【典例2】(教材再开发·P77引例强化)下列是用火柴棒拼出的图形.

仔细观察,找出规律,解答下列各题:
(1)第4个图中共有根火柴,第7个图中共有根火柴;
(2)第n个图形中共有根火柴;(用含n的式子表示)
(3)请判断上组图形中前2024个图形火柴数的总和是否为2024的倍数,并说明理由.

【典例2】【自主解答】(1)第4个图中火柴有$4×4+1=17$(根);第7个图中火柴有$4×7+1=29$(根).
答案:17 29
(2)当$n=1$时,火柴的根数是$4×1+1=5$;
当$n=2$时,火柴的根数是$4×2+1=9$;
当$n=3$时,火柴的根数是$4×3+1=13$;
...
所以第$n$个图形中火柴有$(4n+1)$根.
答案:$(4n+1)$
(3)理由:$4×1+1+4×2+1+…+4×2024+1$
$=4×(1+2+…+2024)+1×2024$
$=4×\frac{1}{2}×(1+2024)×2024+2024$
$=2×(1+2024)×2024+2024$
$=4051×2024$.
所以前2024个图形火柴数的总和是2024的倍数.

1.(2025·广州期中)下面四个式子中,不能表示图中阴影部分面积的是 ()


A.$x^2 + 5x$
B.$x(x+3)+6$
C.$3(x+2)+x^2$
D.$(x+3)(x+2)-2x$

1.A

2.一件运动衣的成本价为m元，先按成本提高50%后标价，再按标价的9折出售，这件运动衣的售价是元。

2.【解析】由题意可得:运动衣先按成本提高50%后的标价为:$m(1+50\%)$,再按标价的9折出售的售价是:$m(1+50\%)×0.9$,
因为$m(1+50\%)×0.9=1.35m$,
所以这件运动衣的售价是$1.35m$元.
答案:$1.35m$

3.小红房间窗户的装饰物由两个半径相同的四分之一圆组成(如图1),小兰房间窗户的装饰物由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成(如图2),小明房间窗户的装饰物由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成(如图3).
(1)分别求出图1、图2、图3中装饰物的面积
(结果要求化简).
(2)你能发现装饰物面积变化的规律吗?请用式子表示.

3.【解析】(1)根据题意得,
题图1中装饰物的面积是$\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π}{8}b^2$,
题图2中装饰物的面积是$π·(\frac{b}{4})^2=\frac{π}{16}b^2$,
题图3中装饰物的面积是$π·(\frac{b}{6})^2+\frac{1}{2}π·(\frac{b}{6})^2=\frac{π}{24}b^2$.
(2)由(1)可知,题图1面积为$\frac{π}{8×1}b^2$,
题图2面积为$\frac{π}{8×2}b^2$,题图3面积为$\frac{π}{8×3}b^2$,所以第$n$个图的面积为$\frac{π}{8n}b^2$($n$为正整数).

生活情境:自行车链条如图,自行车每节链条的长度为2.5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.

解决问题:(1)4节链条长 cm;
(2)n节链条长 cm;
(3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成,那么这辆自行车上链条总长度是多少?

【解析】(1)根据题意,1节链条长$1.7+0.8=2.5$(cm),
2节链条长$1.7×2+0.8=4.2$(cm),
3节链条长$1.7×3+0.8=5.9$(cm),
所以4节链条长$1.7×4+0.8=7.6$(cm);
答案:7.6
(2)由(1)可知,$n$节链条长$(1.7n+0.8)$cm;
答案:$(1.7n+0.8)$
(3)$n=50$,自行车链条是环形,在展开的基础上少了一个0.8 cm,
所以$1.7×50=85$(cm).