3) 移项，得 $2x^2-3x=4$。
二次项系数化为 1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=2$。
配方，得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$，
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$。
由此可得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$，
$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4}$，或 $x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$，
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-11$；(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，需熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1再配方，配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加或计算失误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的通用解题思路为：第一步，若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；第二步，移项，把常数项移到等号右侧；第三步，配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；第四步，开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程；第五步，求解一元一次方程得到原方程的根。我们按照该思路逐个求解3个方程即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2+10x=11$。
配方，得 $x^2+10x+5^2=11+5^2$，
即$(x+5)^2=36$。
由此可得 $x+5=\pm6$，
$x+5=6$，或 $x+5=-6$，
即 $x_1=1,x_2=-11$。
(2) 二次项系数化为 1，得 $x^2-2x-2=0$。
移项，得 $x^2-2x=2$。
配方，得 $x^2-2x+1^2=2+1^2$，
即$(x-1)^2=3$。
由此可得 $x-1=\pm\sqrt{3}$，
$x-1=\sqrt{3}$，或 $x-1=-\sqrt{3}$，
即 $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
(3) 移项，得 $2x^2-3x=4$。
二次项系数化为 1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=2$。
配方，得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$，
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$。
由此可得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$，
$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4}$，或 $x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$，
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-11$；(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，需熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1再配方，配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加或计算失误。
【难度系数】
0.8
10.若$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$，则$x^2 + y^2$的值为
7
。答案
10. 7
解析
【分析】
首先观察等式左边是平方的形式，右边是正数，可先通过直接开平方得到关于$x^2+y^2$的一次方程，再结合$x^2$、$y^2$都是非负数，其和也必然是非负数的隐含条件，对得到的解进行筛选，最终得到正确结果。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$两边同时开平方，得：
$x^2 + y^2 - 3 = \pm 4$
分两种情况计算：
1. 当$x^2 + y^2 - 3 = 4$时，移项得$x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$；
2. 当$x^2 + y^2 - 3 = -4$时，移项得$x^2 + y^2 = -4 + 3 = -1$。
因为平方数具有非负性，即$x^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，所以$x^2 + y^2 ≥ 0$，因此$x^2 + y^2 = -1$不符合题意，舍去。
综上，$x^2 + y^2$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程；非负数的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$x^2+y^2$的非负性，出现多解的错误，做这类题时要注意挖掘题目中的隐含条件对解进行检验。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边是平方的形式，右边是正数，可先通过直接开平方得到关于$x^2+y^2$的一次方程，再结合$x^2$、$y^2$都是非负数，其和也必然是非负数的隐含条件，对得到的解进行筛选，最终得到正确结果。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$两边同时开平方，得：
$x^2 + y^2 - 3 = \pm 4$
分两种情况计算：
1. 当$x^2 + y^2 - 3 = 4$时，移项得$x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$；
2. 当$x^2 + y^2 - 3 = -4$时，移项得$x^2 + y^2 = -4 + 3 = -1$。
因为平方数具有非负性，即$x^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，所以$x^2 + y^2 ≥ 0$，因此$x^2 + y^2 = -1$不符合题意，舍去。
综上，$x^2 + y^2$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程；非负数的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$x^2+y^2$的非负性，出现多解的错误，做这类题时要注意挖掘题目中的隐含条件对解进行检验。
【难度系数】
0.7
11.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值为________。
答案
11. 2
解析
【分析】
