登录
一、选择题
1. 如图，一只球吊在空中，用发光的手电筒由远及近靠近，落在墙面上球的影子会 （
A.先变大后变小；
B.逐渐变小；
C.逐渐变大；
D.先变小后变大.
1. 如图，一只球吊在空中，用发光的手电筒由远及近靠近，落在墙面上球的影子会 （
C
）A.先变大后变小；
B.逐渐变小；
C.逐渐变大；
D.先变小后变大.
答案
1. C.
解析
【分析】
首先判断该投影属于中心投影，手电筒为点光源，墙面是固定投影面，球体是遮挡物。解题时需要回忆中心投影的相关规律：当物体和投影面的位置固定不变时，点光源距离物体越近，物体在投影面上的影子越大，距离越远影子越小。题目中手电筒由远及近靠近球，即点光源不断靠近遮挡物，结合规律即可判断影子的变化趋势。
【解析】
本题中的投影是中心投影，手电筒可看作点光源，墙面位置固定，球体位置不变。根据中心投影的性质：当投影面与遮挡物的位置固定时，点光源距离遮挡物越近，遮挡物在投影面上形成的影子越大。本题中手电筒由远及近靠近球，点光源与球的距离不断缩小，因此落在墙面上的影子会逐渐变大，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.中心投影
2.中心投影影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的规律应用，只要熟练掌握中心投影中点光源、物体、投影面三者位置关系对影子大小的影响，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先判断该投影属于中心投影，手电筒为点光源，墙面是固定投影面，球体是遮挡物。解题时需要回忆中心投影的相关规律：当物体和投影面的位置固定不变时，点光源距离物体越近，物体在投影面上的影子越大，距离越远影子越小。题目中手电筒由远及近靠近球，即点光源不断靠近遮挡物，结合规律即可判断影子的变化趋势。
【解析】
本题中的投影是中心投影，手电筒可看作点光源，墙面位置固定，球体位置不变。根据中心投影的性质：当投影面与遮挡物的位置固定时，点光源距离遮挡物越近，遮挡物在投影面上形成的影子越大。本题中手电筒由远及近靠近球，点光源与球的距离不断缩小，因此落在墙面上的影子会逐渐变大，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.中心投影
2.中心投影影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的规律应用，只要熟练掌握中心投影中点光源、物体、投影面三者位置关系对影子大小的影响，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一块面积为$12\ \mathrm{cm}^2$的三角板$ABC$平行于投影面时，在点光源$O$的照射下形成投影$△ A_1B_1C_1$。若$OB:BB_1=1:2$，则$△ A_1B_1C_1$的面积是（
A.$24\ \mathrm{cm}^2$；
B.$48\ \mathrm{cm}^2$；
C.$96\ \mathrm{cm}^2$；
D.$108\ \mathrm{cm}^2$。
D
）A.$24\ \mathrm{cm}^2$；
B.$48\ \mathrm{cm}^2$；
C.$96\ \mathrm{cm}^2$；
D.$108\ \mathrm{cm}^2$。
答案
2. D.
解析
【分析】
首先明确，当平面图形平行于投影面时，中心投影得到的图形与原图形是位似图形，位似比等于对应点到位似中心（点光源O）的距离之比。解题时第一步先根据已知的OB与BB₁的比例，求出原三角形与投影三角形的位似比；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合原三角形面积即可求出投影三角形的面积。
【解析】
∵△ABC平行于投影面，在点光源O照射下形成中心投影△A₁B₁C₁，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，位似中心为O。
已知OB:BB₁=1:2，即BB₁=2OB，
∴对应点到位似中心的距离比OB:OB₁=OB:(OB+BB₁)=1:(1+2)=1:3，即两三角形的相似比为1:3。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
代入$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，得：
$S_{△ A_1B_1C_1}=12×9=108\ \mathrm{cm}^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的性质；位似图形的性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是中心投影与相似性质结合的基础题，解题的易错点是容易误将OB:BB₁=1:2直接当作相似比计算，需注意位似比是对应点到位似中心的距离之比，要先推导OB与OB₁的比值再计算。
【难度系数】
0.6
首先明确，当平面图形平行于投影面时，中心投影得到的图形与原图形是位似图形，位似比等于对应点到位似中心（点光源O）的距离之比。解题时第一步先根据已知的OB与BB₁的比例，求出原三角形与投影三角形的位似比；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合原三角形面积即可求出投影三角形的面积。
【解析】
∵△ABC平行于投影面，在点光源O照射下形成中心投影△A₁B₁C₁，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，位似中心为O。
已知OB:BB₁=1:2，即BB₁=2OB，
∴对应点到位似中心的距离比OB:OB₁=OB:(OB+BB₁)=1:(1+2)=1:3，即两三角形的相似比为1:3。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
代入$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，得：
$S_{△ A_1B_1C_1}=12×9=108\ \mathrm{cm}^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的性质；位似图形的性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是中心投影与相似性质结合的基础题，解题的易错点是容易误将OB:BB₁=1:2直接当作相似比计算，需注意位似比是对应点到位似中心的距离之比，要先推导OB与OB₁的比值再计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图，有一盏路灯位于小路上M、N两点的正中间。晚上，乐乐由点M处沿直线走向点N处，他在灯光照射下的影长y关于行走路程x的变化关系用图像表示大致是 （