首先观察方程$ax^2 = b(ab＞0)$，可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}＞0$，因此该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出$m$的值，再代入根求出$\frac{b}{a}$的值，最后计算其算术平方根即可。
【解析】
解：将一元二次方程$ax^2 = b$变形得：$x^2 = \frac{b}{a}$，
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，
$\therefore$ 方程的两个根互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$，
将$x_1 = m+1$，$x_2 = 2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$，
$3m - 3 = 0$，
解得$m=1$，
$\therefore x_1 = 1+1=2$，$x_2=2×1 -4=-2$，
$\because x^2 = \frac{b}{a}$，
$\therefore \frac{b}{a} = x_1^2 = 2^2 =4$，
$\therefore \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题的核心是掌握直接开平方法解得的两根互为相反数的特点，通过列方程求出参数后即可轻松计算结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察方程$ax^2 = b(ab＞0)$，可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}＞0$，因此该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出$m$的值，再代入根求出$\frac{b}{a}$的值，最后计算其算术平方根即可。
【解析】
解：将一元二次方程$ax^2 = b$变形得：$x^2 = \frac{b}{a}$，
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，
$\therefore$ 方程的两个根互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$，
将$x_1 = m+1$，$x_2 = 2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$，
$3m - 3 = 0$，
解得$m=1$，
$\therefore x_1 = 1+1=2$，$x_2=2×1 -4=-2$，
$\because x^2 = \frac{b}{a}$，
$\therefore \frac{b}{a} = x_1^2 = 2^2 =4$，
$\therefore \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题的核心是掌握直接开平方法解得的两根互为相反数的特点，通过列方程求出参数后即可轻松计算结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的一元二次方程$(x-a)^2 -7=0$有两个正实数根，则整数$a$的最小值是
3
答案
12. 3
解析
【分析】
首先用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，由于两个根一大小，只要保证较小的根为正，两个根就都是正实数，再结合√7的近似值确定a的取值范围，最后在范围内找到最小的整数a即可。
【解析】
对原方程变形可得：
$(x-a)^2=7$
直接开平方得：$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
由$\sqrt{7}\approx2.645$可知$x_2＜x_1$
因为方程有两个正实数根，所以较小的根$x_2＞0$，即：
$a-\sqrt{7}＞0$
解得$a＞\sqrt{7}\approx2.645$
又因为a是整数，所以整数a的最小值是3。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解方程；无理数估算；一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础的综合题，解题的核心是明确只要较小根为正即可保证两根均为正，需要熟练掌握一元二次方程的解法和常见无理数的估算方法。
【难度系数】
0.7
首先用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，由于两个根一大小，只要保证较小的根为正，两个根就都是正实数，再结合√7的近似值确定a的取值范围，最后在范围内找到最小的整数a即可。
【解析】
对原方程变形可得：
$(x-a)^2=7$
直接开平方得：$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
由$\sqrt{7}\approx2.645$可知$x_2＜x_1$
因为方程有两个正实数根，所以较小的根$x_2＞0$，即：
$a-\sqrt{7}＞0$
解得$a＞\sqrt{7}\approx2.645$
又因为a是整数，所以整数a的最小值是3。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解方程；无理数估算；一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础的综合题，解题的核心是明确只要较小根为正即可保证两根均为正，需要熟练掌握一元二次方程的解法和常见无理数的估算方法。
【难度系数】
0.7
13. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.若$3b^2 + c^2 = 6b + 4c -7$，且$a^2 = b^2 + c^2 - bc$，则$△ ABC$的面积为________.
答案
13. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 【解析】整理 $3b^2 + c^2 = 6b + 4c - 7$,得
$(3b^2-6b+3)+(c^2-4c+4)=0$.
$\therefore 3(b-1)^2+(c-2)^2=0$.
$\therefore b-1=0,c-2=0$.
$\therefore b=1,c=2$.
把$b=1,c=2$代入 $a^2=b^2+c^2-bc$,得 $a^2=3$.
$\therefore a_1=\sqrt{3},a_2=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
$\because 1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$,
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
$\therefore △ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(3b^2-6b+3)+(c^2-4c+4)=0$.
$\therefore 3(b-1)^2+(c-2)^2=0$.
$\therefore b-1=0,c-2=0$.
$\therefore b=1,c=2$.
把$b=1,c=2$代入 $a^2=b^2+c^2-bc$,得 $a^2=3$.
$\therefore a_1=\sqrt{3},a_2=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).