D
）答案
3. D.
解析
【分析】
这是中心投影结合函数图像的应用问题，解题思路如下：1. 先拆分行走阶段：乐乐从M到N的过程分为两段，分别是从M走到路灯正下方（MN中点）、从路灯正下方走到N；2. 结合中心投影规律判断影长变化：物体离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长，因此从M到中点的过程中影长逐渐变短，走到中点时（路灯正下方）影长为0，过中点往N走的过程中影长逐渐变长；3. 由于M、N到路灯的距离相等，因此乐乐在M点和N点的影长相等，结合以上特征即可匹配对应图像。
【解析】
设路灯高度为$H$，乐乐身高为$h$，$MN$的长度为$2a$，则路灯位于$MN$中点处，距M、N的距离均为$a$。
1. 当$0≤ x≤ a$（乐乐在M到路灯正下方之间行走）时：
根据中心投影的性质，乐乐、影子构成的小三角形与路灯、路灯到影子末端的连线构成的大三角形相似，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{y}{(a-x)+y}$
整理得$y=\frac{h}{H-h}(a-x)$，此时$y$随$x$的增大而减小，当$x=a$（走到路灯正下方）时，$y=0$。
2. 当$a＜ x≤ 2a$（乐乐在路灯正下方到N之间行走）时：
同理可得相似关系：$\frac{h}{H}=\frac{y}{(x-a)+y}$
整理得$y=\frac{h}{H-h}(x-a)$，此时$y$随$x$的增大而增大，当$x=2a$（走到N点）时，$y=\frac{h}{H-h}a$，与$x=0$时的影长相等。
综上，影长$y$随$x$的变化规律为先减小到0，再增大，且起点和终点的影长相等，符合该特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；一次函数图像
【点评】
本题结合了实际生活的投影场景、相似三角形与函数图像的知识，解题核心是分阶段分析影长的变化趋势，属于几何与函数结合的常见题型，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是中心投影结合函数图像的应用问题，解题思路如下：1. 先拆分行走阶段：乐乐从M到N的过程分为两段，分别是从M走到路灯正下方（MN中点）、从路灯正下方走到N；2. 结合中心投影规律判断影长变化：物体离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长，因此从M到中点的过程中影长逐渐变短，走到中点时（路灯正下方）影长为0，过中点往N走的过程中影长逐渐变长；3. 由于M、N到路灯的距离相等，因此乐乐在M点和N点的影长相等，结合以上特征即可匹配对应图像。
【解析】
设路灯高度为$H$，乐乐身高为$h$，$MN$的长度为$2a$，则路灯位于$MN$中点处，距M、N的距离均为$a$。
1. 当$0≤ x≤ a$（乐乐在M到路灯正下方之间行走）时：
根据中心投影的性质，乐乐、影子构成的小三角形与路灯、路灯到影子末端的连线构成的大三角形相似，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{y}{(a-x)+y}$
整理得$y=\frac{h}{H-h}(a-x)$，此时$y$随$x$的增大而减小，当$x=a$（走到路灯正下方）时，$y=0$。
2. 当$a＜ x≤ 2a$（乐乐在路灯正下方到N之间行走）时：
同理可得相似关系：$\frac{h}{H}=\frac{y}{(x-a)+y}$
整理得$y=\frac{h}{H-h}(x-a)$，此时$y$随$x$的增大而增大，当$x=2a$（走到N点）时，$y=\frac{h}{H-h}a$，与$x=0$时的影长相等。
综上，影长$y$随$x$的变化规律为先减小到0，再增大，且起点和终点的影长相等，符合该特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；一次函数图像
【点评】
本题结合了实际生活的投影场景、相似三角形与函数图像的知识，解题核心是分阶段分析影长的变化趋势，属于几何与函数结合的常见题型，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