$\because 1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$,
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
$\therefore △ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
解题时先观察第一个关于b、c的等式，它是含两个未知数的二次等式，可通过配方转化为几个非负数相加为0的形式，利用非负数的性质即可求出b、c的具体值；再将b、c代入第二个关于a²的式子，求出a的长度（舍去负的边长）；最后验证三角形三边的关系，判断三角形形状后用对应面积公式计算即可。
【解析】
整理等式$3b^2 + c^2 = 6b + 4c -7$，移项配方得：
$(3b^2-6b+3)+(c^2-4c+4)=0$
即$3(b-1)^2+(c-2)^2=0$
∵平方数具有非负性，即$(b-1)^2≥0$，$(c-2)^2≥0$
∴$b-1=0$，$c-2=0$，解得$b=1$，$c=2$
将$b=1$，$c=2$代入$a^2 = b^2 + c^2 - bc$得：
$a^2=1^2+2^2-1×2=3$
∵a为三角形边长，为正数，
∴$a=\sqrt{3}$（负值舍去）
又
∵$1^2+(\sqrt{3})^2=4=2^2$，即$b^2+a^2=c^2$
∴△ABC是直角三角形，直角边为a和b
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题的关键是通过配方求出b、c的取值，再结合已知条件求出三角形三边长，进而计算面积，既考察了代数变形能力，也考察了三角形相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察第一个关于b、c的等式，它是含两个未知数的二次等式，可通过配方转化为几个非负数相加为0的形式，利用非负数的性质即可求出b、c的具体值；再将b、c代入第二个关于a²的式子，求出a的长度（舍去负的边长）；最后验证三角形三边的关系，判断三角形形状后用对应面积公式计算即可。
【解析】
整理等式$3b^2 + c^2 = 6b + 4c -7$，移项配方得：
$(3b^2-6b+3)+(c^2-4c+4)=0$
即$3(b-1)^2+(c-2)^2=0$
∵平方数具有非负性，即$(b-1)^2≥0$，$(c-2)^2≥0$
∴$b-1=0$，$c-2=0$，解得$b=1$，$c=2$
将$b=1$，$c=2$代入$a^2 = b^2 + c^2 - bc$得：
$a^2=1^2+2^2-1×2=3$
∵a为三角形边长，为正数，
∴$a=\sqrt{3}$（负值舍去）
又
∵$1^2+(\sqrt{3})^2=4=2^2$，即$b^2+a^2=c^2$
∴△ABC是直角三角形，直角边为a和b
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题的关键是通过配方求出b、c的取值，再结合已知条件求出三角形三边长，进而计算面积，既考察了代数变形能力，也考察了三角形相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
14. 在实数范围内定义一种新运算“☆”，规定：$a☆b=a^2 - b^2$.
(1)求$4☆3$的值.
(2)若$(x+2)☆5=0$,求$x$的值.
(1)求$4☆3$的值.
(2)若$(x+2)☆5=0$,求$x$的值.
答案
14.【解】(1)$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$.
(2)根据题意,得 $(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$.
移项,得$(x+2)^2=25$.
由此可得 $x+2=\pm5$,
$x+2=5$,或 $x+2=-5$,
即 $x_1=3,x_2=-7$.
(2)根据题意,得 $(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$.
移项,得$(x+2)^2=25$.
由此可得 $x+2=\pm5$,
$x+2=5$,或 $x+2=-5$,
即 $x_1=3,x_2=-7$.
解析
【分析】
（1）题目给出了新运算“☆”的运算规则$a☆b=a^2 - b^2$，计算$4☆3$时，只需要将$a=4$、$b=3$对应代入运算规则，按有理数的运算顺序计算即可。
（2）求解$(x+2)☆5=0$时，首先按照新运算规则，将$a$替换为$(x+2)$、$b$替换为5，把含新运算的等式转化为常规的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程就能得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算规定$a☆b=a^2 - b^2$，代入$a=4$，$b=3$：
$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$
(2) 按照新运算规则展开等式左边：
$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$
移项得：$(x+2)^2=25$
两边开平方可得：$x+2=\pm5$
分两种情况计算：
当$x+2=5$时，解得$x=3$；
当$x+2=-5$时，解得$x=-7$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题解题的关键是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的平方运算和一元二次方程问题，属于基础类题型，掌握基础运算和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）题目给出了新运算“☆”的运算规则$a☆b=a^2 - b^2$，计算$4☆3$时，只需要将$a=4$、$b=3$对应代入运算规则，按有理数的运算顺序计算即可。
（2）求解$(x+2)☆5=0$时，首先按照新运算规则，将$a$替换为$(x+2)$、$b$替换为5，把含新运算的等式转化为常规的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程就能得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算规定$a☆b=a^2 - b^2$，代入$a=4$，$b=3$：
$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$
(2) 按照新运算规则展开等式左边：
$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$
移项得：$(x+2)^2=25$
两边开平方可得：$x+2=\pm5$
分两种情况计算：
当$x+2=5$时，解得$x=3$；
当$x+2=-5$时，解得$x=-7$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题解题的关键是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的平方运算和一元二次方程问题，属于基础类题型，掌握基础运算和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 观察例题：
【例1】$x^2 + 2x - 4 = (x^2 + 2x + 1) -5 = (x+1)^2 -5.$
$\because (x+1)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x+1)^2 -5 ≥ -5.$
$\therefore 当x=-1时，x^2 +2x -4有最小值，为-5.$
【例2】$-x^2 +2x -3 = -(x^2 -2x +1)-2=-(x-1)^2 -2.$
$\because -(x-1)^2 ≤0,$
$\therefore -(x-1)^2 -2 ≤ -2.$
$\therefore 当x=1时，-x^2 +2x -3有最大值，为-2.$
解答下列问题.
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值.
(2)求证:无论x取何值，二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)如图，学校打算用长18 m的篱笆围一个矩形花坛，花坛的一面靠墙(墙足够长)，设矩形中垂直于墙的一边长为x m，请用配方法求出当x为何值时，围成的花坛的面积最大，最大面积是多少？
【例1】$x^2 + 2x - 4 = (x^2 + 2x + 1) -5 = (x+1)^2 -5.$
$\because (x+1)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x+1)^2 -5 ≥ -5.$
$\therefore 当x=-1时，x^2 +2x -4有最小值，为-5.$
【例2】$-x^2 +2x -3 = -(x^2 -2x +1)-2=-(x-1)^2 -2.$
$\because -(x-1)^2 ≤0,$
$\therefore -(x-1)^2 -2 ≤ -2.$
$\therefore 当x=1时，-x^2 +2x -3有最大值，为-2.$
解答下列问题.
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值.
(2)求证:无论x取何值，二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)如图，学校打算用长18 m的篱笆围一个矩形花坛，花坛的一面靠墙(墙足够长)，设矩形中垂直于墙的一边长为x m，请用配方法求出当x为何值时，围成的花坛的面积最大，最大面积是多少？
答案
15. (1)【解】$-x^2+4x-6=-(x^2-4x+4)-2=-(x-2)^2-2$.
$\because -(x-2)^2≤0$,
$\therefore -(x-2)^2-2≤-2$.
$\therefore$ 当 $x=2$ 时,代数式 $-x^2+4x-6$ 有最大值,为$-2$.
(2)【证明】$x^2+x+4=(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{15}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$.
因为 $(x+\frac{1}{2})^2≥0$,所以 $(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$.
所以无论 $x$ 取何值,$x^2+x+4$ 的值都是正数,即二次根式 $\sqrt{x^2+x+4}$ 都有意义.
(3)【解】根据题意,得 $AB=CD=x$, 则 $BC=18-2x$.
围成的花坛的面积 $S=x(18-2x)$.
$x(18-2x)=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\frac{9}{2})^2-(\frac{9}{2})^2]=-2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}$.
$\because -2(x-\frac{9}{2})^2≤0$,
$\therefore -2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}≤\frac{81}{2}$.
易知 $0＜x＜9$,
$\therefore$ 当 $x=\frac{9}{2}$ 时,围成的花坛的面积最大,最大面积为 $\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2$.
$\because -(x-2)^2≤0$,
$\therefore -(x-2)^2-2≤-2$.
$\therefore$ 当 $x=2$ 时,代数式 $-x^2+4x-6$ 有最大值,为$-2$.
(2)【证明】$x^2+x+4=(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{15}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$.
因为 $(x+\frac{1}{2})^2≥0$,所以 $(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$.
所以无论 $x$ 取何值,$x^2+x+4$ 的值都是正数,即二次根式 $\sqrt{x^2+x+4}$ 都有意义.
(3)【解】根据题意,得 $AB=CD=x$, 则 $BC=18-2x$.
围成的花坛的面积 $S=x(18-2x)$.
$x(18-2x)=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\frac{9}{2})^2-(\frac{9}{2})^2]=-2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}$.
$\because -2(x-\frac{9}{2})^2≤0$,
$\therefore -2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}≤\frac{81}{2}$.
易知 $0＜x＜9$,
$\therefore$ 当 $x=\frac{9}{2}$ 时,围成的花坛的面积最大,最大面积为 $\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值，可参照例题的配方法，先提取负号将二次项系数化为正，再对括号内的多项式配方，结合平方的非负性即可求出最大值。
(2) 要证明二次根式总有意义，需证明被开方数$x^2 +x +4$恒大于0，对该二次式配方求出它的最小值，判断最小值是否为正即可。
(3) 先根据题意用含x的式子表示出花坛平行于墙的边长，再根据矩形面积公式写出面积S关于x的函数表达式，用配方法将函数式化为顶点式，结合平方非负性和x的实际取值范围，即可求出面积的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 解：对$-x^2+4x-6$配方得：
$-x^2+4x-6=-(x^2-4x+4)-2=-(x-2)^2-2$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 -2 ≤ -2$
$\therefore$ 当$x=2$时，代数式$-x^2+4x-6$有最大值，为$-2$。
(2) 证明：对被开方数$x^2+x+4$配方得：
$x^2+x+4=(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{15}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
$\because (x+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$
$\therefore (x+\frac{1}{2})^2 +\frac{15}{4} ≥ \frac{15}{4} ＞ 0$
$\therefore$ 无论x取何值，$x^2+x+4$的值都是正数，故二次根式$\sqrt{x^2+x+4}$都有意义。
(3) 解：根据题意，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=18-2x\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜9$。
花坛面积$S=x(18-2x)$，对该式配方：
$S=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\frac{9}{2})^2 - (\frac{9}{2})^2]=-2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}$
$\because -2(x-\frac{9}{2})^2 ≤ 0$
$\therefore -2(x-\frac{9}{2})^2 +\frac{81}{2} ≤ \frac{81}{2}$
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{2}$时，S取得最大值$\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{-2}$；
(2) 证明成立，无论x取何值，$\sqrt{x^2+x+4}$都有意义；
(3) 当$x=\boldsymbol{\frac{9}{2}\ \mathrm{m}}$时，花坛面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法的应用、二次根式有意义的条件、二次函数的实际应用
【点评】
本题围绕配方法和平方式的非负性设置问题，涵盖代数式最值求解、二次根式意义判定、实际生活中的最值问题三类题型，难度逐层递进，解题的核心是熟练掌握配方步骤，结合平方式的非负性分析取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值，可参照例题的配方法，先提取负号将二次项系数化为正，再对括号内的多项式配方，结合平方的非负性即可求出最大值。
(2) 要证明二次根式总有意义，需证明被开方数$x^2 +x +4$恒大于0，对该二次式配方求出它的最小值，判断最小值是否为正即可。
(3) 先根据题意用含x的式子表示出花坛平行于墙的边长，再根据矩形面积公式写出面积S关于x的函数表达式，用配方法将函数式化为顶点式，结合平方非负性和x的实际取值范围，即可求出面积的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 解：对$-x^2+4x-6$配方得：
$-x^2+4x-6=-(x^2-4x+4)-2=-(x-2)^2-2$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 -2 ≤ -2$
$\therefore$ 当$x=2$时，代数式$-x^2+4x-6$有最大值，为$-2$。
(2) 证明：对被开方数$x^2+x+4$配方得：
$x^2+x+4=(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{15}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$
$\because (x+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$
$\therefore (x+\frac{1}{2})^2 +\frac{15}{4} ≥ \frac{15}{4} ＞ 0$
$\therefore$ 无论x取何值，$x^2+x+4$的值都是正数，故二次根式$\sqrt{x^2+x+4}$都有意义。
(3) 解：根据题意，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=18-2x\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜9$。
花坛面积$S=x(18-2x)$，对该式配方：
$S=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\frac{9}{2})^2 - (\frac{9}{2})^2]=-2(x-\frac{9}{2})^2+\frac{81}{2}$
$\because -2(x-\frac{9}{2})^2 ≤ 0$
$\therefore -2(x-\frac{9}{2})^2 +\frac{81}{2} ≤ \frac{81}{2}$
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{2}$时，S取得最大值$\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{-2}$；
(2) 证明成立，无论x取何值，$\sqrt{x^2+x+4}$都有意义；
(3) 当$x=\boldsymbol{\frac{9}{2}\ \mathrm{m}}$时，花坛面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法的应用、二次根式有意义的条件、二次函数的实际应用
【点评】
本题围绕配方法和平方式的非负性设置问题，涵盖代数式最值求解、二次根式意义判定、实际生活中的最值问题三类题型，难度逐层递进，解题的核心是熟练掌握配方步骤，结合平方式的非负性分析取值范围。
【难度系数】
0.7
